Рассмотрим стандартные (изучаемые в школьном курсе математики) и нестандартные приёмы решения квадратных уравнений.
1. Разложение левой части квадратного уравнения на линейные множители.
Рассмотрим примеры:
3) х2 + 10х – 24 = 0.
6(х2 +
х – 
х ) = 0 | : 6
х2 +
х – 
х – = 0;
х(х – )
+ 
(х – 
) = 0;
х(х – 
)
(х + 
) = 0;
– .
Ответ: ; – .
Для самостоятельной работы:
Решите квадратные уравнения, применяя метод разложения левой части квадратного уравнения на линейные множители.
| а) х2 – х = 0; г) х2 – 81 = 0; ж) х2 + 6х + 9 = 0; |
б) х2 + 2х = 0; д) 4х2 – з) х2 + 4х + 3 = 0; |
в) 3х2 – 3х = 0; е) х2 – 4х + 4 = 0; и) х2 + 2х – 3 = 0. |
= 0;Ответы:
| а) 0; 1 г) ± 9 ж) – 3 |
б) -2; 0 д) з) -3; -1 |
в) 0; 1 е) 2 и) -3; -1 |
2. Метод выделения полного квадрата.
Рассмотрим примеры:
Для самостоятельной работы.
Решите квадратные уравнения, применяя метод выделения полного квадрата.
3. Решение квадратных уравнений по формуле.
ах2 + вх + с = 0, (а 
| · 4а
4а2х2 + 4ав + 4ас = 0;
2ах + 2ах·2в + в2 – в2 + 4ас = 0;
;
2ах = -в ±;
х1,2 =
.
Рассмотрим примеры.
Для самостоятельной работы.
Решите квадратные уравнения, применяя формулу
х1,2 =.
4. Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)
x2 + px +q = 0 – приведённое квадратное уравнение
Если 
то уравнение имеет два одинаковых корня по знаку
и это зависит от коэффициента 
.
Если 
p
, то 
.
Если
p
, то
.
Например:
Если 
то уравнение имеет два различных по знаку корня,
причём больший по модулю корень будет 
, если p и будет 
, если p.
Например:
Для самостоятельной работы.
Не решая квадратного уравнения, по обратной теореме Виета определите знаки его корней:
Ответы:
а, б, к, л – различные корни;
в, д, з – отрицательные;
г, е, ж, и, м – положительные;
5. Решение квадратных уравнений методом “переброски”.
Для самостоятельной работы.
Решите квадратные уравнения, применяя метод “переброски”.
6. Решение квадратных уравнений с применением свойств его коэффициентов.
I. ax2 + bx + c = 0, где a 
0
1) Если а + b + с = 0, то х1 = 1; х2 = 
Доказательство:
ax2 + bx + c = 0 |: а
х2 + 
х + = 0.
По теореме Виета 
По условию а + b + с = 0, тогда b = -а – с. Далее получим
Из этого следует, что х1 =1; х2 = . Что и
требовалось доказать.
2) Если а – b + с = 0 (или b = а +с ) , то х1 = – 1; х2
= –
Доказательство:
По теореме Виета 
По условию а – b + с = 0 , т.е. b = а +с . Далее получим:
Поэтому х1 = – 1; х2 = – .
Рассмотрим примеры.
1) 345 х2 – 137 х – 208 = 0.
а + b + с = 345 – 137 – 208 = 0
х1 = 1; х2 =
= 
Ответ: 1;
2) 132 х2 – 247 х + 115 = 0.
а + b + с = 132 -247 -115 = 0.
х1 = 1; х2 = = 
Ответ: 1;
Для самостоятельной работы.
Применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения, решите уравнения
II. ax2 + bx + c = 0, где a 0
х1,2 = 
. Пусть b = 2k, т.е. чётное. Тогда получим
х1,2 = 
= 
= 
=
Рассмотрим пример:
3х2 – 14х + 16 = 0 .
D1 = (-7)2 – 3·16 = 49 – 48 = 1
х1,2 = 
;
х1 = 
= 2; х2 = 
Ответ: 2;
Для самостоятельной работы.
а) 4х2 – 36х + 77 = 0
б) 15х2 – 22х – 37 = 0
в) 4х2 + 20х + 25 = 0
г) 9х2 – 12х + 4 = 0
Ответы:
а) 3,5; 5,5
б) -1; 2
в) -2,5
г)
III. x2 + px + q = 0
х1,2 = – 
± 
2– q
Рассмотрим пример:
х2 – 14х – 15 = 0
х1,2 = 7 
= 7 
х1 = -1; х2 = 15.
Ответ: -1; 15.
