Тип урока: урок изучения новой темы.
Класс: 10 класс.
Продолжительность урока: 2 часа (130 минут).
Цели урока:
- дидактические: усвоить навык решения простейших тригонометрических уравнений и их частные случаи;
- развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи;
- воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради и самостоятельность мышления у учащихся.
Организационный этап.
Девиз:
“Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что следует знать”. (Пифагор)
Сегодня на уроке мы научимся решать с вами простейшие тригонометрические уравнения.
1. Актуализация опорных знаний (устная работа).
В результате выполнения задания мы повторим определения арккосинуса, арксинуса, арктангенса и арккотангенса.
1. Сформулировать определение арксинуса числа.
2. Сформулировать определение арккосинуса числа.
3. Сформулировать определение арктангенса числа.
4. Сформулировать определение арккотангенса числа.
5. С помощью тригонометрической окружности
найти все значения из промежутка [-2
которые
соответствуют числам 
, 
, 
, 
, arcsin 0, arcsin
(Приложение 1)
6. Проверить, верно ли равенство:
7. Имеет ли смысл выражение:
2. Объяснение новой темы. Простейшие тригонометрические уравнения.
Определение. Уравнения вида f(x) = а, где а – данное число, а f(x) – одна из тригонометрических функций, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.
1. Пусть дано простейшее уравнение cos t = a.
Данное уравнение:
a) при -1< t < 1 имеет две серии корней
t1 = arсcos a + 2
k, k 
Z
t 2 = - arсcos a + 2m, m Z.
Эти серии можно записать так
t = ± arсcos a + 2n, n Z ;
б) при а = 1 имеет одну серию решений
t = 2n, n Z ;
в) при а = -1 имеет одну серию решений
t = + 2n, n Z ;
г) при а = 0 имеет две серии корней
t1 = 
+ 2k, k Z
t 2 = - 
+ 2m, m Z. Обе серии можно записать в
одну серию
t = 
+ n, n Z.
д) при а > 1 и a < -1 уравнение не имеет корней.
Задание 1. Решить уравнения:
1) cos х = 
;
2) cos х = - ;
3) cos 4x = 1
4x = 2n, n Z
.
4) 
,
.
5) 
,
,
.
6) Решите уравнение 
; укажите корни, принадлежащие
промежутку [-; -2].
а)
б) сделаем выборку корней, принадлежащих
промежутку [-2; -].
1) с помощью окружности
2) с помощью графика функции
Ответ: а) 
; б) 
.
Задание 2. Найти корни уравнения:
1) a) cos x =1 б) cos x = - 1 в) cos x = 0 г) cos x =1,2 д) cos x = 0,2
2) а) 
б) 
в) 
г) 
2. Пусть дано простейшее уравнение sin t = a.
Данное уравнение :
a) при -1< t < 1 имеет две серии корней
t1 = arсsin a + 2n, n Z
t 2 = - arсcsin a + 2n, n Z.
Эти серии можно записать так
t = ( -1)k arсsin a + k,
k Z ;
б) при а = 1 имеет одну серию решений
t = 
+ 2n, n Z
в) при а = -1 имеет одну серию решений
t = - 
+
2n, n Z;
г) при а = 0 имеет две серии корней
t1 = 2k, k Z,
t2 = + 2m, m Z.
Обе серии можно записать в одну серию
t = n, n Z ;
д) при а > 1 и a < -1 уравнение не имеет корней.
Задание 3. Решить уравнения:
1) sin х = 
;
Запишем ответ в виде одной серии x = ( -1)k
+ k, k Z .
2) sin х = -;
Запишем ответ в виде одной серии x = ( -1)k
( - 
+ k, k Z
или x = ( -1)k+1 
+ k, k Z .
Задание 3. Найти корни уравнения :
1) a) sin x =1 б) sin x = - 1 в) sin x = 0 г) sin x =1,2 д) sin x = 0,7
2) а) 
б) 
в) 
г) 
3. Пусть дано простейшее уравнение tg t = a.
Данное уравнение при любом а R имеет одну серию решений
х = аrctg a + n, n Z.
1) tg х = 
х = аrctg + n, n Z.
x = 
+ n, n Z.
2) tg х = 
,
х = аrctg 
+ n, n Z,
x = 
+ n, n Z.
4. Пусть дано простейшее уравнение ctg t = a.
Данное уравнение при любом а R имеет одну серию решений
х = аrcctg a + n, n Z.
1) ctg x = 1
х = аrcctg 1 + n, n Z,
х = + n, n Z.
2) ctg x = - 1
х = аrcctg ( -1) + n, n Z,
х = - аrcctg 1 + n, n Z
х = 
+ n, n Z.
5. Итог урока
Продолжите фразу :
- Сегодня на уроке я повторил …
- Сегодня на уроке я узнал …
- Сегодня на уроке я научился …
Вы молодцы! Каждый из вас “научись тому, что следует знать”. Формулы для решения тригонометрических уравнений записаны на карточке - информаторе. (Приложение 2)
6. Домашнее задание: п.9, пример 1-9, № 137, 139, 141, 142.
Спасибо за урок!
Литература.
- А.Н.Колмогоров Алгебра и начала анализа. 10–11 классы
- С.М. Никольский, М.К. Потапов и др “Алгебра и начала анализа 10”