Решение задач на нахождение расстояний и углов в пространстве координатным методом

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (767 кБ)

Цели урока:  

  1. Обобщить и систематизировать знания и умения учащихся по теме урока;
  2. Помочь учащимся научиться решать задачи С-2 координатным методом;
  3. Развивать пространственное мышление учащихся.

Ход урока

Деятельность учителя Деятельность учащихся
I. Актуализация знаний учащихся
Какие основные фигуры стереометрии вы знаете? Точка, прямая, плоскость
Расстояния и углы между какими фигурами можно найти? Отвечают на вопрос
Сообщение темы и целей урока. Самоцелеполагание учащихся.
Слайд 2. Математический диктант.

Записать в координатах:
1. Условие коллинеарности двух векторов.
2. Условие перпендикулярности двух векторов.
4. Формулу для нахождения длины вектора.		 Выполняют самопроверку математического диктанта.


 
3. Формулу для нахождения косинуса угла между векторами в координатах.

5. Уравнение плоскости.

 5. Ax+By+Cz+D=0
II. Операционально-познавательный этап
Слайд 3. Алгоритм решения задач координатным методом поможет вам успешно справиться с нахождением расстояний и углов в пространстве.
1. Ввести прямоугольную систему координат
– на плоскости основания многогранника;
– в пространстве.
2. Найти координаты точек, о которых идет речь в условии задачи.
3. Найти координаты
– направляющих векторов прямых;
– векторов, перпендикулярных плоскостям
4. Воспользоваться соответствующей формулой для нахождения
– расстояний в пространстве;
– углов в пространстве.		 Записывают алгоритм в справочники.
Выполним упражнения на отработку каждого шага алгоритма.
Слайд 4. Введите прямоугольную систему координат, если в основании многогранника лежит:
– прямоугольник;
Какие еще возможны варианты?
– квадрат;
Слайд 5. – равнобедренный треугольник;
– правильный шестиугольник;
Слайд 6. – ромб;
Слайд 7. Введите прямоугольную систему координат в …
– кубе;
– правильной шестиугольной призме;

Предлагают разные способы расположения системы координат для каждого предложенного многоугольника с указанием начала координат и направления осей.

Предлагают разные способы расположения системы координат для каждого предложенного многогранника с указанием начала координат и направления осей.
Слайд 8. – правильной треугольной призме;
– правильной четырехугольной пирамиде; 		 
Слайд 9. Для нахождения координат точек необходимо уметь определять проекции точки на плоскость.
Назовите наклонную к плоскости, ее проекцию на плоскость, проекции точек В, М.
Как построить проекцию точки на плоскость?
Слайд 10. На какие отрезки в плоскости основания четырехугольной пирамиды попадают проекции точек
Р, М, S, K, N?
Слайд 11. На какие отрезки в плоскости основания правильной шестиугольной призмы попадают проекции точек А1, S, Р?
Проекциями каких точек являются точки B, E, D в плоскости основания призмы?		 Отвечают на вопросы.
АВ – наклонная к плоскости α.
ВС – перпендикуляр к плоскости α.
АС – проекция наклонной АВ на α.
Точка С – проекция точки В.
М1 – проекция точки М.

В т. О, на отрезки АО; ОС; ВО; ОD.


В т. А, на отрезки АЕ; АD.

В1, Е1, D1.
Слайд 12.
Составьте уравнение плоскости по 3 точкам:
А(0; -0,5; 0); D(0; 0,5; 1); В1(√3/2; 0; 2).
Предложите способ решения задачи.		 Подставить последовательно в общий вид уравнения плоскости Ax+By+Cz+D=0 координаты точек и решить полученную систему уравнений. Выполняет ученик у доски.
Слайд 13. Составьте уравнения координатных плоскостей самостоятельно (3 варианта). Выполните взаимопроверку в парах.
Вектор нормали к плоскости Ax+By+Cz+D=0 имеет координаты {A;B;C}.
Запишите координаты векторов нормали к координатным плоскостям и к плоскости ADB1. 		Самостоятельная работа с последу-ющей взаимопроверкой в парах.
Уравнения координатных плоскостей yOz: x=0, xOz: y=0, xOy: z=0.
У вас на столах таблицы для заполнения формул расстояний и углов в пространстве в координатах.
Слайд 14. Решите задачу. В кубе АВСDА1В1С1D1, сторона которого равна 3, на диагоналях граней АD1 и D1В1 взяты точки Е и К так, что D1Е: АD1 =1:3,
D1K : D1B1 = 2:3. Найдите длину отрезка DK.
 Запишите формулу расстояния между точками в таблицу.

 Решают задачу по алгоритму.
1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А, как показано на рисунке.
2. Найдем координаты точек Е и К с помощью их проекций Е1 и К1 на плоскость основания (АВС). А(0;0;0); Е1(2;0;0); Е(2;0;2); К1(1;2;0); К(1;2;3).

Ответ. √6
Слайд 15. Решите задачу. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.
Найдите расстояние от точки В до точек Е1, D1.
Что необходимо узнать для определения координат данных точек?










 Решают задачу по алгоритму.
1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке В, как показано на рисунке.
2. Найдем координаты точек Е1 и D1 с помощью их проекций Е и D на плоскость основания (АВС).


Ответ. √5; 2
Слайд 16. № 500013. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.
Найдите расстояние от точки В до плоскости DEA1.

