1. Исходные положения или отправные точки.
“Если человеку каждый раз, столкнувшись с очередной жизненной задачей, приходилось бы с нуля решать ее, то едва ли прогресс человечества достиг бы сегодняшних высот. Разумеется, каждый человек и общество в целом опирается на опыт предшествующих поколений”.
Эта цитата из учебника “Информатика 10–11” авторов А. Г. Гейн, А. И. Сенокосов, Н. А. Юнерман является главной отправной точкой представляемой здесь работы.
Моя цель – рассказать о том, как выстраивается единая линия в изучении темы “Компьютерные модели” в 6 классе МБОУ – Лицей № 4 г. Краснодар.
На тему отводится 8 часов в течение третьей учебной четверти. Заметим, что в первой четверти учащиеся знакомятся с электронными таблицами. Во второй четверти изучается теоретический материал по теме “ Моделирование”. Учащиеся понимают значения терминов, знают этапы решения задачи с применением компьютера. Знакомы с понятием “адекватность модели”.
В процессе изучения темы “Компьютерные модели” ученики выполняют практические работы в среде электронных таблиц, логическим завершением которых являются задача о разумном подходе к потреблению природных ресурсов. Решая задачу “Прирост массы растений”, дети постепенно уточняют и совершенствуют модели, последовательно применяя “Модель неограниченного роста”, “Модель ограниченного роста”, “Модель потребления возобновляемых ресурсов”. Причем переход к модели другого вида логически обоснован.
В результате завершения работ по всему циклу и опираясь на результаты компьютерного моделирования, дети с большим удовольствием отвечают на вопрос: “Сколько можно брать у живой природы, чтобы ее запасы не истощались?”, что само по себе имеет большое воспитательное значение, акцентирует внимание на бережном отношении к окружающей среде и находит отклик в душах детей среднего школьного возраста.
2. Рост числа фазанов. Модель неограниченного роста.
Сформулируем задачу. В 1937 г. на остров Протекшн завезли 8 фазанов. Никто на этих фазанов не охотился (ни люди, ни звери), корма и воды было вдоволь, и через год фазанов стало 26, а еще через год их было 83. Сколько будет фазанов через заданное число лет?
I. Постановка задачи.
Для решения нашей задачи мы намерены использовать компьютер, значит, надо строить компьютерную модель. Выделим существенные факторы.
Окружающая среда выступает как регулятор прироста количества фазанов. Факторов, влияющих на жизнь фазанов много и все их учесть в принципе невозможно. Поэтому условимся рассматривать воздействие окружающей среды на численность популяции фазанов как черный ящик
Черный ящик имеет один вход – численность фазанов на начало года и один выход – число фазанов по прошествии года. Естественно также предположить, что прирост числа фазанов через год пропорционален уже имеющемуся количеству особей, что вполне согласуется с обычными представлениями о размножении.
Таким образом, мы выделяем два существенных фактора:
Начальное количество – М0 и коэффициент прироста за 1 год – К.
II. Создание математической модели.
Число фазанов по истечению n лет обозначим Mn , тогда прирост за один год составит Mn+1 – Mn или К* Mn
Установим связь между параметрами модели: Mn+1 = Mn *(К+1)
Построенную модель называют моделью неограниченного роста.
Сформулируем выводы. Мы построили модель неограниченного роста. Легко заметить, что численность особей растет в геометрической прогрессии, с учетом исходного предположения о том, что действие окружающей среды сказывается только на скорости прироста фазанов. Нетрудно предположить, что применить эту модель можно и для любых других живых организмов. (Смотри Приложение 1, Приложение 2)
3. Прирост массы растений Модель неограниченного роста.
Решая предыдущую задачу, мы построили модель неограниченного роста – модель некоторого природного процесса, пригодную для любых живых организмов, участвующих в этом процессе. Применим эту модель для решения другой задачи. “Прирост массы растений”.
Сформулируем задачу. Используя модель неограниченного роста, проследить за изменением массы растений двух климатических зонах: тундре и тайге.
I. Постановка задачи.
Очевидно, что масса растений на различных территориях будет увеличиваться с разной скоростью. Будем использовать значения коэффициента размножения, экспериментально полученные учеными – биологами для растений в различных природных зонах.
