“…О, сколько нам открытий чудных
Готовит просвещенья дух,
И опыт-сын ошибок трудных,
И гений – парадоксов друг..”
А.. Пушкин
Учитель математики. “Музыка есть арифметическое упражнение души, которая исчисляет себя, не зная об этом” писал 17 апреля 1712 года немецкий ученый Лейбниц Гольдбаху. А вот английский математик назвал музыку математикой чувств, а математику – музыкой разума”. Я считаю, что математика неразрывно связана с музыкой. Сегодня мы в этом с вами убедимся.
Ведущий. Математики, начиная с Пифагора, постоянно проявляли интерес к музыке. В школе Пифагора получила свое первоначальное оформление математическая теория музыки. Об этом напоминает математическая терминология. Возьмем для примера “гармоническую пропорцию”. Говорят, что три числа образуют гармоническую пропорцию, если обратные им числа удовлетворяют непрерывной арифметической пропорции. Оказывается, длины трех струн, дающие ноты до, ми, соль, которые составляют один из наиболее благозвучных аккордов – мажорный, удовлетворяют гармонической пропорции, а числа колебаний этих струн непрерывную арифметическую пропорцию. Именно длины струн относятся, как числа: 1:4/5:2/3, а число колебаний, как 1:5/4:3/2, или как 4:5:6, причем 6 – 5 = 5 – 4, т.е. получается непрерывная арифметическая пропорция. Таким образом, приятные для слуха созвучия подчиняются простым математическим законам, и нам становятся понятны слова пушкинского Сальери:
…Труден первый шаг
И скучен первый путь. Преодолел
Я ранние невзгоды. Ремесло
Поставил я подножием искусству.
Я сделался ремесленник перстам
Придал послушную, сухую беглость
И верность уху. Звуки умертвив,
Музыку я разъял, как труп. Проверил
Я алгеброй гармонию. Тогда
Уже дерзнул, в науке искушений,
Предаться неге творческой мечты,
Я стал творить…
Пушкин А.С.Моцарт и Сальери.
Ученик. Математическая теория музыки пифагорейцев явилась вообще первой теорией музыки у греков. И хотя уже Пифагор видел в музыке могучее средство нравственного воспитания, однако, только позже, в трудах величайшего греческого музыкального теоретика Аристоксена Тарентского (ок 350 г. до н.г.), музыка переносится из области математики и физики в область эстетики.
Ведущий. Не веря никаким человеческим ушам, которые меняются частью от природы, частью от внешних обстоятельств, приходящих из вне, частью от возраста, не обращаясь также ни к каким инструментам, в которых зачастую получается большое разнообразие и непостоянство вследствие того, что при пользовании жилами более влажный воздух притупляет удар, а более сухой усиливает его, величина струны делает звук более низким или высоту звука более тонкой кой или еще как-нибудь меняет характер первоначального созвучия, и вследствие того, что так же обстоит и с прочими инструментами Пифагор признал все это неосновательным и не заслуживает доверия и долго трудился на отысканием ответа на вопрос, каким образом достоверно и надежно измерить особенности созвучий. И вот однажды, под влиянием божественного наития, проходя мимо кузниц, он слышит, что удары молотков из различных звуков образу ют некое единое звучание.
Сценка. (На сцене кузница. Кузнец кует железо. Мимо проходит Пифагор.) Пифагор слышит удары молотков.
Ведущий. Тогда, пораженный, он подошел вплотную к тому, что долгое время искал, и, после долгого размышления решил, что различие звуков обусловлено силами ударяющих, а для того, чтобы уяснить это лучше он говорит кузнецу.
Пифагор. Кузнец поменяйся молотками. (Кузнец меняется молотками стучит ими. Пифагор внимательно слушает звучание. Затем задумчивый уходит домой.)
Пифагор. (Приходит домой, зовет ученика) Сегодня, проходя мимо кузницы я услышал звуки молотков. Оказывается свойство звуков не заключено в мышцах людей и продолжает сопровождать молотки, поменявшиеся местами.
