Урок по теме "Исследование функций и построение их графиков". 11-й класс

Цели урока:

• Обучающие: наглядно продемонстрировать учащимся возможности использования компьютера при построении графиков функции для самоконтроля, экономии времени при построении графиков функций.
• Развивающие:
  • развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций – анализ и синтез сравнение, обобщение;
  • формирование ИКТ компетентности учащихся.
• Воспитательные: воспитание познавательного интереса к предмету путем введения новейших технологий обучения.

Оборудование: презентация на тему "Исследование функций и построение их графиков»; компьютерное сопровождение (слайды к уроку); тесты; дидактические материалы.

Программное обеспечение: презентация Microsoft Power Point  "Исследование функций и построение их графиков».

Структура урока:

1. Постановка цели (2 мин.)
2. Подготовка к изучению нового материала. Повторение пройденного материала. (8 мин.)
3. Ознакомление с новым материалом (15 мин.)
4. Первичное осмысление и применение изученного материала (10 мин.)
5. Постановка домашнего задания (2 мин.)
6. Подведение итогов урока (3 мин.)

ХОД  УРОКА

1. Организационный момент

Постановка цели урока. Проверяется подготовленность классного помещения и готовность учащихся к уроку (проверка состояния кабинета, учебного оборудования, рабочих мест и проверка отсутствующих).

2. Повторение, обобщение и систематизация

1) Устно:

а) Какие из данных функций являются четными, а какие нечетными: у = 5х, у = (х – 2)²,  у = 2х + 1, у = – 2х + 3, у = х³ – 4х.
б) Найти производную: у = х⁴, у = 2/х, у = х²/2, у = 1/2х, у = х⁶/2

2) Подготовка  к изучению нового материала

Предварительная  работа, направленная на подготовку учащихся к усвоению нового материала, применению имеющихся знаний на уроке.
Работа по группам:  1-я группа учащихся выполняет тест; 2-я группа выполняет самостоятельную работу;  3-я группа учащихся работает с учителем (фронтальный, индивидуальный,  дифференцированный опрос).

Тест (Приложение 1)

Самостоятельная работа (для учащихся 2-го ряда)  №.18 (ДМ, с. 128)

Вопросы учащимся 3-го ряда.

Фронтальный опрос.

• Сформулируйте  признак возрастания и убывания функции.
• Какую точку называют критической точкой функции?
• Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Отмечается, что закрепление умений построения графиков функций продолжается. Сегодня же будет рассматриваться примеры построения графиков функций с применением производных.  Записывается тема урока:  “Исследование функций и построение их графиков”.

Алгоритм исследования функции (слайды)

Для исследования функции необходимо пройти следующие этапы:

1. Находим область определения функции: D(f) – ?
Областью определения функции y = f(x), заданной аналитически,  называют множество всех действительных значений независимой переменной х, для каждого из которых функция принимает действительные значения.
Находим  область изменения функции: Е(f) – ?
Областью изменения функции f(х) называют множество всех чисел f(х), соответствующих каждому х из области определения функции.

2. Выясняем четность функции.

• Если f(– x) = f(x), то функция  f(x) называется четной. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
• Если f(– x) = – f(x), то функция  f(x) называется нечетной. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

3. Выясняем периодичность функции

Если  f(x + T) = f(x) при некотором T > 0, то функция  y = f(x) называется периодической. График периодической функции имеет одну и ту же форму на каждом из отрезков
…, [–2T; –T], [–T; 0], [0; T], [T; 2T], … .

Поэтому достаточно построить график на каком-нибудь одном таком отрезке и затем воспроизвести полученную кривую на остальных отрезках.

4. Находим точки максимума и минимума функции и интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности).

Для этого:

• вычисляем производную  f'(x)и находим критические точки функции, т.е. точки, в которых  f'(x) = 0 или не существует;
• определяя знак производной, находим интервалы возрастания и убывания функции: если f'(x) > 0, то функция возрастает, если f’(x) < 0, то функция убывает;
• если производная меняет знак при переходе через критическую точку     xo є D, то xo – точка экстремума: если производная меняет знак с «минуса» на «плюс» – то xo – точка минимума, если же с «плюса» на «минус» – то точка максимума. Если производная сохраняет знак при переходе через критическую точку, то в этой точке экстремума нет.

5. Находим точки перегиба функции и интервалы выпуклости вверх/вниз.

Для этого:

• вычисляем вторую производную  f''(x) и находим точки, принадлежащие области определения функции, в которых  f''(x) = 0 или не существует;
• определяя знак второй производной, находим интервалы выпуклости и вогнутости:
• если f''(x) < 0, то  график функции имеет  выпуклость вверх,
• если f''(x) > 0, то график функции имеет выпуклость  вниз;
• если вторая производная меняет знак при переходе через точку xo є D, в которой f''(x) = 0 или не существует, то xo – точка перегиба.

6. Находим асимптоты функции.

а) Вертикальные: находим односторонние пределы в граничных точках

Если такие пределы существуют, то прямая  х = а  является вертикальной асимптотой графика функции у = f(x)

б) Наклонные:

Если выполняется условие то прямая у = kx + b является асимптотой функции  .
Коэффициенты k и b можно найти следующим образом:

7. Есть ли у функции промежутки, где она возрастает (убывает)?

• f'(x) > 0, функция возрастающая
• f'(x) < 0, функция убывающая

8. Есть ли у нее промежутки знакопостоянства?

• f'(x) = 0 на промежутке,  => функция f(х) постоянная на этом промежутке.
• Если в точке xo производная меняет знак c «+» на «–», то x_o – точка локального максимума;
• Если в точке xo производная меняет знак с «–» на «+», то x_o – точка локального минимума.

Пример. Исследовать свойства функции у = х/х² – 1 и построить её график.

1.  Знаменатель выражения х/(х² – 1)  обращается в нуль при х = – 1 и при х = 1, поэтому D(f) = (– ∞;– 1)U(– 1; 1) U (1; + ∞).
2. Е(f) = R (видно из дальнейшего исследования)
3. f(– х) = – f(х) – функция нечетная.
4. Функция непериодическая.
5.  Производная функции в области определения: и  f'(x) < 0 во всей области определения => функция непрерывна и возрастает во всей области определения, точек локального экстремума нет.
6. Вторая производная: f"(x) = 2х(х² + 3)/( х² – 1)³ обращается в нуль в единственной  точке х = 0
Знак второй производной f"(x)

Вторая производная меняет знак только в одной точке х = 0 => x_o = 0 – точка перегиба.
На интервалах (– ∞; – 1) и (0; 1) график функции имеет выпуклость вверх, а на интервалах (– 1; 0) и (1; + ∞) выпуклость вниз. 

Вычислим координаты нескольких точек графика:

График имеет вид:

Закрепление темы. Решение примеров по учебнику №5.113, 5.117

Домашнее задание

На дом задается прочитать объяснительный  текст п.5.11 учебника с.156, решить № 5.115б, в,  №5.117б

6. Подведение итогов урока