Решение задач при изучении темы "Сложные проценты"

Педагогические технологии служат инструментом реализации этих трех уровней образования.

Одной из предметно-ориентированных технологий, построенных на основе дидактического усовершенствования и реконструирования учебного материала, является технология обучения на основе решения задач. Как сказал известный мыслитель Д.Пойа, “Чтобы научиться решать задачи, надо их решать”, при всей важности каждой отдельной задачи целостность образовательного процесса обеспечивается всем множеством задач по каждой теме, которые должны образовать систему.

Системой задач называется совокупность задач к блоку уроков по изучаемой теме, удовлетворяющая ряду требований.

• Полнота.
• Наличие задач на все изучаемые понятия, факты, способы деятельности, включая мотивационные.
• Наличие ключевых задач
• Группировка задач в узлы вокруг объединяющих центров – задач, в которых рассматриваются факты или способы деятельности, применяемые при решении других задач и имеющие принципиальное значение для усвоения предметного содержания.
• Возрастание трудности в каждом уровне.
• Система состоит из трех подсистем, соответствующих минимальному, общему и продвинутому уровням планируемого результата обучения.
• Для каждой задачи определено ее место и назначение в блоке уроков.
• Достаточно задач для тренажа в классе, дома, задач для закрепления, задач для индивидуальных, групповых работ, задач разной направленности, задач для самостоятельного решения, (в том числе исследовательского), задач для текущего, итогового контроля и т. д.
• Психологическая комфортность.

Система задач – основной ресурс учителя для реализации эффективного образовательного процесса. От качества этого ресурса более чем наполовину зависит успех ученика при изучении курса. Остальные составляющие успеха – в организации деятельности учащихся и управлении этой деятельностью.

В системе учебных занятий особое значение имеют нетрадиционно построенные урок – лекция, уроки решения ключевых задач (вычисление минимального числа основных задач по теме, решение задач различными методами, решение системы задач, проверка решения задач учениками, самостоятельное составление задач), уроки – консультации (вопросы учащихся по заранее заготовленным карточкам, анализ, обобщение, дополнение карточек); зачетные уроки (выполнение индивидуального задания, коррекция в паре до полного понимания, выставление трех оценок – за ответ по теории, за решение задачи с карточки, за ведение тетради, мотивация оценок.)

Полезно параллельно рассматривать классические приёмы решения задач. Тогда у учащихся формируется целостное представление о способах решения задач данного типа. На этапе закрепления темы можно решать задачи по группам.

Класс разбивается на группы: по 4 учащихся за двумя соседними столами. Они обсуждают решение задачи, которая записана на карточке. Карточка выдаётся на каждый стол. Каждая группа получает карточки с одинаковыми задачами; различных задач 4. Задача считается решённой, если все члены группы сделали в своих тетрадях схему, записали исходные данные и решение задачи. Из такой группы учитель вызывает ученика, который оформляет решение задачи на доске. Итак, от каждой группы, где решена задача, отличная от той, что уже выполняется на доске. Группа, решившая свою задачу, получают новую карточку, с дополнительными задачами. А затем подключаются к решению задач, которые начали делать на доске представители других групп. Последние 4-5 минуты урока отводятся для разбора записанных задач. Учитель может поставить оценки ученикам, которые решали задачи у доски, и их группам или проверить тетради у двух-трёх групп по своему выбору.

Правильно подобранные технологии позволяют реализовать принцип гуманитаризации образования, дающий необходимые знания для адаптивного взаимодействия с окружающей социальной средой и обеспечивают развитие всех сфер личности, формируют у нее основы саморазвивающей деятельности.

Предлогаю открытый урок, который можно провести в 9-11 классах, где изучается тема “Сложные проценты”, материал урока соответствует продвинутому уровню планируемого результата обучения.

Актуальность темы.

Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.

