Основная задача учителя заключается в создании условий, побуждающих ученика к активной самостоятельной деятельности. Включение учащегося в самостоятельную познавательную деятельность влечет за собой неизбежное возникновение затруднений, пути выхода из которых должны быть известны не только учителю, но и ученику. В связи с этим очень значимой становится функция обеспечения рефлексивных действий учащегося по выявлению собственных изменений. В центре внимания учителя должна стать ученическая рефлексия индивидуальной мыследеятельности. Цели рефлексии – вспомнить, выявить и осознать основные компоненты деятельности, ее смысл, способы, проблемы, пути их решения, полученные результаты и т.п. [1]. Поэтому необходимо формировать у учащихся потребность в выполнении анализа условия задачи уже на самом первом этапе ее решения, избегая решения однотипных задач по определенному алгоритму.
С этой целью следует подбирать задачи так, чтобы каждая из них требовала анализа описанной в ней ситуации. Функция учителя после включения учащихся в самостоятельную деятельность может быть определена как организационно-сопровождающая. При этом учитель оказывает индивидуальную помощь в случае возникновения затруднений в зависимости от сформированности умений и навыков самостоятельной работы учащегося.
Рассмотрим реализацию этого подхода на примере решения иррациональных уравнений. Предварительно напомним известные алгоритмы:
Задачи расположим в соответствии с четырьмя уровнями самостоятельной деятельности учащихся [2, c.356], которые они проходят последовательно по мере решения задач:
1. Копирующие действия учащихся по заданному образцу. Идентификация объектов и явлений, их узнавание путем сравнения с известным образцом. На этом уровне происходит подготовка учащихся к самостоятельной деятельности.
Пример 1. Решите уравнение
Решение. Данное уравнение соответствует иррациональному уравнению стандартного вида и поэтому применим алгоритм 1.
Ответ: 
2. Репродуктивная деятельность по воспроизведению информации о различных свойствах изучаемого объекта, в основном не выходящая за пределы уровня памяти. Однако на этом уровне уже начинается обобщение приемов и методов познавательной деятельности, их перенос на решение более сложных, но типовых задач.
Пример 2. Решите уравнение
Решение. Преобразуем исходное уравнение, выделив иррациональное уравнение стандартного вида:
При решении уравнения системы применим алгоритм 1.
Ответ: -7.
Пример 3. Решите уравнение
Решение. Наличие модуля предполагает рассмотрение двух случаев раскрытия модуля. После чего полученные уравнения преобразуются к стандартному виду и решаются по алгоритму 1.
Ответ: 
3. Продуктивная деятельность самостоятельного применения приобретенных знаний для решения задач, выходящих за пределы известного образца, требующая способности к индуктивным и дедуктивным выводам.
Пример 4. Решите уравнение
Решение. Непосредственно применение алгоритма 1 к решению данного уравнения приведет к очень громоздким преобразованиям из-за наличия двух модулей. Поэтому здесь выгоднее применить метод замены переменной. Пусть 
тогда уравнение 
примет вид 
Далее последовательно применим алгоритмы 1 и 2:
Выполним обратную замену и применим алгоритм 2:
Ответ: -9, -8, -6, -5.
Пример 5. Решите уравнение
Решение. Традиционно задачи с параметром считаются наиболее трудными для учащихся. Данное уравнение можно решить, используя алгоритм1:
Ответ: при 
при 
при 
при 
решений нет.
4. Самостоятельная деятельность по переносу знаний при решении задач в совершенно новых ситуациях, условиях по составлению новых программ принятия решений, выработка гипотетического аналогового мышления.
Пример 6. Решите уравнение
Решение. Понятно, что узкий взгляд на использование алгоритма 1 не позволит учащимся справиться с решением данного уравнения. Необходим поиск решения. Преобразуем слагаемые, стоящие в левой части уравнения:
Исходное уравнение запишем в виде 
.
Воспользуемся методом замены переменной, обозначим 
Исходное уравнение примет вид: 
Применим функциональный метод решения уравнения [3]. Заметим, что в качестве 
можно взять 
Данная функция является нечетной и монотонно возрастающей:
Уравнение примет вид: 
Далее воспользуемся утверждением, что если функция 
- нечетная и монотонно возрастающая, то 
тогда и только тогда, когда 
[3, c.15], то есть 
Решая полученное линейное уравнение, находим 
Ответ: 
Привнесение в каждую последующую задачу элемента новизны, по сравнению с предыдущей, стимулирует познавательную активность учащихся, способствует реализации принципа рефлексивности (осознанности учениками и содержания, и способов деятельности). При этом реализуется «принцип непрерывной дифференциации обучения», когда каждый ученик работает в «своем темпе, достигнутые же при этом успехи будут его личным приобретением» [4, c.39].
Литература:
- Зверева А.Т. Технологии обучения математике: Учебное пособие. – Курган: Изд-во Курганского гос. ун-та, 2004.-158с.
- Педагогика: Учебник для студентов педагогических вузов и педагогических колледжей/ Под ред. П.И.Пидкасистого. – М.: Педагогическое общество России, 2002.-608 с.
- ВоронькоТ.А., Савина Т.М. Методика решения уравнений и неравенств. – М.: МПГУ, 2005. – 81с.
- Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. – М.: ООО «Издательство «Вермут-М», ООО «Издательский центр «Академия», 2003.-432 с.