Тема: "Методы решения задач по вычислению углов и расстояний в пространстве"

1. Угол между прямыми

1. Если прямые, между которыми требуется определить угол, пересекаются, на этих прямых строится треугольник с вершиной в точке пересечения. Две другие вершины выбираются из соображений удобства, так чтобы длины сторон получившегося треугольника легко вычислялись. Теперь угол между заданными прямыми – есть угол в треугольнике.

2. Если прямые, между которыми требуется определить угол, скрещиваются (не пересекаются и не параллельны), одну из этих прямых параллельным переносом сдвигают так, чтобы прямые пересеклись. При таком переносе углы между прямыми не изменяются. Какую прямую и в каком направлении сдвигать определяют из соображений удобства, так чтобы треугольник, построенный на этих прямых с вершиной в точке пересечения был достаточно определен. Теперь задача сводится к определению угла между пересекающимися прямыми.

Найти угол между прямыми AE и SB в пирамиде ABCDS, если E середина ребра SD.
Переносим прямую SB на прямую  EO. Они параллельны, т.к.  EO средняя линия в треугольнике BDS, а SB его основание. Теперь задача сводится к вычислению ∠ E в треугольнике EAO.

3. Часто при параллельном переносе прямых для образования замкнутого треугольника требуется  достраивать трехмерное тело.

В треугольной прямой призме ABCDA₁B₁C₁ требуется найти угол между прямыми BC₁ и A₁C.
Достраиваем призму вверх, как показано на рисунке. Переносим прямую A₁C на A₂C₁. Эти прямые параллельны. Замыкаем треугольник по передней грани призмы BC₁A₂ и вычисляем в полученном треугольнике угол ∠С₁.

4. Перепендикулярность скрещивающихся прямых иногда можно выяснить при помощи теоремы о трех перпендикулярах. Если ортогональная проекция одной из прямых на плоскость (содержащую вторую прямую) перепендикулярна второй прямой, то сама первая прямая также перпендикулярна второй.

Определить угол между прямыми BD₁ и A₁D в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁.

Прямая AD₁ является ортогональной проекцией BD₁ на плоскость AA₁D. Отрезки AD₁ и A₁D перпендикулярны как диагонали квадрата. Следовательно, A₁D также перпендикулярна AD₁. 

5. Векторный метод. В тех случаях, когда легко определить направляющие векторы каждой из заданных прямых, можно вычислить угол между ними с помощью скалярного произведения векторов. Угол между направляющими векторами прямых есть угол между прямыми. Этот метод хорошо работает в параллелепипедах.

6. Определить угол между прямыми BD₁ и MN в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁. Стороны куба равны 2. Точки M и N середины сторон AA₁ и BC соответственно.

Положим начало координат в точке A. Выберем оси координат как показано на рисунке. Точки M, N, B, D₁ имеют координаты M(0;0;1), N(2;1;0), B(2;0;0), .

Угол между прямыми должен быть меньше , следовательно, окончательно получаем .

2. Угол между плоскостями

1. Плоскости в пространсве образуют двугранные углы. Линейным угол такого двугранного угла называется угол между прямыми перпендикулярными линии пересечения плоскостей. Если линия пересечения плоскостей хорошо определяется и удается построить прямые, перепендикулярные этой линии и пересекающиеся на ней, то остается лишь замкнуть треугольник на этих прямых и определить угол в треугольнике.

Иногда для удобства нахождения линии пересечения плоскостей требуется перемещать плоскости параллельным переносом. Углы при таком перемещении не изменяются.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ определить угол между плоскостями ADD₁ и BDC₁.
Переносим плоскость ADD₁ на плоскость BCC₁. Теперь линия пересечения плоскостей BC₁ есть диагональ грани BCC₁. Строим перпендикуляры к этой линии  в каждой из заданных плоскостей. Эти перпендикуляры пересекаются в точке E. Получаем замкнутый треугольник CED. Угол ∠E в треугольнике CED есть искомый угол между плоскостями.

2. Задача определения угла между плоскостями упрощается, если обнаруживается третья плоскость перпердикулярная каждой из двух заданных. В этом случае мы сразу получаем две прямые, перпендикулярные линии пересечения плоскостей, пересекающиеся на этой линии, а также плоскость, в которой они лежат. Искомый угол определяется как угол между пямым.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ определить угол между плоскостями ACA₁ и BFB₁.
Нижняя и верхняя грани призмы перпендикулярны каждой из заданных плоскостей, следовательно, угол между плоскостями есть угол между пересекающимися прямыми AC и FB

3. Угол между плоскостями можно вычислить из отношения площадей фигур. Отношение площади прямоугольной проекции плоской фигуры к площади самой фигуры равно косинусу угла между плоскостями.