Во многих школьных учебниках можно встретить задачи на проценты, однако в них отсутствует компактное и четкое изложение соответствующей теории вопроса. В IX классе завершается линия процентных вычислений темой “Простые и сложные проценты”, включенной в изучение главы “Арифметическая и геометрическая прогрессии”. Сведения о простых и сложных процентах, которые сами по себе имеют большую практическую значимость, являются достаточно благоприятным материалом для применения знаний, полученных на уроках математики. Но в учебнике не водится формулы простых и сложных процентов и мало задач на эту тему. Учащиеся должны решать задачи, опираясь не на формулы, а на понимание, на смысл понятия “процент”, на умение находить процент от числа, что обычно вызывает затруднения при решении задач на сложные проценты. Более рациональное решение задачи достигается с помощью формул “сложных процентов”.

Текстовые задачи на проценты включены в материалы в государственную итоговую аттестацию за курс основной школы, в КИМы ГИА и ЕГЭ, в конкурсные экзамены. Однако практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся и очень многие окончившие школу не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни.

Предлагаемый урок демонстрируют учащимся применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии производства; ориентирует учащихся на обучение по естественно - научному и социально- экономическому профилю. Можно провести еще несколько уроков для закрепления темы, решения текстовых задач на проценты.

Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков вычислений сложных процентов, но и формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности.

Цели урока:

• обучение решению задач на проценты с помощью формул “сложных процентов”, обобщение методов решения задач проценты; научить переводить реальные предметные ситуации в различные математические модели; формирование умений решать задачи повышенной сложности;
• знать широту применения процентных вычислений в жизни, решать основные задачи на проценты, применять формулу сложных процентов; производить прикидку и оценку результатов вычислений; при вычислениях сочетать устные и письменные приемы, применять калькулятор, использовать приемы, рационализирующие вычисления;
• развитие логического мышления, умений работать в группе, навыков решения экономических задач на проценты;
• воспитание у учащихся потребности в новых знаниях и творческой деятельности, привитие любви к процессу обучения.

Тип урока: уроки решения ключевых задач.

Оборудование: ЦОР “Устный счет по теме “Проценты”, презентация к теме “Сложные проценты”, таблица “Процент числа”, карточки с заданиями, интерактивная доска, компьютер, калькулятор.

I этап. Организационный момент (1 мин.)

Цель: ознакомить учащихся с темой и задачей урока, актуальность изучаемого материала, формирование учебной мотивации.

II этап. Повторение (5 мин)

Цель: повторение прежних знаний и навыков по теме “Проценты”.

1) Устный опрос.

а) Что называется процентом? (Процентом называется одна сотая часть какого-либо числа)

б) Как обозначается 1%? (1%? = 0,01)

в) Как называется 1% от центнера? (кг.) Метра? (см.) Гектара? (ар или сотый)

г) Что называется 1% процентом данного числа а? (Процентом данного числа а называется число 0,01•а, т.е. 1% (а) = 0,01*а )

д) Как определить р% от данного числа а? (найти число 0,01•р•а, т.е. р% = 0,01*р*а )

е) Как перевести десятичную дробь в проценты? (умножить на 100). А как проценты в десятичную дробь? (разделить на сто, т.е. умножить на 0,01)

ж) Как найти часть от числа в процентах? (Чтобы найти часть в от числа х в процентах, нужно эту часть разделить на число и умножить на 100, т.е. а(%)=(в/х)*100)

д) Как находится число по его проценту ? (Если известно, что а% числа х равно в, то х можно найти по формуле х = (в/а)*100)

2) Устный счет.

Представьте данные десятичные дроби в процентах: 1; 0,5; 0,763; 1,7; 256.

б) Представьте проценты десятичными дробями: 2%; 12%; 12,5%; 0,1%; 200%.

Найдите % от числа:

в) 0,1% от числа 1200? (1,2)

г) 15% от числа 2? (0,30)

Найдите число по его проценту:

д) Сколько центнеров весит мешок сахарного песка, если 13% составляет 6,5 кг.? (50 кг.= 0,5 ц.)