Пусть первоначальная масса растений на некотором участке в каждой из климатических зон равнялась 1 тонне. Напомним два существенных фактора для решения нашей задачи: Начальная масса растений – М0 и коэффициент прироста за 1 год – К
II. Математическая модель.
Будем использовать уже знакомую нам модель неограниченного роста Mn+1 = Mn *(К+1)
IV. Компьютерный эксперимент.
Подготовим таблицу для записи результатов четырех опытов.
| Опыт | Природная зона | Тундра | Тайга | |||
| Коэффициент прироста | 0,6 | 1,8 | ||||
| Начальная масса растений (т) | 1 | 1 | ||||
| 1 | Опыт 1: Через сколько лет масса растений превысит 100 т? | 10 лет | 5 лет | |||
| 2 | Опыт 2: Через сколько лет масса растений превысит 1000 т? | 15 лет | 7 лет | |||
| 3 | Опыт 3: Через сколько лет масса растений превысит 10 000 т? | 20 лет | 9 лет | |||
| 4 | Опыт 4: Через сколько лет масса растений превысит массу Земли 5 976 000 000 000 000 000 000 т? | 107 лет | 49 лет | |||
Построим диаграммы для наглядного представления процесса роста растений в тундре для опытов 1, 2 и 3. (Смотри Приложение 3, Приложение 4)
Сформулируем выводы. В течение жизни одного поколения вся планета превратится в “зеленое море” растений! Есть над чем призадуматься... Видно не все удачно в построенной нами модели. Напомним, что первоначально мы условились о том, что окружающая среда оказывает влияние только на скорость прироста числа особей или массы растений.
Принцип адекватности модели говорит еще и о том, что никакая модель не эквивалентна реальному объекту (процессу или явлению). Проблема адекватности – одна из самых трудных.
Модель неограниченного роста хорошо согласуется с практикой, пока масса живых организмов остается достаточно малой.
В некоторых случаях, когда коэффициент прироста невелик и мала начальная масса, это условие может выполняться годами, так, что экспериментально опровергнуть такую модель бывает довольно трудно. Но в нашем случае налицо нарушение фундаментального закона природы – закона сохранения массы. Продолжим работу над совершенствованием модели.
4. Прирост массы растений. Модель ограниченного роста.
Почему же, однажды родившись, модели не живут вечно? Некоторые из них исчезают, едва появившись на свет. Другие живут столетиями. Но даже модели, построенные лучшими умами человечества, вся равно сменяются другими. Что управляет этой сложной жизнью моделей?
Прежде всего: растут знания человека об окружающем мире, вот и меняются модели. И второе: смена модели может происходить и в силу того, что она не согласуется с более общими законами, открытыми человеком при исследовании природы и общества.
Именно так и случилось, когда мы исследовали рост растений, опираясь на модель неограниченного роста. Выявилось нарушение фундаментального закона природы – закона сохранения массы. Быстрый рост массы растений можно было заранее предвидеть, исходя из математических свойств геометрической прогрессии. Модель оставалась адекватной только при малой начальной массе и малой величине коэффициента прироста.
Продолжим уточнение модели. Конечно, ни при каких, даже самых благоприятных, условиях масса растений не может превысить массу планеты. Выдвинем предположение, что имеется некоторое предельное значение массы растений, “проживающих” на той или иной территории. Так, ученые показали, что запас массы растений не может превосходить 20 т на гектар в полярной зоне и 350 т на гектар в лесной зоне. Это означает, что рост растений ограничен.
И еще одно предположение: чем ближе масса растений к предельно допустимой, тем меньшим становится коэффициент прироста К, т.к. Сначала растения быстро набирают массу, а затем их рост замедляется. Совершенствуя модель, ученые – биологи предложили использовать новую величину – коэффициент пропорциональности А.
Сформулируем задачу. Используя модель ограниченного роста, проследить за изменением массы растений двух климатических зонах: тундре и тайге.
I. Постановка задачи.
Существенные факторы:
Начальная масса растений – М0
Коэффициент прироста за 1 год – Кn
Предельное значение массы живых организмов – L
Коэффициент пропорциональности – А
II. Математическая модель.
Зададим связи между параметрами модели:
Коэффициент прироста будет меняться по формуле Кn=А*(L – Mn ),
где коэффициент пропорциональности находится из соотношения А= К/(L – M0).
Поэтому формула примет вид Mn+1 = Mn + Mn *А*(L – Mn )
Эту модель принято называть моделью ограниченного роста.