4. Векторный метод. Угол между плоскостями равен углу между их нормалями. Угол между нормалями определяется через скалярное произведение векторов. Если определить векторы нормалей плоскостей нелегко, составляют уравнение плоскости, проходящей через  три точки и из уравнения плоскости получают координаты вектора нормали.

3. Угол между прямой и плоскостью

1. Угол между прямой и плоскостью в пространстве определяют как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на  плоскость. Это определение дает способ нахождения угла.
Обозначим A точку пересечения прямой  и плоскости а. Выбираем любую удобную точку B на прямой , опускаем перпендикуляр из этой точки на плоскость. Пусть перпендикуляр пересекает плоскость в точке С. Используя признаки перпендикулярности прямой и плоскости следует убедиться, что построенная прямая действительно является перпендикуляром для всей плоскости. Точка C называется ортогональной проекцией точки B на плоскость. Строим замкнутый треугольник на точках A, B, С, угол ∠A в этом треугольнике есть искомый угол.
Для удобства и наглядности в трехмерных телах допустимо переносить прямую или плоскость параллельным переносом. Углы при этом не изменяются.
Определить угол между прямой BD и плоскостью BCS в правильной пирамиде (см. рисунок). Выбираем на прямой BD тоску O середину диагонали. Плоскость SOF перпендикулярна BCS, т.к. на BCS есть прямая BC, которая перпендикулярна двум непараллельным прямым в плоскости SOF (OF и SO). В плоскости SOF опускаем перпендикуляр на линию пересечения плоскостей SE. Точка E есть проекция O на BCS. Остается замкнуть треугольник BOE. Угол ∠B в этом треугольник есть искомый угол.

2. Построить перпендикуляр и определить проекцию точки на плоскость будет легко, если удастся провести через заданную прямую плоскость, перпендикулярную данной.
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ определить угол между прямой BD₁ и плоскостью ACB₁.
Плоскость BDD₁B₁ содержит прямую BD₁ и перпендикулярна плоскости ACB₁. На заданной прямой BD₁ и линии пересечения плоскостей EB₁ замыкаем треугольник EBB₁.
Угол E  в этом треугольнике есть искомый угол.
Бывает трудно сразу определить точку пересечения перпендикуляра с плоскостью. В таких случаях используем два других способа нахождения проекции точки на плоскость.

3. Векторный метод. Угол между прямой и плоскостью можно найти, вычислив угол между прямой и нормалью к плоскости. Очевидно, эти углы в сумме составляют .

4. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки до прямой определяется как кратчайшее возможное расстояние от точки до прямой. Это расстояние есть длина перпендикуляра, проведенной из этой точки до прямой. Таким образом задача сводится к построению перпендикуляра к прямой из заданной точки и вычислению его длины.

1. Если легко увидеть какую-либо плоскость перпендикулярную заданной прямой и содержащую заданную точку, то искомый перпендикуляр лежит в этой плоскости. В этом случае задача упрощается и сводится к определению расстояния между двумя точками на плоскости: заданной точкой и точкой пересечения прямой и плоскости.

2. В правильной шестиугольной призме (см. рисунок) определить расстояние от точки B до прямой A₁D₁.
Плоскость BMNB₁ перпендикулярна прямой A₁D₁ (M середина FB, N середина F₁B₁), следовательно, расстояние от B до точки N пересечения плоскости с A1D₁ и есть искомое. Оно определяется как диагональ прямоугольника BMNB₁.

3. Из данной точки следует провести две любые удобные линии до пересечения с прямой и, замкнув на полученных точках треугольник, находим в нем высоту.

В пирамиде на рисунке найти расстояние от точки B до прямой MN, если точка M делит AS в отношении AM:MS = 1 : 2, а точка N делит FS в отношении FN : NS = 2 : 1. Проводим из точки B две линии BM и BN к MN. В получившемся треугольнике BMN вычисляем высоту BK. Это искомое расстояние.

4. Иногда удобно перенести точку в другое место. Переносить точку следует вдоль прямой параллельной заданной, т.к. при таком переносе расстояние не изменяется.

В правильной шестиугольной призме (см. рисунок) определить расстояние от точки B до прямой A₁F₁.
Переместим точку B вдоль прямой параллельной заданной в точку O. Проведем из O две линии OA₁ и OF₁ к заданной прямой A₁F₁. Длина высота в  получившемся треугольнике OA₁F₁ и будет искомым расстоянием.