Введение
Тема «Квадратные уравнения» является одной из самых актуальных. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение в разных разделах математики.
В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако, имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.
Проблемный вопрос: существуют ли кроме общепринятых приемов решения квадратных уравнений другие, которые позволяют быстро и рационально решать квадратные уравнения?
Гипотеза: установление связи между коэффициентами и корнями квадратного уравнения позволит найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения.
Цель: установив связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения, найти новые рациональные приемы решения уравнений
Задачи:
- Изучить литературу по истории приемов решения квадратных уравнений
- Обобщить накопленные знания о квадратных уравнениях и способах их решения.
- Установить зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения, в том числе с большими коэффициентами.
- Сделать выводы.
- Разработать дидактический материал для проведения практикума по решению квадратных уравнений с использованием новых приемов в помощь ученикам, увлеченным математикой и учителям, ведущим факультативные занятия.
Объект исследования: квадратные уравнения
Предмет изучения: методы и приемы решения квадратных уравнений, в том числе с большими коэффициентами
Глава 1.
Изучение литературы
Основной материал, связанный с изучением темы «Квадратные уравнения» находится в УМК под ред.С.А.Теляковского. В учебнике разобраны все основные вопросы по теме:
1. Определение и виды квадратных уравнений
2. Основные методы решения квадратных уравнений
Однако, дополнительный материал, связанный с историей вопроса о возникновении квадратных уравнений можно найти в «Энциклопедия по математике» «Занимательная математика», М., 2007. Способы решения задач на квадратные уравнения в полном объёме раскрыты в изданиях «Сборник элективных курсов» Волгоград, 2006 г.
Изученная литература позволила приобрести новые интересные знания по истории возникновения квадратного уравнения, приобрести опыт по решению различных квадратных уравнений и перейти к следующему этапу в исследовании – перенести полученные знания в нестандартную ситуацию.
Глава 2.
Изучение истории вопроса о квадратных уравнениях
Глава 3.
Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и способах их решения
Глава 4.
Нестандартные приемы решения квадратных уравнений
Дидактический материал по применению нестандартных приемов решения квадратных уравнений.
1. Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:
4х2 – 13х + 9 =0
(1; 2,25)1978х2 – 1984х + 6=0
(1; 6/1978)4х2 + 11х + 7 = 0
(-1; -7/4)319х2 + 1988х +1669=0
(-1; -1669/319)1999х2 + 2000х+1=0
(-1; -1/1999)
2. Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами
313х2 +326х+13=0
(-1; -13/313)839х2– 448х -391=0
(1; -391/839)345х2 – 137х – 208=0
(1;.-208/345)939х2+978х+39=0
(-1; -39/939)
3. Используя полученные знания, установи соответствие:
1) х2+5х+6=0
2) 6х2-5х+1=0
3) 2х2-5х+3=0
4) 3х2-5х+2=0
5) х2-5х+6=0
6) 6х2+5х+1=0
7) 2х2+5х+2=0
8) 3х2+5х+2=01) 1/6;1/2
2) 1; 3/2
3) 1; 2/3
4) -2; -3
5) -1/3 ; -1/2
6) -1; -3/2
7) -1; -2/3
8) 2;3
Глава 5.
Анализ работы учащихся по решению квадратных уравнений нестандартными способами
Разработаны критерии оценки проведенного практикума:
- За каждое верно выполненное задание ставится 1 балл;
- Наиболее возможное количество набранных баллов-17
- Если ученик набирает менее
7 баллов, то выставляется оценка «2»
от 7 до 11 баллов «3»
от 12 до 15 баллов «4»
от 16-17 баллов «5»
Результаты практикума.
Выполняли работу – 11человек
Набрали баллов
от 16-17 – 5человек (45%)
от 12-15– 6человек (55%)
Менее 12 – 0 человек
Средний балл – 4,45
Процент качества – 100%
Типичные ошибки, допущенные в работе связаны с невнимательностью учащихся.
Выводы по результатам проведения практикума
Успешно выполненная работа учащимися 8 класса, позволяет сделать следующие выводы:
- нестандартные приемы решения квадратных уравнений заслуживают внимания;
- позволяют экономить время решения, что обусловлено применением тестовой системы экзаменов.
Глава 6.
Выводы
В процессе работы над проектом, была создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого проведена успешная апробация этих приемов.
Данный материал можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя могут использовать его как методическое пособие при изучении темы «Решение квадратных уравнений», а также, для контроля за знаниями учащихся.
Материалом этого проекта могут воспользоваться и те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.
Литература
- Выгодский М.Я