Цели урока:
Образовательные:
– научить учащихся возводить двучлен в натуральную степень;
– находить биноминальные коэффициенты, используя треугольник Паскаля;
Развивающие:
– развивать логическое мышление, такие мыслительные операции, как синтез и
анализ, обобщение и сравнение;
– развивать умение выдвигать гипотезы при решении учебной задачи и понимать
необходимость их проверки;
– развивать интерес к предмету.
Воспитательные:
– создание условий для формирования информационной культуры учащихся.
Методы: проблемный, объяснительно – иллюстративный, частично-поисковый.
Оборудование: школьная доска, компьютер, проектор.
Раздаточный материал: “Треугольник Паскаля”, карточки для самостоятельной работы
Ход урока
1. Организационный момент.
Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы.
2. Актуализация опорных знаний и постановка проблемы.
На экране фрагмент фильма “Мастер и Маргарита”)
Комментарий к фрагменту.
О биноме Ньютона речь идет в романе “Последнее дело Холмса”Конан Дойля Позже это же выражение упомянуто в фильме “Сталкер” А.А.Тарковского. Бином Ньютона упоминается в фильме “Расписание на послезавтра”, в повести Льва Толстого “Юность” в эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет Николаем Иртеньевым и в романе Замятина “Мы”.
Когда хотят подчеркнуть, что собеседник преувеличивает сложность задач, с которыми он столкнулся, говорят: “Тоже мне бином Ньютона!” Дескать, вот бином Ньютона, это сложно, а у тебя какие проблемы! Что же это за формула такая и почему о ней слышали даже те люди, чьи интересы никак не связаны с математикой?
Так что же такое бином Ньютона?
3. Повторим формулы сокращенного умножения, которые мы с вами знаем.
У доски учащиеся записывают формулы квадрата суммы и разности, формулы куба суммы и куба разности двух выражений.
(а + в)2 = а2+ 2ав + в2
(а – в)2 = а2 – 2ав + в2
(а + в)3= а3 + 3а2в + 3ав2 + в3
(а – в)3= а3 – 3а2в + 3ав2 – в3
Попробуйте записать формулу для 4-ой степени
(а+в)4=(а+в)3(а+в)=(а3+3а2в+3ав2+в3)(а+в)=
а4 + 3а3в + 3а2в2 + ав3 + а3в + 3а2в2 + 3ав3 + в4 =
а4 + 4а3в + 6а2в2 + 4ав3 + в4 .
и для 5-ой степени:
(а + в)5= (а + в)4(а + в) = (а4 + 4а3в + 6а2в2 + 4ав3 + в4)(а + в) =
а5 + 4а4в + 6а3в2 + 4а2в3 + в4а + а4в + 4а3в2 + 6а2в3 + 4ав4 + в5 =
а5 + 5а4в + 10а3в2 + 10а2в3 + 5ав4 + в5
Внимательно рассмотрим полученные формулы: на экране таблица “Смотри!”
n = 0 (а +в)0 = 1
n = 1 (а +в )1 = 1·а+1·в
n = 2 (а + в)2 = 1· а2+ 2·ав +1· в2
n = 3 ( а + в)3 = 1· а3 + 3·а2в + 3·ав2+1· в3
n = 4 ( а + в)4 = 1·а4 + 4·а3в + 6·а2в2+4·а в3 +1·в4
n = 5 (а + в)5 = 1·а5+ 5·а4в+ 10·а3в2+ 10·а2в3+ 5·ав4+ 1·в5
Заметим следующее (обсуждаем вместе с учащимися увиденные закономерности):
1. число членов получаемого многочлена на единицу больше показателя степени бинома;
2. показатель степени первого слагаемого убывает от n до 0, показатель степени второго слагаемого возрастает от 0 до n;
3. степени всех одночленов равны степени двучлена в условии;
4. каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа; числа– биноминальные коэффициенты;
5. биноминальные коэффициенты, равноотстоящие от начала и конца разложения, равны.
Слово “бином” означает всего-навсего двучлен, т.е. сумму двух слагаемых.
Происходит оно от латинских корней: два и слово.
Попробуем, используя полученные выводы, записать бином для шестой степени.
У доски ученик записывает формулу.
Коэффициенты разложения степени бинома легко найти по следующей схеме, которая называется “треугольник Паскаля”, по имени французского математика Блез Паскаля (1623–1662) (презентация, сделанная учащимися)
Каждый крайний элемент равен 1, а каждый не крайний элемент равен сумме двух своих верхних соседей .
Комментарий к презентации:
Блез Паскаль умер в 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, он вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем благодарными потомками названы единица давления(паскаль) и получивший чрезвычайно широкое распространение язык программирования. Но, наверное, самой известной математической работой Блеза Паскаля является “Трактат об арифметическом треугольнике”, образованном биноминальными коэффициентами, который имеет применение в теории вероятностей, комбинаторики, математическом анализе, теории чисел и обладает удивительными и занимательными свойствами. Кстати, одну из первых теорем в проективной геометрии Паскаль доказал в возрасте 16 лет.
Именно И.Ньютон в 1664–1665 гг. вывел формулу, выражающую степень двучлена для произвольных дробных и отрицательных показателей.
Найти разложение бинома (у каждого на парте треугольник Паскаля).
1. У доски вместе с учителем
№ 1. ( х +у)5 = х5 + 5х4у + 10х3у2 + 10х2у 3+ 5ху4 + у5
№ 2 (1 + 2а)4 = 14 + 4·13·2а + 6·12·(2а)2 + 4· 11·(2а)3 + (2а)4 =
1 + 8а + 24а2 + 32а3 + 16а4
№3 (х – у)6 = (х + (-у))6 = х6 + 6х5(-у) + 15х4(-у)2 + 20х3(-у)3 +
15х2(-у)4 + 6х(-у)5 + у6= х6– 6х5у +15х4у2– 20х3у3 + 15х2у4 – 6ху5+ у6.
2. Биноминальные коэффициенты можно вычислять по формуле.
Записывается формула бинома Ньютона. Формула для нахождения коэффициентов.
В более общем виде формула коэффициентов в биноме записывается так:
где k – порядковый номер слагаемого в многочлене.
Напомним, что факториал – произведение натуральных чисел от 1 до n, то
есть 1·2·З...·n – обозначается n! Например: 4! = 1·2·3·4 = 24.
3. Работа с учебником (с. 116–118,задача №1, задача № 2).
4. Самостоятельная работа по карточкам:
1. ( 1 + 3а)4
2. (2а – в)5
3. (3в + 1)4
4. (х – 2у)5
Домашнее задание:
стр.116–118, № 62, 63, 67,
для желающих стр.118– 119( свойства биноминальных коэффициентов + № 64.
Итог урока. Оценки за урок.