в) Сколько процентов от 10 составляет 9?

Ответы: а) 9%, б) 0,09%, в) 90%; г) 900%?

III этап: Формирование новых знаний и навыков. (15 мин)

Цель: ознакомление с формулами “сложных процентов” и формирование навыков применения формул при решении задач.

Тема. Простые и сложные проценты. (Лекция + Презентация)

Эти термины чаще всего встречаются в банковских делах, в финансовых задачах. Банки привлекают средства (вклады) за определенные процентные ставки. В зависимости от процентной ставки вычисляется доход.

На практике применяются два подхода к оценке процентного дохода – простые и сложные проценты.

При применении простых процентов доход рассчитывается от первоначальной суммы вложенных средств не зависимо от срока вложения. В финансовых операциях простые проценты используются преимущественно при краткосрочных финансовых сделках.

Пусть некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на начальном этапе. Так вычисляются простые проценты.

При применении сложных процентов накопленная сумма процентов добавляется во вклад по окончании очередного периода начислений. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе. В этом случае имеем дело со “сложными процентами” (т.е. используются начисления “процентов на проценты”)

Первоначальная сумма и полученные проценты в совокупности называются накопленной (наращенной) суммой.

Так, если банковская ставка равна 10%, а первоначальная сумма 100 руб., то накопленная сумма за пять лет при применении простых и сложных процентов будет иметь вид:

Таблица 1. Накопленная сумма с использованием простых и сложных процентов.

Формулы простых и сложных процентов.

I. Пусть некоторая величина A увеличивается n раз (n год) и каждый раз на р%.

Вводим обозначения: A₀ – первоначальное значение величины A;

р – постоянное количество процентов;

a процентная ставка; a=р/100 = 0,01*р

A_n – накопленная сумма за n раз (к концу n-го года) - по формуле простых процентов;

S_n - накопленная сумма за n раз (к концу n-го года) - по формуле сложных процентов.

Тогда ее значение A₁ для простых процентов после первого увеличения (к концу первого года) вычисляется по формуле: A₁ = A₀ + A₀ * (0,01р) = A₀ (1 + (0,01р) = A₀ (1 + p)

В конце второго этапа A₂= A₁ + A₀ * (0,01р) = A₀ (1 + a) + A₀ * a = A₀ (1 + 2a).

В конце третьего этапа A₃= A₂ + A_{0 *} (0,01р) = A₀ (1 + 2a) + A₀ * a = A₀ (1 + 3a).

Тогда для простых процентов сумма по годам равна:

A_n = A₀ (1 + 0.01р*n) или A_n = A₀ (1 + ?* n) (1)

Для сложных процентов это выглядит иначе:

Пусть некоторая величина S₀ увеличивается n раз (n год) и каждый раз на р%.

Тогда ее значение S₁ для сложных процентов после первого увеличения (к концу первого года) вычисляется по формуле:

S₁ = S₀ + S₀ (0,01р) = S₀ * (1 + 0,01р) = S₀ * (1 + ?).

В конце второго этапа S₂= S₁ + S₁ (0,01р) = S₁ * (1 + 0,01р) = S₀ (1 + ????р)² = S₀ (1 + ?)².

В конце третьего этапа S₃= S₂ + S₂ (0,01р) = S₂ * (1 +0,01р) = S₀(1 +0,01р)²*(1 +0,01р)=S₀(1 +0,01р)³ = S₀ (1 + a)³.

Тогда для сложных процентов сумма по годам равна:

S_n = S₀ (1 + 0,01р)ⁿ  или S_n = S₀ (1 + a)ⁿ (2)

Пример 1.

В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать накопленную сумму если проценты:

а) простые; б) сложные.

Решение 1.

По формуле простых процентов

Sn=(1+3*0.12)*50 000 = 68000 руб. (отв. 68000 руб.)