Чем может помочь предыдущая задача?


Запишите формулу расстояния от точки до плоскости в таблицу.

 Воспользуемся результатом решения предыдущей задачи п.1,2.
Слайд 17. № 484577. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АA1 и ВC1.

Предложите способы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми.
К какой задаче сводится решение?
Переформулируйте вопрос задачи.

Что необходимо узнать для определения координат данных точек?
Запишите формулу расстояния между скрещивающимися прямыми в таблицу.
 Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки на одной прямой до плоскости, содержащей вторую прямую и параллельной первой прямой.
Найдем расстояние от точки А до плоскости ВСC1.
Решают задачу по алгоритму.
Введем прямоугольную систему координат с началом в точке О, как показано на рисунке.
Слайд 18. Найдите расстояние между плоскостями сечений куба (PRS) и (NKM), ребро которого 12, где DN:NC=A1P:PB1=1:2, B1S:SB=D1M:MD1=1:3, B1R:RC1=DK:KA=1:4.



Расстояние между какими плоскостями можно находить?
Как определить параллельность плоскостей?
Запишите формулу расстояния между параллельными плоскостями в таблицу.
 Решают задачу по алгоритму.
1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке В, как показано на рисунке.
2. В(0; 0; 0); P(6; 0; 12); R(0; 3; 12); S(0; 0; 8); N(6; 12; 0); K(12; 9; 0); M(12; 12; 4).
3. Уравнение плоскости (PRS) имеет вид 2x+4y-3z+24=0, а уравнение плоскости (NKM) 2x+4y-3z-60=0, значит, плоскости параллельны.
Слайд 19. № 500387. На ребре СC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC1=2:1. Найдите угол между прямыми BE и AC1.
Как поступают, чтобы найти координаты точек?

Запишите формулу косинуса угла между прямыми в таблицу.
Решают задачу по алгоритму.
1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А, как показано на рисунке.
Вводят длину ребра куба.
Пусть СC1= 3.
2. А (0, 0, 0), В (0, 3, 0), Е (3, 3, 2), C1(3, 3, 3).
Слайд 20. № 500347. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка D – середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
Что необходимо узнать для определения координат данных точек?
Запишите формулу угла между плоскостями в таблицу.




 Решают задачу по алгоритму.
1. Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке.
Слайд 21. № 484568. Длины ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD с вершиной Р равны между собой. Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью BDP, если точка М – середина бокового ребра пирамиды АР.

Как поступают, чтобы найти координаты точек?
Что необходимо узнать для определения координат данных точек?

 Запишите формулу синуса угла между прямой и плоскостью в таблицу
.		 Решают задачу по алгоритму.
1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке О – точке пересечения диагоналей квадрата, как показано на рисунке.
Вводят длину ребра.
Пусть АВ = 1.
Слайд 22. № 500001. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD со стороной 4√3, а угол BAD равен 60°. Найти расстояние от точки А до прямой C1D1, если боковое ребро параллелепипеда равно 8.

– Что лежит в основании параллелепипеда?
– Как введем прямоугольную систему координат?


– Координаты каких точек надо найти?
Анализируют условие задачи, отвечают на вопросы.
– Ромб.
– Т.к. диагонали ромба перпендикулярны, то начало координат можно взять в точке их пересечения.
Работаем по алгоритму.
1. Введем систему координат, как показано на рисунке.
– Координаты точек А, C1, D1 и основания перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую C1D1 – точки K1.
– Где лежит проекция точки K1?
– Каковы ее координаты?
Что необходимо узнать для определения координат данных точек?
 – На прямой СD. Пусть K1(х0, у0, z0), ее проекция К(х0, у0, 0)
Из равностороннего треугольника ABD: AB =AD =BD = 4√3, DO = 2√3.
Из прямоугольного треугольника AOD находим АО = 6.
2. А(6; 0; 0;), C1(-6;0;8), D1 (0; 2√3; 8), K1(х0, у0, 8)
Слайд 23.
Чтобы найти координаты точки K1 – основания перпендикуляра, проведенного из точки А на прямую C1D1, надо воспользоваться:
а) пропорциональностью координат коллинеарных векторов , выразить координаты точки K1 через λ;
б) скалярным произведением перпендикулярных векторов


Запишите формулу расстояния от точки до прямой в таблицу.


 Найдем остальные координаты точки K1.
Слайд 24. Домашнее задание. Решите задачи по выбору: № 484559, 484569, 485992, 485997, 500007, 500193, 500367 на сайте reshuege.ru Записывают домашнее задание
III. Рефлексивно-оценочный этап
Смогли ли вы реализовать на уроке поставленные перед собой цели?
Что оказалось для вас простым и понятным?
В чем затруднялись?
Что полезное для себя унесете с урока?
Как оцениваете свою работу на уроке?
Какое пожелание сделаете мне? 		Учащиеся отвечают на вопросы, высказывают свое мнение, оценивают удовлетворенность своей работой на уроке.
Слайд 25. При разработке презентации были использованы
1. reshuege.ru – образовательный портал для подготовки к экзаменам.
2. www.alexlarin.narod.ru – сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов высшей математики.
3. Потоскуев Е.В. Геометрия 10 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений с углубленным и профильным изучением математики/ Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. – 5-е изд., стереотип. – М.: Дрофа. 2007. – 223, [1]c.: ил.