Пифагор. (Обращается к ученику.) Давай, исследуем вес молотков. (Ученик приносит 5 молотков, весы, гири.)
Ученик. Учитель давай будем исследовать (Взвешивает молотки).
Пифагор. Что скажешь мне, любезный друг?
Ученик. Один из них больше другого вдвое.
Пифагор. Так эти два отвечают друг другу соответственно созвучию октавы.
Ученик. Вес первого больше на 4/3 веса третьего.
Пифагор. Так первый и третий звучит в кварту.
Ученик. Вес первого тяжелее четвертого в полтора раза.
Пифагор. Так это же созвучие квинты.
Учитель. А что же пятый молоток?
Пифагор. Отбрось его он не созвучный им.
Ученик. А что же дальше учитель?
Пифагор. Неси сюда сосуды с водой. Медный и железный прут (начинает наполнять сосуды жидкостью, ударяет по ним медным или железным прутом).
Пифагор. (Радостно обращается к ученику.) Нет, я не обнаружил ничего нового
Учитель. Учитель, а может надо исследовать длину и толщину струн. (Начинают измерять.)
Ведущий. В результате всех этих исследований Пифагор изобрел линейку. Обнаружил, что приятные созвучия-консонансы получаются в том случае, когда длины струн относятся как 1:2, 2:3, 3:4.
Учитель музыки. Существуют два закона, которые легли в основу пифагорейской теории музыки:
Закон 1: Две звучащие струны дают консонанс тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число. 1 + 2 + 3 + 4 = 10 т.е. 1:2, 2:3, 3:4.
Закон 2: Четверка чисел 1, 2, 3, 4 – тетраэдр лежит в основе построения различных музыкальных ладов.
Лады состоят из ступеней. В основу гаммы пифагорейцы положили интервал
октава – восемь. Далее октаву разделили на благозвучные части, и Пифагор
обнаружил приятные слуху созвучия:
квинта-пятая ступень 1/5
кварта – четвертая ступень ¼
октава-восьмая ступень 1/8.
Основа всей музыки тетрахора. До – соль – ре – ля – ми – си – фа. Полученные звуки собрались в октаву 2– 4/3 – 3/2 – 9/8 – 4/3 – 1 кварта тон кварта 2 октава
Ученик. После создания точной математической теории струны, поняв, что любой музыкальный инструмент – всего-навсего “физико – акустический прибор”, музыку невозможно отделить от математики. (На сцене ученик, одетый в одежду. Др. Греции. На экране изображение монохорда.)
Ученик. Монохорд акустический прибор распространенный в Др. Греции и Риме (согласно приданию, изобретен Пифагором в VI в. до н.э.). В Западной Европе в эпоху средневековья и позднее вплоть до19 в. состоял из продолговатого(900-1200мм) деревянного корпуса (планки) вдоль, которого сверху натягивалась одна струна (ср. века иногда 2 или несколько струн, настроенных в унисон или в разные интервалы), ограниченная с обоих концов фиксированными подставками. Звук извлекался щипком или ударам молоточками. Высота звука менялась при передвижении нефиксированной подставки. Использовался главным образом при обучении пению и теории музыки, при настройке органных труб, реже в ансамблевом музицировании. Монохорд является предком некоторых музыкальных инструментов (Звучит музыка, исполненная на монохорде. На сцену выходит ученик, одетый в одежду, которую носили в 3 в.до н.э. в Александрии. На экране изображение органа).
Ученик. Орган клавишно-духовой инструмент, состоящий из труб. Одни трубы расположены горизонтально, другие вертикально, а некоторые подвешены на крюках. Количество труб до 30000. Высокие до 10 м., маленькие до 10 мм. Орган имеет воздухонагнетательный механизм – мехи и воздухопроводы; кафедру, где сидит органист и где сосредоточена система управления инструментом. Нижняя клавиатура-педаль, имеет 32 клавиши для игры носком или каблуком. Изготовление первого органа принадлежит механику из Александрии Ктесибию, жившему в 3 в. до н. э. Это был водяной орган-гидровлос. До появления электрического привода воздух в трубы накачивали специальные рабочие –кальканты.В 4 в. в Византии появился пневматический орган, применявшийся в театрах, цирках, дворцах.