По формуле простых процентов

Sn=(1+0.12)³*50 000 = 70246 руб. (отв. 70246 руб.)

Формула сложных процентов связывает четыре величины: начальный вклад, накопленную сумму (будущую стоимость вклада), годовую процентную ставку и время в годах. Поэтому, зная три величины, всегда можно найти четвертую:

S_n = S₀ * (1+0,01р)ⁿ

Для определения количество процентов р необходимо:

р = 100 * ((S_n / S₀ )^1/n – 1) (2.1)

Операция нахождения первоначального вклада S₀, если известно что через n лет он должен составить сумму S_n, называется дисконтированием:

S_{0 =} S_n * (1 + 0,01р) ^–n (2.2)

Сколько лет вклад S₀ должен пролежать в банке под р % годовых, чтобы достигнуть величины S_n.

n = (lnS_n – lnS₀) / (ln(1 + 0,01р) (2.3)

В банковской практике проценты могут начисляться чаще чем 1 раз в год. При этом банковская ставка обычно устанавливается в пересчете на год. Формула сложных процентов будет иметь вид:

S_n = (1 + ?/t )^n•t S₀ (3)

где t – число реинвестиций процентов в году.

Пример 2.

В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать начисленную сумму если проценты начисляются ежеквартально.

Решение 2.

n = 3

t = 4 (в году – 4 квартала)

По формуле сложных процентов

S₃ = (1+0.12/4)^3*4*50000 = 1.03¹²*50000 = 71288 руб. Отв. 71288 руб.

Как следует из примеров 1 и 2, накопленная сумма будет возрастать тем быстрее, чем чаще начисляются проценты.

Приведем обобщение формулы (2), когда прирост величины S на каждом этапе свой. Пусть S_о, первоначальное значение величины S, в конце первого этапа испытывает изменение на р₁%, в конце второго на р₂%, а в конце третьего этапа на р₃% и т.д. В конце n-го этапа значение величины S определяется формулой

S_n = S₀ (1 + 0,01р₁ )(1 + 0,01р₂ )...(1 + 0,01р_n ) (4)

Пример 3.

Торговая база закупила партию товара у изготовителя и поставила ее в магазин по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на товар 20% выше оптовой. При распродаже магазин снизил эту цену на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел товар за 140 руб. 40 коп.

Решение 3.

Пусть первоначальная цена составляет S руб., тогда по формуле (4) имеем:

S₀ (1 + 0,01*30)(1 + 0,01*20)***(1 – 0,01*10) = 140,4

S₀*1,3*1,2*0,9 = S₀*1,404 = 140,4

S₀ = 140,4: 1,404 = 100 (руб.)

Находим разность последней и первоначальной цены

140,4 – 100 = 40,4 Отв. 40,4 руб.

Задание 1.

Составьте задачу, аналогичную примерам 1 и 3. Объясните ход их решений.

Физкультминутка – 2 мин.

IV этап: Работа в группах из 3-4 учащихся. Решение практических задач (10-15 мин.)

Цель: Выработка практических навыков по теме.

Каждой группе дается 4 задания на 10 минут. Класс разбивается на группы: по 4 учащихся за двумя соседними столами. Они обсуждают решение задачи, которая записана на карточке. Карточка выдаётся на каждый стол. Каждая группа получает карточки с одинаковыми задачами; различных задач 4. Задача считается решённой, если все члены группы сделали в своих тетрадях схему, записали исходные данные и решение задачи. Из такой группы учитель вызывает ученика, который оформляет решение задачи на доске. Остальные продолжают решать другие задачи из карточки. Из второй группы вызывается ученик для оформления уже другой задачи из карточки. Таким образом, решение всех задач рассматриваются на доске. Группа, решившая все задачи, получают новую карточку, с дополнительными заданиями.

Карточка 1.

Задача 1. Владелец автозаправки повысил цену на бензин на 10%. Заметив, что количество клиентов резко сократилось, он понизил цену на 10 %. Как после этого изменилась начальная цена на бензин? (повысилась или понизилась и на сколько % -ов?)

