Урок по теме "Признаки подобия треугольников". 8-й класс

Образовательные:

• формировать умения применять полученные знания при решении разнообразных задач на применение подобия треугольников;
• показать взаимосвязь теории с практикой;
• познакомить учащихся со способами определения высоты предмета и расстояния до недоступного объекта;

Развивающие:

• повышать интерес учащихся к изучению геометрии;
• активизировать познавательную деятельность учащихся;
• формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для продуктивной жизни в обществе.

Воспитательные: Мотивировать интерес учащихся к предмету посредством включения их в решение практических задач.

Используемые ТСО: Проектор, ноутбук, экран.

Этап урока	Форма организации	Время
1. Организационный момент	Фронтальная работа	2 мин
2. Теоретический опрос	Фронтальная работа	10 мин
3. Самостоятельная работа	Индивидуальная работа	5 мин.
4. Подведение к новому материалу. Объяснение нового материала.	Эвристическая работа с классом	10мин.
5. Решение задач на использование подобия треугольников	Совместная исследовательская работа класса	15 мин.
6. Подведение итогов урока	Фронтальная работа	2 мин
7. Домашнее задание		1 мин.

Геометрические знания широко применяются в жизни – в быту, на производстве, в науке. Геометрия всегда решала те задачи, которые перед ней ставила жизнь. Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в 5-4 веках до нашей эры и существует и развивается до сих пор. Например, многие детские игрушки подобны предметам взрослого мира, обувь и одежда одного фасона выпускается различных размеров. Эти примеры можно продолжать и дальше. В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например, футбольный и теннисный мячи, две фотографии разного формата.

Мы уже знаем, что в геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. На уроке мы обсудим свойства подобных треугольников при решении задач на построение, а также решим задачи на определение высоты предмета и на вычисление расстояния до недоступного объекта.

Сегодня мы повторим теоретический материал по теме “Признаки подобия треугольников”, далее вам будет предложена небольшая самостоятельная работа, затем мы вместе докажем теорему о средней линии треугольника. Вторая часть урока – решение задач в GeoGebra на использование признаков подобия треугольников и подведение итогов урока.

2. Теоретический опрос (Приложение 1, слайды 2-8)

1) Дать определение пропорциональных отрезков.
2) Дать определение подобных треугольников.
3) Сформулировать теорему об отношении площадей подобных треугольников.
4) Доказать теорему об отношении площадей подобных треугольников.
5) Сформулировать и доказать первый признак подобия треугольников.
6) Сформулировать и доказать второй признак подобия треугольников.
7) Сформулировать и доказать третий признак подобия треугольников.

3. Самостоятельная работа (слайд 10)

4. Подведение к новому материалу. Объяснение новой темы (слайд 9)

Запишем определение средней линии трапеции.

Для наглядности воспользуемся ИГС (GeoGebra).

– строим произвольный треугольник
– делим две стороны треугольника пополам
– соединяем получившиеся точки

Получили среднюю линию треугольника.

– проверяем параллельность средней линии и стороны треугольника (используем инструмент “параллельность прямых” в GeoGebra).

– измеряем длину средней линии и стороны, параллельной средней линии.

Получаем, что средняя линия равна половине стороны треугольника, параллельной ей.

Проверяем верность полученных результатов с различными треугольниками.

Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Доказательство: Пусть DЕ – средняя линия. Докажем, что DE II АС и DE = 1/2 АС.

Треугольники BDE и ВАС подобны по второму признаку: угол В – общий, а стороны BD и BE относятся к сторонам ВА и ВС как 1/2. Поэтому <BDE = <ВАС (а они соответственные при прямых DE и АС и секущей АВ) и DE̸ АС = 1/2,

Следовательно, DE II АС, а из второго равенства следует, что DE = 1/2 АС.

Теорема доказана.

5. Решение задач на использование признаков подобия треугольников (в ИГС GeoGebra)

Дан треугольник СDE, в котором СЕ = 6, CD = 10, <C = 70⁰. Постройте подобный ему треугольник FJG так, чтобы коэффициент пропорциональности был равен 2.

Решение:
Сначала построим треугольник подобный искомому. Для этого начертим в GeoGebra отрезок CD = 10 (используя ползунок), затем построим <С = 70⁰ и сторону СЕ = 6 (также с помощью ползунка). Так как коэффициент пропорциональности равен 2, следовательно, сходственные стороны будут соответственно равны 5 и 3, а угол между ними равен 70⁰. Строим по этим параметрам треугольник. Это и будет искомый треугольник FJG, т.к. эти треугольники подобны по второму признаку.

Постройте произвольный треугольник АВС. Постройте подобный ему треугольник, площадь которого в 4 раза больше площади треугольника АВС.

Решение: Построим произвольный треугольник АВС. Так как площадь искомого треугольника в 4 раза больше, следовательно, основание и высота искомого треугольника должны быть в 2 раза больше данного.

