Цели:
- дидактическая
Задача: провести повторение, обобщение и систематизацию знаний учащихся по теме “Квадратные уравнения. Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля ”.
Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации знаний.
Организационные формы общения: работа в группах, индивидуальная работа.
Форма проведения урока: беседа с элементами самостоятельной работы учащихся, работа у доски, индивидуальная и групповая работа по выполнению учебных заданий.
Оборудование: ПК, проектор, экран.
Ход урока
I. Организационный момент.
(Приветствие учащихся и проверка готовности к уроку.)
– Квадратные уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.), сегодня на уроке мы должны суметь применить все свои знания и умения к решению квадратных уравнений с параметром и модулем.
II. Постановка цели.
– Тема урока: “Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля”. Сегодня у нас урок по решению квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Ребята, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы?
– Иными словами, повторить, обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений, квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Для возможности выбора рационального пути решения.
– Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, квадратных уравнений с параметром и модулем, научиться выбирать рациональный путь решения.
III. Воспроизведение и коррекция опорных знаний:
– Прежде всего, вспомним некоторый, изученный материал. Приложение 1
– Выполним устно задания теста. Приложение 2
– Итак, весь необходимый материал повторили, я приглашаю вас на презентацию решения квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Для начала заполним карточки, которые лежат у каждого на столе. Приложение 3
Проверим. Возьмите в руки простой карандаш, сверим ответы.
Поднимите руки те, кто безошибочно справились с работой. Молодцы! Передайте свои заполненные карточки вперед.
IV. Обобщение и систематизация знаний, их применение для выполнения практических заданий:
1. Пример: Решите уравнение: x2-5│х│= 0.
Решение. Используя свойство модуля: |a|2=a2, перепишем данное уравнение в виде: │х│* (│х│– 5) = 0. Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю. Решив уравнение, имеем: х1= 0, х2,3= +5.
Ответ: -5;0;5.
2. Пример: Существует ли на окружности, заданной уравнением (х-3)2 + (у+1)2 = 7, точка: а) с абсциссой, равной 1,5; б) с ординатой, равной – 3?
Решение. а) (у+1)2 = 7 – (1,5 – 3)2>0 – такая точка существует; б) (х+3)2=7-(-3+1)>0-такая точка существует.
3.Пример: дано соотношение 2а2+4а + 2b2 -4b – 5(a+1)(b-1) +4 = 0. Выразите b через а.
Решение. Имеем 2(а2+2a)+2(b2-2b) – 5(a+1)(b-1) +4 = 0;
2(a2+2a+1) +2(b2-2b+1)-5(a+1)(b-1)=0; 2(a+1)2-5(a+1)(b-1)+2(b-1)2=0.
Рассматривая это равенство, как квадратное уравнение относительно а+1, получим a+1 = 2(b-1) или a+1=(b-1)/2. Следовательно, b = (a+3)/2 или b= 2a+3.
V. Физкультминутка.
4. Пример: Решите уравнение:│х2+х-3│=х.
Решение. Решим методом замены уравнения совокупностью, по определению модуля получаем систему:
Ответ: 1, √3.
5.Пример: Решите уравнение: │х+3│=│2х2+х-5│.
Решение. Решим методом замены уравнения совокупностью двух уравнений, по определению модуля получаем:
Ответ: +2, (-1+√5)/2.
6.Пример: Решите уравнение: х2+(3-а)х-3а ‗0
Ответ: Нет решений при а = -3 и а = 4; при х = а данное уравнение имеет решение.
VI. Усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний:
7.Пример: Решите уравнение: │х-2│х2=10-5х.
Решение. Так как │х-2│х2=5(2-х), то х≤2.
Тогда уравнение примет вид (х-2)х2=5(2-х);
Ответ: 2, -√5.
8. Пример: Решите уравнение:
‗0х2-(3b-1)х+2b2– 2b
х2-7х+6
Ответ: При b =7 или b = 2: один корень х = 2 b; при b = 1/2 или b = 3: один корень х = b – 1; при остальных b: два корня х = 2 b и х = b – 1.
