Урок по теме "Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла"

Цели урока.

Обучающая цель: создать условия для формирования представления о площади криволинейной трапеции и интеграле.

Развивающая цель: развивать логическое мышление обучающихся через установление причинно-следственных связей.

Мотивационная цель: побудить интерес к изучению предмета.

Задачи урока:

Воспитательная: развитие познавательного интереса, логического мышления

Учебная: повторить понятие криволинейной трапеции, площади криволинейной трапеции, нахождение площади фигуры с помощью определенного интеграла.

Развивающая: развитие логического мышления, памяти, внимательности. Способствовать достижению более высокого уровня умственного развития обучающихся.

Величие человека – в его способности мыслить.
Б. Паскаль

Сегодня у нас один из заключительных уроков по теме “Интеграл”. На предыдущих занятиях мы изучили понятие первообразной, элементарные правила и формулы вычисления первообразных, научились находить площадь криволинейной трапеции, узнали, что такое интеграл, что великими учеными Ньютоном и Лейбницем была выведена формула, которая носит их имя, с ее помощью можно вычислять интеграл, решать задачи прикладного характера в физике, геометрии.

Как-то в шутливой форме Пафнутий Львович Чебышев высказал мысль: “В своем развитии математика прошла три периода:

- в первом – задачи ставили боги (задачи удвоения куба по древнегреческому преданию приписывались оракулу),

- во втором – полубоги (т.е. математики, такие как Ферма),

- в третьем периоде задачи ставит жизнь”.

Открытия в физике, астрономии привели к открытию интегрального и дифференциального исчисления.

Я предлагаю вам вспомнить изучаемый материал последних уроков.

Устно:

1. Какие из функций F(x) являются первообразными функции f(x). (Слайд 4)

2. Является ли данная функция первообразной для f(x)=sinx? (Слайд 5)

3. Для вычисления определенного интеграла от функции f(x)служит формула Ньютона-Лейбница. Эта знаменитая формула, одна из самых важных в математическом анализе, названа именами его основоположников. (Слайд 6)

Исаак Ньютон – физик и математик. Создал современную механику и открыл Закон Всемирного Тяготения. В его главном сочинении “Математические начала натуральной философии” дан математический вывод основных фактов о движении небесных тел. Один из создателей дифференциального и интегрального исчисления.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Немецкий математик, физик, философ, создатель Берлинской академии наук. Основоположник дифференциального и интегрального исчисления, ввел большую часть современной символики математического анализа. В работах Лейбница впервые появились идеи теории алгоритмов.

“Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx - ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперед”. Г.В.Лейбниц

А теперь поговорим о приложении, т.е. применении определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур.

На прошлых занятиях мы познакомились с понятием криволинейной трапеции.

- Дать определение криволинейной трапеции. (Слайд 7)

Какая фигура является криволинейной трапеции. (Слайд 8)

Вспомнить алгоритм нахождения площади криволинейной трапеции. (Слайд 9)

А если фигура не является криволинейной трапецией, как найти ее площадь? Я думаю, что вы догадались, чему будет посвящен сегодняшний урок. Запишите тему урока: “Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла”. (Слайд 10-11)

Рассмотрим фигуру на следующем рисунке. Что нам мешает найти площадь этой фигуры изученным способом?

Вы правильно заметили, что вычислить площадь фигуры обычным способом будет сложно, необходимо поработать с графиками функций, ограничивающими данную фигуру. Для начала найдем абсциссы точек, в которых функции пересекаются, что для этого нужно?

(Ребята приравнивают правые части функций и решают получившееся уравнение. Получают результат: -1; 2).

До этого случая все рассматриваемые нами фигуры лежали выше оси ОХ, как перейти от нашей ситуации к более знакомой, не изменив при этом площадь искомой фигуры?

(Выслушиваются версии ребят и приходят к выводу, что необходим параллельный перенос графиков, например на 3 единицы вверх, чтобы на отрезке [-1; 2] обе функции принимали положительные значения).

Вот у нас получилась фигура равная данной, но ограниченная уже графиками функций у = -х² +5 и у = х² - 2х +1. Найдите, на получившемся рисунке, фигуры, площадь которых мы уже умеем вычислять.

(Ребята называют криволинейные трапеции, ограниченные сверху функциями, являющимися границами рассматриваемой фигуры).

Осуществить оформление решения. (Слайд 11)

Нахождение площадь фигур аналогичным способом. (Слайд 12-13)

Нахождение площади фигур, путем разбиения на части. (Слайд 14)

Примеры. (Слайд 15)

1. С.М. Никольский и др. Алгебра и начала анализа 11. – М.: “Просвещение”, 2012 г.
2. Е.С.Канин и др. Упражнения по началам математического анализа в 9-10 классах. - М.: “Просвещение”, 1986 г.
3. В.С.Шипачев. Интеграл. Методические разработки для учащихся ВЗМШ при МГУ. - М. 1984 г.
4. Приложения к рабочим программам.