Тип урока: лекция; метод проблемного изложения.
Учебная задача: “Открыть” совместно с обучающимися новый вид функции – логарифмическую функцию, как функцию, обратную к показательной; выделить её основные свойства, используя свойства взаимно обратных функций.
Диагностируемые цели:
В результате обучающийся имеет следующие компетенции:
- Определение логарифмической функции.
- Что логарифмическая и показательная функции являются взаимно обратными.
- Как из графика показательной функции получить график логарифмической функции.
- Строить график логарифмической функции, зная график взаимно обратной ей показательной функции.
- Проверять свойства логарифмической функции по ее графику.
- Выделять свойства логарифмической функции, используя свойства обратной ей показательной функции.
- Строить график логарифмической функции, зная график взаимно обратной ей показательной функции.
- Значимость изучения логарифмической функции при описании явлений природы.
Свойства данной функции зависят от основания в сравнении его с единицей
Ход урока
1. Приветствие.
- опрос эмоционального состояния обучающихся (если у вас плохое настроение, вы садитесь на корточки, если среднее – на стул, если высокое – встаете), таким образом, они смотрят на окружающих и видят настроение друг друга.
2. Опрос домашнего задания.
- 2 учащихся за доской восстанавливают домашние задачи;
- 3 учащихся на первых партах отвечают на вопросы (что называется показательной функцией, свойства показательной функции, график показательной функции – возрастающей и убывающей);
- с остальным классом – вспоминаются свойства логарифмов.
3. Мотивационно-ориентировочная часть.
Сначала обучающимся раздается незаполненная таблица.
– Какая функция называется показательной функцией?
(Показательной функцией называется функция y=ax, где а – заданное число, a>0, a1).
Заносим в первый столбец таблицы.
– Какими свойствами обладает показательная функция?
(Область определения функции, множество значений функции, монотонность).
– Запишите свойства показательной функции в таблицу.
Учащиеся заполняют первый столбец таблицы.
Показательная функция. Свойства показательной функции. | |
Показательной функцией называется функция
y=ax, где а – заданное число, a>0, a1 |
– Схематически в тетради изобразите графики функций y=ax при a>1, y=ax при 0<a<1.
y = ax, 0 < a < 1 |
y = ax, a > 1 |
– Давайте проверим, обратима ли функция y=ax. Для этого сформулируйте определение обратимой функции.
(Если функция f(x) принимает каждое своё значение только при одном значении x, то эту функцию называют обратимой.)
– Выясните, обратима ли функция y=ax.
(Функция у = a обратима, так как каждое значение y принимается при единственном значении аргумента. Это значение можно найти, решая уравнение у = a относительно x, тогда получим x=loga y. В этом равенстве поменяем местами x и y: y=loga x. Функции у = a и y=loga x являются взаимно обратными).
– Мы не знаем, является y=loga x функцией или нет. Проверим, является ли y=loga x функцией, то есть: для любого ли x существует единственное y.
loga a=1, loga a=, loga a=-1, loga a0=0
Следовательно, y=loga x является функцией, так как какое бы x мы не взяли, для него существует единственное y.
– Таким образом, мы получили функцию, давайте исследуем эту функцию?
Учитель формулирует определение логарифмической функции:
Функцию y = logax, (a > 0, a 1) называют логарифмической функцией.
Ученики начинают заполнять второй столбец таблицы.
– Назовите свойства взаимно обратных функций.
(1. Область определения обратной функции
совпадает со множеством значений исходной
функции, а множество значений обратной функции
совпадает с областью определения исходной
функции.
2. Если функция y=f(x) возрастает, то обратная к ней
функция также возрастает, если функция y=f(x)
убывает, то обратная к ней функция убывает.
3. Если функция имеет обратную, то график обратной
функции симметричен графику данной функции
относительно прямой y=x).
Далее идёт заполнение таблицы на основании свойств взаимно обратных функций.
у = a Показательной функцией называется функция y=ax, где а – заданное число, a>0, a1 |
y=loga x Функцию y = logax, (a > 0, a 1) называют логарифмической функцией. |
1. О.О.Ф. xR 2. М.З.Ф y>0 График функции у = ax пересекает ось Оу в точке (0,1) 3.При каких значениях a показательная функция у = ax, где a>0, a1, возрастает (убывает)? При a>1 функция у = ax, где a>0, a1 возрастает; если 0<a<1, то функция у = ax убывает. |
1. О.О.Ф. x>0 2. М.З.Ф. yR График функции y=loga x пересекает ось Ох в точке (1,0) 3.При каких значениях a логарифмическая функция y=loga x, где x>0, a>0, a1, возрастает (убывает)? При a>1 функция y=loga x возрастает; при 0<a<1 убывает. Уже можно высказать некоторые идеи о расположении графика логарифмической функции. при a>1 при 0<a<1 loga a1=1, loga a2=2 loga a-2=-2 Выясним, при каких значениях x логарифмическая функция принимает положительные и отрицательные значения, то есть x=? y>0 (y<0). Для этого воспользуемся определением логарифма, тогда x=ay. если a>1, y>0, то аy>1, то есть x>1; если 0<a<1, y>0, то 0<ay<1, то есть 0<x<1; если a>1, y<0, то 0<ay<1, то есть 0<x<1; если 0<a<1 y<0, то аy>1, то есть x>1; Итак, получаем: IMG2 |
– Из третьего свойства взаимно обратных функций следует, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y=x. Тогда, зная как выглядит график показательной функции, давайте построим график логарифмической функции.
На интерактивной доске проверяем правильность графиков.
Задание:
В одной координатной плоскости построить
графики следующих функций:
g(x) = ln x, h(x) = log5x, f(x)=lg x. Сделайте
вывод о расположении графиков функций
относительно осей координат в зависимости от
основания логарифмической функции.
Ученики строят графики в тетради, а один на доске.
Вывод. При a > 1 чем больше основание логарифмической функции, тем ближе к осям координат располагается график логарифмической функции.
На интерактивной доске проверяем правильность графиков.
Задание: В одной координатной плоскости построить графики следующих логарифмических функций: f(x) = log0,1x, g(x) = log0,3x, h(x) = log0,5x.
Вывод. При 0 < a < 1 чем больше основание a логарифмической функции, тем дальше от осей координат располагается график логарифмической функции.
На интерактивной доске проверяем правильность графиков.
Рефлексивно-оценочный этап.
– Что нового вы узнали на уроке?
(Новый вид функции – логарифмическая функция)
– Сформулируйте определение логарифмической функции.
(Функцию y = logax, (a > 0, a 1) называют логарифмической функцией)
– Назовите свойства логарифмической функции.
(Область определения функции, множество значений функции, монотонность, знакопостоянства)
– Какой факт нам помог установить свойства логарифмической функции?
(Что логарифмическая и показательная функция являются взаимно обратными).
– Чем мы будем заниматься на следующем уроке?
(Мы будем решать задачи на отработку изученного материала)
– Какие именно?
(Находить область определение функции, множество значений функции, определять характер монотонности, решать логарифмические уравнения)
Домашнее задние.
Задание: Какое значение аргумента x является допустимым для следующих функций (устно)
Ответы
Подведение итогов.
Выставление оценок, обсуждение ошибок.