VII. Оперирование ЗУН-ми в стандартных ситуациях:
9. Пример: Найдите сумму квадратов всех корней уравнения
x2-5│х│+ 1= 0.
Решение. Применив метод – введения новой переменной, решим уравнение. Пусть: t = │х│, получим уравнение t2 – 3t + 1 = 0, имеющее два корня t1 и t2 (так как D>0). Очевидно, что корни t1 и t2 – положительны (t1 + t2 >0, t1 * t2 >0). Следовательно, по свойству модуля исходное уравнение, равносильно совокупности уравнений
имеет четыре корня: + t1, + t2. Их сумма квадратов t12 + (-t1 )2 + t22 + (-t2 )2 = 2(t12+t22). Так как t12+t22 = (t1+t2)2 – 2 t1 t2 = 9 – 2*1 = 7, то искомая сумма квадратов всех корней равна 14.
Ответ: 14.
10.Пример: При каком значении параметра а уравнение (а + 4х – х2 -1)(а+1-│х – 2│) = 0 имеет три корня?
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:
Рассмотрим уравнение х2 – 4х + 1 – а = 0.
Так как ¼ D = 4 – 1 + а = 3 + а, то при а > – 3 оно имеет два корня;
при а = – 3 – один корень; при а < – 3 – корней нет.
Рассмотрим уравнение │х – 2│= а + 1. При а = – 1 оно имеет один корень, при а > – 1 – два корня. При а < – 1 корней нет. Очевидно, что при а = – 1 исходное уравнение имеет три корня. При а > – 1 каждое из уравнений имеет по два корня, симметричных относительно точки х0 = 2. В этом случае х = 2 не является корнем, а общее число корней уравнений четно.
Итак, исходное уравнение имеет три корня лишь при а = – 1.
Ответ: а = – 1.
VIII. Пауза отдыха:
– Посмотрите на многообразие методов решения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие? Как много вопросов…
Безусловно, человечество “додумалось” до всего не сразу и не в одночасье. Для этого потребовались долгие годы и даже столетия. Обратимся к историческому путеводителю. Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся ко второму тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта. Первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь. Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению. И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым он заложил основы буквенной алгебры.
IX. Выполнение упражнений:
11. Одна из цифр двузначного числа на 3 меньше другой, а сумма квадратов этого числа и числа, полученного перестановкой его цифр, равна 1877. Найдите это число.
Решение. Пусть а – одна из цифр числа, тогда а + 3 – другая цифра. Исходное число имеет вид 10а + (а + 3) = 11а + 3.
После перестановки цифр получится число 10(а + 3) + а = 11а + 30. Согласно условию, получаем уравнение (10а + 3)2+(11а+30)2 = 1877, откуда находим а = 1.
Ответ: 14 или 41.
X. Подведение итогов.
– Сегодня на уроке мы:
1) повторили определение квадратного уравнения;
2) рассмотрели виды квадратных уравнений и алгоритм решения квадратных уравнений, формулы для нахождения корней квадратного уравнения;
3) сформулировали теорему Виета и обратную ей теорему;
4) повторили определение модуля и параметра;
5) рассмотрели способы решения квадратных уравнений, содержащих параметр;
6) рассмотрели способы решения квадратных уравнений, содержащих модуль;
7) обобщили опыт решения квадратных уравнений с параметром и модулем;
8) научились выбирать наиболее рациональный метод решения квадратного уравнения с параметром и модулем.
– Оценки на уроке выставляются: – за теоретический опрос;
– за индивидуальную работу у доски;
– за работу по карточкам;
– за самостоятельную работу.
XI. Домашнее задание и его инструктаж:
М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Приложение 4
XII. Рефлексия.
(Учащимся предлагается выполнить задание на приготовленных карточках)
Список литературы
- Анищенко А.Г.