Урок по теме "Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда"

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (3 МБ)

Цели урока:

  • научить строить сечения тетраэдра и параллелепипеда плоскостью;
  • формировать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;
  • развивать навыки самостоятельной деятельности у обучающихся, умения работать в группе.

Оборудование: проектор, интерактивная доска, раздаточный материал.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Методы и приемы, используемые на уроке: наглядный, практический, проблемно-поисковый, групповой, элементы исследовательской деятельности.

Ход урока

I. Организационный момент.

Учитель сообщает тему и цель урока (слайд 1).

II. Актуализация знаний.

Учитель: Выполняя домашнее задание вам нужно было найти точки встречи прямых и плоскостей, след секущей плоскости на плоскости грани многогранника. Прокомментируйте, что для этого необходимо сделать.

(Обучающиеся комментируют домашнее задание (слайды 2-3).

Учитель: Чтобы перейти к изучению новой темы, давайте повторим теоретический материал, ответив на вопросы:

  1. Что называется секущей плоскостью (слайд 4)? (Обучающиеся дают определение.)
  2. Что называется сечением многогранника (слайд 5)? (Формулируется определение.)
  3. Что необходимо сделать для того, чтобы построить сечение многогранника плоскостью?
    Построение сечения сводится к построению линий пересечения секущей плоскости и плоскостей граней многогранника.)
  4. Обязательно ли секущая плоскость должна пересечь плоскости всех граней многогранника?

Учитель: Давайте проведем небольшое исследование и ответим на вопрос: «Какая фигура может получиться в сечении тетраэдра или параллелепипеда плоскостью?»

(Обучающиеся, работая в группах, ищут ответ на поставленный вопрос.)

(Через несколько минут они формулируют свои предположения, и идет демонстрация слайдов 6–7.)

Учитель: Давайте повторим правила, о которых необходимо помнить при построении сечений многогранника (обучающиеся вспоминают и формулируют нужные аксиомы, теоремы, свойства):

  • Если две точки принадлежат секущей плоскости и плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через данные точки, будет являться следом секущей плоскости на плоскости грани.
  • Если секущая плоскость параллельна прямой, лежащей в некоторой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой.
  • При пересечении двух параллельных плоскостей секущей плоскостью получаются параллельные прямые.
  • Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, то эти две плоскости пересекают третью плоскость по прямым, параллельным между собой.
  • Если у секущей плоскости и плоскостей двух пересекающихся граней есть общая точка, то она лежит на прямой, содержащей общее ребро данных граней.

Учитель: Найдите ошибки на данных чертежах, обоснуйте свое утверждение (слайды8-9).

Учитель: Итак, ребята, мы подготовили теоретическую базу, чтобы научиться строить сечения многогранников плоскостью, в частности сечения тетраэдра и параллелепипеда. Большую часть заданий вы будете выполнять самостоятельно, работая в группах, поэтому у каждого из вас есть рабочие листы с заготовками чертежей многогранников, на которых вы будете строить сечения. При необходимости, вы можете обращаться за консультацией к учителю или старшему в группе.

Итак, вашему вниманию предлагается первое задание: (слайд 10) постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки M, N, K. (В сечении получается треугольник, проверка - слайд 11.)

Учитель: Рассмотрим вторую задачу: Дан тетраэдр DABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK, если M ∈DC, N∈AD, K∈AB. (Слайд 12)

(Провести решение задачи вместе с классом, комментируя построение.)

(Задача 3 – самостоятельная работа в группах (слайд 14). Проверка - слайд 15.)

Задача 4: Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK, где M и N – середины ребер AB и BC (слайд 16). (Проверка на слайде 17.)

Учитель: Переходим к следующей части урока. Рассмотрим задачи на построение сечений параллелепипеда плоскостью. Мы выяснили, что в сечении параллелепипеда плоскостью может получиться треугольник, четырехугольник, пятиугольник или шестиугольник. Правила построения сечений те же. Предлагаю перейти к следующей задаче, которую вы решите самостоятельно.

(Демонстрируется слайд 18)

Задача 5

Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью MNK, если M∈AA1, N ∈BB1, K∈CC1. (Проверка на слайде 19).

Задача 6: ( Слайд 20) Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью PTO, если P, T,O принадлежат соответственно ребрам АA1, ВB1, СC1.

(Решение обсуждается, учащиеся строят сечение на индивидуальных листах и записывают ход построения (слайд 21).)

  1. TO ∩ BC = M
  2. TP ∩ AB = N
  3. NM ∩ AD = L
  4. NM ∩ CD = F
  5. PL, FO
  6. PTOFL – искомое сечение.

Задача 7: (слайд 22) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью KMN, если K ∈ A1D1, N ∈BC , M ∈ AB.

Решение: (слайд 23)

  1. MN∩AD=Q;
  2. QK∩AA1=P;
  3. PM;
  4. NE || PK; KF || MN;
  5. FE.

MPKFEN – искомое сечение.

Творческие задания (карточки по вариантам):

  1. В правильной треугольной пирамиде SАВС через вершину С и середину ребра SА проведите сечение пирамиды, параллельное SB. На ребре АВ взята точка F так, что АF:FВ=3:1. Через точку F и середину ребра SС проведена прямая. Будет ли эта прямая параллельна плоскости сечения?
  2. АB1С - сечение прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1. Через точки Е, F, К, которые являются соответственно серединами ребер DD1, A1D1, D1C1 проведено второе сечение. Докажите, что треугольники ЕFК и АB1C подобны, и установите какие углы этих треугольников равны между собой.

III. Итог урока.

Итак, мы познакомились с правилами построения сечений тетраэдра и параллелепипеда, рассмотрели виды сечений, решали простейшие задачи на построение сечений. На следующем уроке мы продолжим изучение темы, рассмотрим более сложные задачи.

А теперь подведем итог урока, ответив на наши традиционные вопросы (слайд 24):

  • «Мне понравился (не понравился) урок, потому что….»
  • «Сегодня на уроке я научился….»
  • «Мне хочется, чтобы….»
  • «В этот урок я добавил(а) бы …»

(Выставление оценок за урок.)

IV. Задание на дом.

п.14 105, 106. (слайд 25)

Дополнительное задание к 105: Найдите отношение, в котором плоскость MNK делит ребро AB, если CN : ND = 2:1, BM = MD и точка K – середина медианы AL треугольника ABC.

(Закончить выполнение творческого задания.)