Строим треугольник по основанию и высоте (высота отсекает отрезки на основании также в 2 раза большие, чем у ∆АВС). Соединяем получившиеся точки. Получили искомый треугольник HEF, подобный треугольнику АВС. Площадь ∆HEF в 4 раза больше площади данного треугольника.

Задача 3
Постройте прямоугольник АВСD, если известно, что перпендикуляр DF, проведенный на диагональ АС делит ее на отрезки CF= 4, AF = 8.

Решение:
Построим произвольный прямоугольник АВСD, проведем перпендикуляр DF на диагональ АС.

Нам нужно построить прямоугольник, подобный АВСD, с диагональю GM, разделенной на отрезки GL и LM, равными соответственно 8 и 4.

Построим диагональ GM = 12. Найдем ее середину и построим окружность с центром в середине диагонали и радиусом равным половине диагонали.

Построим перпендикуляр к GM, в точке L, так что LM = 4, GL = 8.

Точку пересечения окружности и перпендикуляра т. О соединим с точками М и G. Получим прямоугольный треугольник, т.к. вписанный угол, опирающийся на диагональ окружности – прямой. Проведем прямую через точку М параллельную прямой GO и прямую через точку G, параллельную прямой МО. Получим точку пересечения P. Соединим ее с точками М и G. Получим искомый прямоугольник.

Задача 4
Постройте прямоугольный треугольник с углом 70⁰ и медианой длиной 7, проведенной из вершины этого угла.

Решение:
Сначала построим прямоугольный треугольник АВС, подобный искомому. Для этого построим треугольник, у которого <А = 70⁰ и <В = 20⁰(<С = 90⁰). Далее построим медиану АD. Продолжим АD на длину данной медианы АF=7. Через точку F проведем прямую GH, параллельную прямой СВ. Прямая GH пересекается с прямыми AG и AH в точках G и H. Соединим точки, получим треугольник AGH – искомый, т.к. он подобен треугольнику АВС по первому признаку.

Задача 5:
Исследовать четырехугольник, который соединяет середины сторон произвольного четырехугольника. Доказать, что площадь четырехугольника, соединяющего середины, равна половине площади произвольного четырехугольника.

Решение:
Построим произвольный четырехугольник. Разделим каждую его сторону пополам и соединим эти точки. Проверим параллельность противоположных сторон. Для этого используем инструмент “параллельность прямых” в GeoGebra. Убедимся, что противолежащие стороны попарно параллельны, следовательно, этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказать самостоятельно то, что площадь параллелограмма равна половине площади четырехугольника.

Применение подобия для вычисления высоты предметов и расстояния до недоступных предметов.

Задача 6
Определить высоту дерева, если рост человека равен 175 см, длина тени человека равна 140 см, а длина тени от дерева составляет 6 м.

Решение:
Проведем условно линии, соединяющие вершину дерева с концом тени от дерева и голову человека с концом тени от человека. Получились подобные треугольники АВЕ и СDЕ (по двум углам, т.к. углы падения зависят только от высоты солнца над горизонтом). АВ/ СD = АЕ/ СЕ= К. Отсюда АВ = 175х6:140=7.5

Ответ: высота дерева равна 7,5 метра.

Задача 7
Путешественнику необходимо измерить расстояние от берега до острова. Какой самый простой способ это сделать?

Решение:

1. Сделать схематический чертеж и мысленно провести катет АВ и гипотенузу АС.

2. Измерить углы получившегося треугольника и сторону АВ (предположим, что она равна 100м) и создать еще один треугольник, подобный первому со сторонами DE = 5м, FE = 10м.

3. Треугольники АВС и DЕF подобны. Высчитать их коэффициент подобия k=АВ/DE=20.

4. Найти неизвестную нужную сторону, зная ее сходственную сторону: ВС = 20х10 = 200 м.

Ответ: расстояние от берега до острова 200 м.

Вопрос для обсуждения: Какие новые утверждения геометрии нам удалось открыть сегодня?

1) Выучить доказательство теоремы о средней линии треугольника.

2) Доказать, что площадь параллелограмма, соединяющего вершины произвольного четырехугольника, равна половине этого четырехугольника.

3) Учебник “Геометрия 7-9” Атанасян Л.С. № 564, 570. (слайд 11)

Литература и используемые Интернет-ресурсы:

1. Учебник “Геометрия 7-9” Атанасян Л.С. “Просвещение” 2007, Москва.
2. Учебно-методическое пособие “Обучение геометрии с использованием возможностей GeoGebra. Издательство “КИРА” 2011, Архангельск.
3. Методическое пособие “Обучение геометрии с использованием интерактивной среды: дидактические материалы для 7-9 классов”. Издательство “КИРА” 2011, Архангельск.
4. Интернет-ресурс ИГС “GeoGebra” http://geogebra.ru