IV. Компьютерный эксперимент.
Подготовим таблицу для записи результатов трех компьютерных экспериментов. Сравним новые результаты, полученные при испытании модели ограниченного роста с результатами аналогичных опытов, полученных при работе с моделью неограниченного роста Проанализируем результаты и сделаем выводы.
| № | Природная зона | Неограниченный рост | Ограниченный рост | ||
| Тундра | Тайга | Тундра | Тайга | ||
| 1 | Опыт 1: Через сколько лет масса растений превысит 100 т? | 10 лет | 5 лет | 10 лет | 5 лет |
| 2 | Опыт 2: Через сколько лет масса растений превысит 1 000 т? | 15 лет | 7 лет | 15 лет | 7 лет |
| 3 | Опыт 3: Через сколько лет масса растений превысит 10 000 т? | 20 лет | 9 лет | 23 года | 10 лет |
Построим диаграммы для наглядного представления процесса роста растений в тундре для опытов 1, 2 и 3. Сравним с ранее построенными диаграммами. (Смотри Приложение 5, Приложение 6).
Сформулируем выводы. Так как для решения задачи применяется модель ограниченного роста, то наблюдается ежегодное уменьшение коэффициента прироста, что не может не сказаться на величине массы растений. Результаты первых двух опытов при относительно малых массах растений совпадают. Результаты третьего эксперимента говорят о том, что наряду с увеличением массы растений стало наблюдаться замедление их роста.
5. Сколько можно брать у природы? Модель потребления возобновляемых ресурсов. Управление процессами.
Человек, познавая природу и общество, все активнее и шире вмешивается в действие факторов, влияющих на функционирование этих систем. Влияние это, чаще сознательное, преследует цель – заставить систему функционировать нужным человеку образом, то есть управлять системой. Компьютерное моделирование может применяться и для решения задач управления.
Рассмотрим проблему добычи леса. Лес относится к так называемым возобновляемым ресурсам. Возникает задача управления: сколько леса можно рубить ежегодно, чтобы обеспечить его нормальное воспроизводство?
За основу для решения задачи возьмем уже знакомую нам модель ограниченного роста. Отметим, что появился еще один существенный фактор – воздействие человека. Будем считать, что объем вырубаемого леса в течение года не меняется, поэтому формула изменится незначительно:
Mn+1 = Mn + Mn *А*(L – Mn ) – R,
где R – это объем вырубки.
Такую модель называют моделью потребления возобновляемых ресурсов.
Сформулируем задачу. Используя модель потребления возобновляемых ресурсов, найти оптимальный объем вырубки, при котором будет обеспечено его нормальное воспроизводство.
I. Постановка задачи.
Решать задачу будем только для одной климатической зоны – тайги.
Существенных факторы:
Начальная масса растений – М0
Коэффициент прироста за 1 год – Кn
Предельное значение массы живых организмов – L
Коэффициент пропорциональности – А
Объем вырубки – R
II. Математическая модель.
Удобно рассмотреть еще одну величину: ежегодный прирост – Р
Зададим связи между параметрами модели:
Mn+1 = Mn + Mn *А*(L – Mn ) – R,
Коэффициент прироста будет меняться по формуле Кn=А*(L – Mn ),
где коэффициент пропорциональности находится из соотношения
А= К/(L – M0)
Ежегодный прирост рассчитывается по формуле Р= Mn *А*(L – Mn )
IV. Компьютерный эксперимент.
| Опыт | Природная зона | Тайга |
| 1 | Опыт 1: Объем ежегодной вырубки древесины 1 000 т | Через определенный промежуток времени наступает равновесие: величина прироста в точности совпадает с забираемой массой и равна 1 000 т. Масса древесины равна 10 413 т, что превышает начальный уровень 10 000 т |
| 2 | Опыт 2: Объем ежегодной
вырубки древесины 3 000 т
|
Через несколько лет наступает равновесие: величина прироста в точности совпадает с забираемой массой и равна 3 000 т. Масса древесины равна 8 952 т, что меньше начального уровня 10 000 т |
| 3 | Опыт 3: Объем ежегодной вырубки древесины 5 000 т | Равновесие в природе не наступает. Уровень прироста меньше объема вырубки древесины. Через 30 лет лес погибнет. |
| 4 | Опыт 4: Найти оптимальный объем ежегодной вырубки леса, при котором будет сохраняться его нормальное воспроизводство | Оптимальный объем
составляет 1637 т ежегодно. При этом в природе
наступает равновесие. Масса древесины равна начальной массе 10 000 т. |
Построим диаграммы. (Смотри Приложение 7, Приложение 8).
Мы нашли ответ на вопрос: “Сколько можно брать у живой природы, чтобы ее запасы не истощались?” Для того чтобы, ресурсы возобновлялись, можно производить вырубку леса в объемах, не превышающих 1 637 т ежегодно при начальной массе 10 000 т.
(См. Презентацию)