Решение сложных неравенств

Цель урока: рассмотреть решение более сложных неравенств.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока.

II. Повторение и закрепление пройденного материала.

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (тест).

III. Изучение нового материала.

Решение сложных неравенств с наличием в них модулей или параметров.

Пример 1.

Решим неравенство |x – 1| < 3.

Сначала решим это неравенство аналитически, рассмотрев два случая:

а) Если х – 1 > 0, т. е. х > 1, то |x – 1| = х – 1 и неравенство имеет вид х – 1 < 3. Решение этого неравенства х < 4. Учитывая условие х > 1, получаем в этом случае решение 1 < х < 4 или х [ 1; 4).

б) Если х – 1 < 0, т. е. х < 1, то |x – 1| = – (х – 1) = 1 – х и неравенство имеет вид 1 – х < 3. Решение этого неравенства -2 < х. Учитывая условие х < 1, получаем в этом случае решение -2 <х < 1 или х (-2; 1).

Находим объединение полученных решений [1; 4) и (-2; 1) и получаем окончательный ответ: х (-2; 4).

Теперь решим неравенство |x – 1| < 3 графически. Построим графики функций у₁ = |x – 1| (он получается смещением графика функции у = |x| на одну единицу вправо) и у₂ = 3 (горизонтальная прямая). Неравенство |x – 1| < 3 означает, что надо найти такие значения х, при которых значения функции у₁ меньше значений функции у₂ (или график функции у₁ лежит ниже графика функции у₂). Из рисунка видно, что такие х лежат в промежутке (-2; 4).

Пример 2.

Решим неравенство (а – 1)х < а² – 1.

Для нахождения решения неравенства необходимо обе его части разделить на выражение а – 1, зависящее от параметра а. Однако это выражение при различных значениях а будет иметь разный знак. Поэтому надо рассмотреть три случая.

а) Если а – 1 < 0, т.е. а < 1. Тогда при делении обеих частей данного неравенства (а – 1)х < а² – 1 на отрицательное выражение а – 1 знак неравенства меняется на противоположный и находим, что х > а + 1, или х [ а + 1; +).

б) Если а – 1 = 0, т.е. а = 1. В этом случае коэффициент при х равен 0. Поэтому делить обе части данного неравенства на выражение а – 1 нельзя. Тогда подставим значение а = 1 в данное неравенство (а – 1)х < а² – 1 и получим 0•х < 0. При любом значении х из этого неравенства имеем верное числовое неравенство. Следовательно, в этом случае решением данного неравенства является любое число х.

в) Если а – 1 > 0, т.е. а > 1. Тогда при делении обеих частей данного неравенства (а – 1)х < а² – 1 на положительное выражение а – 1 знак неравенства сохраняется и находим, что х < а + 1, или х (-; а + 1].

Так как в задачах с параметрами очень важна запись ответа (ответ записывается в порядке возрастания параметра), то приведем полный ответ:

При а < 1 х [ а + 1; +); при а = 1 х (-; + ); при а > 1 х (-; а + 1].

Теперь рассмотрим линейные неравенства с двумя переменными. Как правило, подобные задачи сводятся к изображению множества точек, координаты которых удовлетворяют неравенству, на координатной плоскости.

Пример 3.

На координатной плоскости изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству y-2 > x-3.

Запишем данное неравенство в виде y > x-1. Сначала построим график линейной функции y = x-1 (прямая линия). Это линия разделяет все точки координатной плоскости на точки, расположенные на этой прямой, и точки, расположенные под этой прямой. Проверим, какие точки удовлетворяют данному неравенству.

Из первой области возьмем, например контрольную точку А (0; 0) – начало координат. Легко проверить, что тогда неравенство y > -1 выполняется. Из второй области выберем, например, контрольную точку В (1; -1). Для такой точки неравенство y > x-1 не выполняется. Следовательно, данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные выше и на прямой y = x-1 (т.е. точки, аналогичные точке А). Эти точки заштрихованы.

Пример 4.

При каких значениях параметра а уравнение ах² + х – 1 = 0 не имеет решений?

Так как старший коэффициент уравнения зависит от параметра а, то необходимо рассмотреть два случая.

а) Если а 0, то уравнение ах² + х – 1 = 0 является квадратным. Такое уравнение не имеет решений, если его дискриминант D < 0. Решение этого неравенства а (-; -). Заметим, что в указанный промежуток значение а = 0 не входит.

б) Если а = 0, то уравнение ах² + х – 1 = 0 является линейным и имеет вид х – 1 = 0. Очевидно, что уравнение имеет единственное решение х = 1.

Итак, при а (-; -) данное уравнение решений не имеет.

Пример 5.

Решим неравенство |x – 1| + х² + 2 х + 1 < 0.

Запишем неравенство в виде |x – 1| + (х + 1)² < 0 и введем новую переменную, а = х + 1. Тогда неравенство примет вид, |a| + а² < 0. Так как |a| > 0 и а² > 0 при всех значениях а, то сумма

|a| + а² > 0 при всех а. Поэтому неравенство, |a| + а² < 0 имеет единственное решение а = 0. теперь вернемся к старой неизвестной х. Получаем линейное уравнение х + 1 = 0, решение которого х = – 1. Итак, решение данного неравенства х = – 1.

Подобного типа неравенства существуют и с двумя переменными.

Пример 6.

На координатной плоскости изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству y-1 < х².

Запишем неравенство в виде y< х² + 1 и построим параболу y = х²+ 1 (этот график получается смещением графика y = х² на одну единицу вверх). Парабола разбивает точки плоскости на точки, расположенные под параболой. Взяв в качестве контрольной точки начало координат, получаем верное неравенство 0 < 1. Поэтому данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные ниже параболы и на параболе. Эти точки заштрихованы.

IV. Задание на уроке и дома.

1. Аналитически решите неравенство:

2. При всех значениях а решите неравенство:

3. При каких значениях параметра а уравнение

а) 3х² – 2х + а = 0 не имеет корней;
б) 2х² – 3х + 5а = 0 имеет два различных корня;
в) 3ах² – 4х + 1 = 0 имеет два различных корня;
г) ах² – 3х + 2 = 0 имеет хотя бы один корень.

4. Решите аналитически (а если возможно, то и графически) неравенства:

V. Подведение итогов урока.