Цель: научить решать тригонометрические уравнения.
Задачи:
- учить решать тригонометрические уравнения;
- развивать интеллектуальную культуру учащихся;
- воспитывать аккуратность, точность, интерес к предмету.
Тип урока: комбинированный
Оснащение учебного процесса: мультимедийный проектор, компьютер, карточки – задания.
Ход занятия
1. Организационный момент.
2. Актуализация опорных знаний:
а) формула корней уравнения sin 
где 
Ответ:
, где
б) формула корней уравнения cos где
Ответ:
, где
в) формула корней уравнения tg где – любое число
Ответ:
, где
Решите уравнения:
1) sin
Решение:
,
,
, где
Ответ: ,
где 
2) cos
Решение:
где
Ответ:
где 
3) tg 
Решение:
, откуда
, а
, где
Ответ: ,
где .
3. Изложение нового материала:
Более сложные тригонометрические уравнения, как, правило, сводятся к простейшим уравнениям.
1) Метод разложения на множители.
Пример 1. Решить уравнение 
.
Решение: Вынесем общий множитель за скобки и
получим 
.
Рассмотрим случаи:
а) cos
, тогда
, где
б)
, тогда cos
,
, где
Ответ: , , где .
2) Метод замены переменных.
Пример 2. Решить уравнение 
Решение:
,
,
,
.
Заметим, что данное уравнение представляет
собой квадратное уравнение относительно 
. Обозначим 
, получим
квадратное уравнение
Получаем два случая:
1) 
. В этом
случае нет корней, т.к. 
.
1) 
, откуда 
, где .
Ответ:
Методом замены переменных можно решать и однородные тригонометрические уравнения.
Тригонометрическое уравнение называют однородными, если после некоторой замены полученный многочлен от двух переменных составлен из одночленов одинаковой степени.
Пример 3. Решить уравнение 
.
Решение. Рассмотрим два случая:
1) 
, тогда 
, откуда 
, что
невозможно, т.к. 
; в этом случае корней нет.
2) 
, тогда
разделим обе части уравнения на 
:
Пусть 
.
Получим уравнение 
, откуда
, где
, откуда
, где
Ответ:
При решении тригонометрических уравнений можно использовать и так называемую универсальную тригонометрическую подстановку на основе формул:
,
,
.
Пример 4. Решить уравнение 
Решение:
Сделаем универсальную подстановку 
, тогда 
, отсюда 
, 
, тогда 
или 
.
Таким образом:
а)
, откуда
,
, где
б)
, откуда
,
, где
Ответ:
3) Закрепление изученного материала.
Пример 1. Решить уравнение 
Решение:
,
Обозначим 
,
получим уравнение
Таким образом:
а)
. В этом случае нет корней, т.к.
б)
, откуда
, где
Ответ:
, где
Пример 2. Решить уравнение 
Решение:
Рассмотрим два случая:
1) , тогда 
, откуда , что
невозможно, т.к. ; в этом случае корней нет.
2) , тогда
разделим обе части уравнения на :
Пусть .
Получим уравнение 
Таким образом:
а)
б)
, откуда
, где
Ответ:
, где
4. Предлагается самостоятельная работа.
Самостоятельная работа
Вариант 1
Решить уравнения:
1)
2)
3)
Самостоятельная работа
Вариант 2
Решить уравнения:
1)
2)
3)
Самостоятельная работа
Вариант 3
Решить уравнения:
1)
2)
3)
5. Итог занятия.
6. Домашнее задание.