Для самостоятельной работы.
а) х2 – 8х – 9 = 0
б) х2 + 6х – 40 = 0
в) х2 + 18х + 81 = 0
г) х2 – 56х + 64 = 0
Ответы:
а) -1; 9
б) -10; 4
в) –9
г) 28
18
7. Решение квадратного уравнения с помощью графиков.
Примеры.
а) х2 – 3х – 4 = 0
х2 = 3х + 4
Ответ: -1; 4
б) х2 – 2х + 1 = 0
х2 = 3х + 4
Ответ: 1
в) х2 – 2х + 5 = 0
х2 = 2х -5
Ответ: нет решений
Для самостоятельной работы.
Решить квадратные уравнения графически:
8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
ax2 + bx + c = 0,
х2 + х + = 0.
х1 и х2 – корни.
Пусть А(0; 1), С(0;
По теореме о секущих:
ОВ
· ОД = ОА · ОС.
Поэтому имеем:
х1 · х2 = 1 · ОС;
ОС = х1 х2
К(
; 0),
где
= -
F(0; 
) =
(0; 
) = 
)
S(-; 
)
Итак:
1) Построим точку S(-; ) – центр окружности и точку А(0;1).
2) Проведём окружность с радиусом R = SA/
3) Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью ох являются корнями исходного квадратного уравнения.
Возможны 3 случая:
1) R > SK (или R > 
).
Окружность пересекает ось ох в точке В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 – корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
2) R = SK (или R = ).
Окружность касается оси ох в тоске В1(х1; 0), где х1 – корень квадратного уравнения
ax2 + bx + c = 0.
3) R < SK (или R < ).
Окружность не имеет общих точек с осью ох, т.е. нет решений.
Примеры.
1) x2 – 2x – 3 = 0.
Центр S(-; ),т.е.
х0 = 
= – 
= 1,
у0 =
= 
= – 1.
(1; – 1) – центр окружности.
Проведём окружность (S; AS), где А(0; 1).
Ответ: х1 = – 1; х2 = 3.
2) x2 – 5x + 4 = 0.
х0 = = – 
= 2,5; у0 = = 
= 2,5.
Ответ: х1 = 1; х2 = 4.
3) x2 + 4x + 4 = 0.
х0 = = – 
= – 2,
у0 = = = 2,5
Ответ: х = -2.
4) x2 – 2x + 3 = 0.
х0 = = – = 1,
у0 = = 
= 2.
Ответ: нет решений.
Для самостоятельной работы.
Решить следующие квадратные уравнения с помощью циркуля и линейки:
9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
Для решения используют Четырёхзначные математические таблицы В.М. Брадиса (таблица XXII, стр. 83).
Номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения x2 + px + q = 0, по его коэффициентам определить корни уравнения. Например:
5) z2 + 4z + 3 = 0.
Оба корня отрицательные. Поэтому сделаем замену: z1 = – t. Получим новое уравнение:
t2 – 4t + 3 = 0.
t1 = 1 ; t2 = 3
z1 = – 1 ; z2 = – 3.
Ответ: – 3; – 1
6) Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, то выполняют подстановку z = k · t и решают с помощью номограммы уравнение: z2+ pz + q = 0.
к2 t2 + p· kt + q = 0. |: к2
t2 + 
t + 
= 0.
к берут с расчётом, чтобы имели место неравенства:
Для самостоятельной работы.
С помощью таблицы Брадиса решить следующие квадратные уравнения:
10. Геометрический метод решения квадратных уравнений
Рассмотрим примеры, которые решаются с помощью геометрии.
Пример 1. (из “Алгебры” ал-Хорезми)
х2 + 10х = 39.
10 : 4 = 2
; · 2 = 6
.
SABCD = х2 + 4Sпр. + 4Sкв. = х2
+ 4·2х + 4
· 6 = х2
+ 10х + 25.
Заменим х2 + 10х на 39.
SABCD = 39 + 25 = 64 = 82.
Значит сторона АВ = 8.
х= 8 – 2
– 2 =8 – 5
= 3.
х = 3
х1 + х2 = -10,
3 + х2 = -10,
х2 = -13.
Ответ: – 13
Пример 2. (решение уравнения древними греками)
у2 + 6у – 16 = 0.
у2 + 6у = 16, |+ 9
у2 + 6у + 9 = 16 + 9
(у + 3)2 = 25
у + 3 = ± 5,
у1 = 2, у2 = -8.
Ответ: -8; 2
Для самостоятельной работы.
Решите геометрически уравнение у2 – 6у – 16 = 0.
Ответ: – 2; 8.