Решение: Пусть S₀ – начальная цена, S₂ – конечная цена, х - искомое число процентов изменения, где х = (1 - S₂/S₀ )*100% (*)

Тогда по формуле S_n = S₀ (1 + 0,01р₁ )(1 + 0,01р₂ )***(1 + 0,01р_n ) (4), получим

S₂ = S₀ (1 + 0,01*10 )(1 - 0,01*10) = S₀*1,1*0,9 = 0,99*S_0.

S₂ = 0,99*S_0; 0,99 = 99%, значение S₂ составляет 99% первоначальной стоимости, значит ниже на 100% - 99% = 1%.

Или по формуле (*) получаем: х = (1 – 0,99 )*100% = 1%.

Ответ: понизилась на 1%.

Задача 2. В течении года предприятие дважды увеличивало выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найдите это число, если известно, что в начале года предприятие ежемесячно выпускало 600 изделий, а в конце года стал выпускать ежемесячно 726 изделий.

Решение: Пусть S₀ – начальная цена, S₂ – конечная цена, р – постоянное количество процентов.

По формуле (2.1) получаем: р = 100 * ((726 / 600 )^1/2 – 1) = 10%.

Ответ: 10%

Задача 3. Цена на компьютерную технику были повышены на 44%. После этого в результате двух последовательных одинаковых процентных снижений цена на компьютеры оказалась на 19% меньше первоначальной. На сколько процентов каждый раз понижали цену?

Решение: По формуле (4), составляем уравнение

S₃ = S₀ (1 + 0,01*44)(1 - 0,01р )(1 - 0,01р) = S₀ *1,44*(1 - 0,01р )² = S₀ * (1-0,01*19). Решая уравнение, получаем 2 корня: 175 и 25, где 175 не подходит условию задачи. Поэтому р = 25%.

Ответ: 25%

Задача 4. Для определения оптимального режима повышения цен фирма решила с 1 января повышать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 2%, в другом – через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же число процентов, причем такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо повышать цену товара через каждые два месяца, во втором магазине?

Решение: Пусть S₀ – начальная цена, р – постоянное количество процентов.

Тогда через 6 месяцев (после шести повышений на 2%) в первом магазине цена на товар станет равна S₀ (1 + 0,01*2)⁶, а во втором магазине (после трех повышений на р%) цена товара будет равна S₀ (1 + 0,01р)³. Получаем уравнение S₀ (1 + 0,01*2)⁶ = S₀ (1 + 0,01р)³. Решая его, получаем

(1 + 0,01*2)² = (1 + 0,01р); 1,02²= (1 + 0,01р); р = 4,04

Ответ: 4,04%

Карточка 2.

Задача 1. Автомобиль ехал по магистрали с определенной скоростью. Выезжая на проселочную дорогу, он снизил скорость на 20%, а затем на участке крутого подъема он уменьшил скорость на 30%. На сколько процентов эта новая скорость ниже первоначальной?

Решение: Пусть V₀ – начальная скорость, V – новая скорость, которая получается после двух разных изменений, р – искомое количество процента.

Тогда по формуле (4), составляем уравнение V₀(1 - 0,01*20)(1 - 0,01*30) = V₀(1 - 0,01р). Решая его получаем V₀*0,8*0,7 = V₀(1 - 0,01р); р = 44

Ответ: 44%

Задача 2. Предположим, что в комнатной температуре за день вода испаряется на 3%. Сколько литров воды останется через 2 дня от 100 литров? А сколько воды испарится?

Решение: n=2; р=3%; S₀= 100л. Тогда по формуле (2), получаем

S₂ = S₀ (1 - 0,01р )² = 100*(1-0,01*3)² = 100*0,97² = 94,09; S₀ – S₂= 100 - 94,09 = 5,91

Ответ: 94,09л.; 5,91л.