В России появился в 11в. (из Византии). Он никогда не был связан с русской церковью. Диапазон мануалов, которые на столе 5 октав, педали до 2 целых 2/3 октав, реальный диапазон органа до 8 целых ½ октав (Звучит музыка, исполненная на органе. На сцене ученик в ст. русской одежде. На экране гусли.).
Ученик. Гусли древне-русский струнный щипковый инструмент. Гусли шлемовидные (размер 900*475*110мм) струны (11–36) расположены параллельно. Струны защипывают тонкой пластиной или пальцами обеих рук. Кленовидные или звончатые (600*250*45мм) гусли (11–14 вв.) На основе звончатых гуслей имеющие 55–56 струн были созданы Н.П. Фоминым клавишные (1905 г.). Используются для сопровождения пенияи, плясок. Гусли представляют собой плоский ящик – резонатор, с натянутыми над ним струнами. Под названием каппель, канклес, кокле, кантеле, кюсле, кесле – этот инструмент известен у народов Прибалтики и Поволжья. Диапазон от кварты до 2-х октав (Звучит музыка, исполненная на гуслях. На сцене ученик в одежде. На экране клавесин).
Ученик. Клавир старинное название клавесина. Клавесин старинный клавишный инструмент .Он известен более 500 лет. В старинном клавесине при нажатии клавиш струны защипывались птичьими перышками. Поэтому звук получался ясный, четкий, отрывистый(Звучит музыка, исполненная на клавесине. На сцене ученик в одежде немецких музыкантов 1774 г. На экране фортепиано).
Ученик. Около 300 лет назад мастер Бартоломео Кристофори изобрел новый клавишный инструмент. Его назвали фортепиано. (“ громко – тихо”). Большое, концертное фортепиано стали называть словом “рояль” (королевский), а комнатное – “пианино” (маленькое пиано). Рояль, в переводе с французского “королевский, царственный”. Корпус изготовляется из склеенных слоев древесины (до22). У современного рояля сила натяжения струн до 20 тонн. Впервые слово рояль было применено к инструменту, созданному в 1774 году дрезденским мастером И.Вагнером. Диапазон от 7 до 8 октав.
(Звучит музыка, исполненная на рояле. На сцене ученик в одежде американца. 1800 г. На экране пианино.)
Ученик. Пианино (итальянское – маленькое фортепьяно). Изобретено американцем Дж. И. Хокинесом (декабрь1800 г.) и австрийцем М.Мюллером (январь 1801 г.) независимо друг от друга. Ныне выпускаются кабинетные (825–1400 мм.) диапазон 7 октав. Концертные – 1600 мм. высота, диапазон 7 целых ¼ октавы.
(Звучит музыка, исполненная на пианино.)
Заключительное слово учителя математики. Ребята, сегодня мы с вами узнали, что становление музыки как искусства в древности, и вся последующая история теснейшим образом связана с математикой. Началось вмешательство математики, а самый процесс музыкального творчества. Проводятся работы по алгоритмизации и моделированию на Э.В.М функций композитора и музыковеда. Хочется еще раз напомнить вам слова английского математика Д.Сильвестра, который называл музыку математикой чувств, а математику – музыкой разума. Он же выражал надежду, что каждая из них должна получить завершения со стороны другой, и предвидел в будущем появление личности, в котором соединятся гении Бетховена и Гаусса. Основанием для подобной надежды могла быть только математическая точность музыки, которая всегда была ее неотъемлемым свойством. Очень важно, что и современные течения не поколебали этой фундаментальной ее черты.
Литература.
- Глейзер Г.И. История математики в школе VII–VII классы. Просвещение, 1982 г.
- Глейзер Г.И. История математики в школе IX–X классы. Просвещение 1983 г.
- Инциклопедия по математике.
- Инциклопедия по музыке.
- Учение Пифагора о мистических значениях чисел Клепа, № 3 2.
- И.Г.Зенкевич Эстетика урока математики. Москва. Просвещение, 1981 г.