Решение простейших тригонометрических уравнений

Тип урока: урок изучения новой темы.

Класс: 10 класс.

Продолжительность урока: 2 часа (130 минут).

Цели урока:

• дидактические: усвоить навык решения простейших тригонометрических уравнений и их частные случаи;
• развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи;
• воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради и самостоятельность мышления у учащихся.

Девиз:

“Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что следует знать”. (Пифагор)

Сегодня на уроке мы научимся решать с вами простейшие тригонометрические уравнения.

1. Актуализация опорных знаний (устная работа).

В результате выполнения задания мы повторим определения арккосинуса, арксинуса, арктангенса и арккотангенса.

1. Сформулировать определение арксинуса числа.

2. Сформулировать определение арккосинуса числа.

3. Сформулировать определение арктангенса числа.

4. Сформулировать определение арккотангенса числа.

5. С помощью тригонометрической окружности найти все значения из промежутка [-2 которые соответствуют числам , , , , arcsin 0, arcsin (Приложение 1)

6. Проверить, верно ли равенство:

7. Имеет ли смысл выражение:

2. Объяснение новой темы. Простейшие тригонометрические уравнения.

Определение. Уравнения вида f(x) = а, где а – данное число, а f(x) – одна из тригонометрических функций, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

1. Пусть дано простейшее уравнение cos t = a.

Данное уравнение:

a) при -1< t < 1 имеет две серии корней

t₁ = arсcos a + 2k, k Z

t ₂ = - arсcos a + 2m, m Z.

Эти серии можно записать так

t = ± arсcos a + 2n, n Z ;

б) при а = 1 имеет одну серию решений

t = 2n, n Z ;

в) при а = -1 имеет одну серию решений

t = + 2n, n Z ;

г) при а = 0 имеет две серии корней

t₁ = + 2k, k Z

t ₂ = - + 2m, m Z. Обе серии можно записать в одну серию

t = + n, n Z.

д) при а > 1 и a < -1 уравнение не имеет корней.

Задание 1. Решить уравнения:

1) cos х = ;

2) cos х = - ;

3) cos 4x = 1

4x = 2n, n Z

.

4)

,

.

5)

,

,

.

6) Решите уравнение ; укажите корни, принадлежащие промежутку [-; -2].

а)

б) сделаем выборку корней, принадлежащих промежутку [-2; -].

1) с помощью окружности

2) с помощью графика функции

Ответ: а) ; б) .

Задание 2. Найти корни уравнения:

1) a) cos x =1 б) cos x = - 1 в) cos x = 0 г) cos x =1,2 д) cos x = 0,2

2) а) б) в) г)

2. Пусть дано простейшее уравнение sin t = a.

Данное уравнение :

a) при -1< t < 1 имеет две серии корней

t₁ = arсsin a + 2n, n Z

t ₂ = - arсcsin a + 2n, n Z.

Эти серии можно записать так

t = ( -1)^k arсsin a + k, k Z ;

б) при а = 1 имеет одну серию решений

t = + 2n, n Z

в) при а = -1 имеет одну серию решений

t = - + 2n, n Z;

г) при а = 0 имеет две серии корней

t₁ = 2k, k Z,

t₂ = + 2m, m Z.

Обе серии можно записать в одну серию

t = n, n Z ;

д) при а > 1 и a < -1 уравнение не имеет корней.

Задание 3. Решить уравнения:

1) sin х = ;