Задача 3. Вклад, положенный в банк 2 года назад, достиг 11449 рублей. Каков был первоначальный вклад при 7% годовых? Какова прибыль?

Решение: n=2; р=7%; S₂= 11449; S₀= ?

В формулу (2.2) S_{0 =} S_n * (1 + 0,01р) ^–n подставляем данные значения, получаем:

S_{0 =} 11449* (1 + 0,01*7) ^–2 = 11449/ (1,07)²=11449/ 1,1449 = 10000.

11449 – 10000 = 1449

Ответ: 10000 руб.; 1449 руб.

Задача 4. Сберкасса начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Через сколько лет сумма удвоится?

Решение: р=3%; S₀ – начальная сумма; n=?

Составим уравнение: 2*S₀ = S₀ (1 + 0,01р )ⁿ; 2*S₀ = S₀ (1 + 0,03)ⁿ; 2 = 1,03ⁿ n=log_1,032; n ?23.

V этап: Дифференцированная самостоятельная работа (5 мин.)

Цель: Выявление уровня усвоения материала, типичных ошибок.

1-уровень. После реконструкции завод увеличил выпуск продукции на 10%, а после замены оборудования еще на 30%. На сколько процентов увеличился первоначальный выпуск продукции?

(Ответ: на 43%)

2-уровень. Число 50 трижды увеличили на одно и то же число процентов, а потом уменьшили на это же число процентов. В результате получили число 69,12. На сколько процентов увеличивали, а потом уменьшали данное число?

(Ответ: на 20%)

3-уровень. Банк начисляет ежегодно 7% от суммы вклада. Найдите наименьшее число лет, за которое вклад вырастает более чем на 20%.

(Ответ: 3 года)

VI этап: Домашнее задание. (1 мин)

№1. Сберегательный банк начисляет по вкладам ежегодно 5,5% годовых. Вкладчик внес в банк 150 тысяч рублей. Какой станет сумма вклада через 2 года?

(Ответ: 166953,75 руб.)

№2. Составить две задачи на “сложные проценты” и решить.

№3. Банк предлагает два варианта депозита

1) под 120% с начислением процентов в конце года;

2) под 100% с начислением процентов в конце каждого квартала.

Определить более выгодный вариант размещения депозитов на один год.

Решение.

Более выгодным считается тот вариант, при котором наращенная за год сумма будет больше. Для оценки вариантов начальную сумму примем равную 100 руб.

По первому варианту накопленная сумма будет равна (1+1,2)*100 руб. = 220 руб.

По второму варианту проценты начисляются ежеквартально. По окончании первого квартала накопленная сумма равна (1+1,0/4)*100 руб. = 125 руб.

По окончании 2-го квартала (1+1,0/4)²*100 руб. = 156 руб.

За год накопленная сумма равна (1+1,0/4)⁴*100 руб. = 244 руб.

Как следует из расчетов второй вариант значительно выгоднее (244 > 220). Правда, только при условии применения сложных процентов.

VII этап: Подведение итогов. (3 мин)

Рефлексия:

- С какими новыми понятиями мы познакомились на уроке?

- Что такое "сложный процент"? Чем он отличается от “простого процента”?

-  Как найти "сложный процент"?

- Где используется эти проценты?

- Какие трудности вы испытывали при решении задач?

- Чему научились?

- Оцените свою работу на уроке.

Итоги по решению задач (по карточкам). Выставление оценок.

Итоги самостоятельной работы. Выставление оценок.

Релаксация

• Активно на уроке работали ...
• Старались ...
• Жду большей активности от ...

Источники информации.

1. По материалам сайта: Инструменты финансового анализа.
2. По материалам: Крамор В.С., Лунгу К.М. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры: пособие для старшеклассников и абитуриентов. Ч.1. – М.: АРКТИ, 2001.
3. По материалам из сайта: Дистанционного образования MOGALLIM. “Методика преподавания новых и сложных предметных тем стандарта”.