В данной статье представлены материалы проведенных занятий для учащихся 11 класса с профильным уровнем изучения математики, направленных на обобщение и обогащение их умений и навыков при работе с параметрами. По мнению автора, эти занятия способствуют выработке системного подхода к анализу информации и способов её представления, отработке приемов работы в среде «Математический конструктор 4.5» и сравнению её возможностей с широко используемой программой «Advanced Grapher». Если применять терминологию ФГОС, мы стараемся выстроить занятия так, чтобы успешность его результатов с необходимостью интегрировала как предметные возможности учащихся, так и их метапредметные и личностные достижения.
Материалы занятий можно использовать для учащихся 11 классов математического профиля, а также возможно проведение уроков с их использованием для учащихся 10 классов математического профиля, работающих по УМК С.М. Никольского, М.К. Потапова и др.
Цель проведения занятий – активировать творческую познавательную деятельность учащихся и систематизировать их знания и умения по аналитическому и графическому заданию ГМТ. Занятия должны помочь более короткому знакомству учащихся с материалами МИОО по подготовке к ЕГЭ по математике (задания С5) и стимулировать их самостоятельную работу.
Технические приспособления и программные приложения: АРМ учителя с проектором для наглядного представления рабочих материалов, ноутбуки для учащихся (1 на рабочий стол) для компьютерного моделирования (работа в парах) и разработки предложений модификации заданий, программы «Математический конструктор 4.5» и «Advanced Grapher».
Временной интервал – два урока по 40 минут с десятиминутным перерывом. Следует отметить, что для заинтересованной аудитории остается широкий временной простор для домашних занятий и последующей индивидуальной организации подготовки к сдаче ЕГЭ.
Задания, предлагаемые учащимся, взяты из сборника «ЕГЭ 2011 Математика Задача С5 Задачи с параметром», авторы А.И. Козко, В.С. Панферов, И.Н. Сергеев, В.Г. Чирский» под редакцией А.Л. Семенова и И.В. Ященко Москва Издательство МЦНМО 2011. В издании 2013 года большинство из предложенных заданий сохранило свои номера, имеющееся исключение отмечено в тексте работы.
Предпочтительные используемые технология: case-технологии и технология развития критического мышления.
Лирическое отступление (к анализу проведения урока)
«Благоприятная возможность скрывается среди трудностей и проблем»
В ментальности русскоязычного человека понятие «критическое мышление» связано с поиском недостатков, недочетов. Зачастую наша учительская работа слишком бывает наполнена стремлением исправить ошибки, направить детей и взрослых на путь истинный, который лично нам абсолютно понятен как единственно верный.
Уже много лет в учительской среде говорится об отсутствии монополии на истину. Нам, учителям математики, в какой-то мере в этих обстоятельствах особо сложно приходится. Ведь у историков, лингвистов, социологов, психологов так много субъективного в подходе к познанию, а у нас дважды два – четыре, утверждение или истинно, или ложно.
И, тем не менее, мы, наверняка, столь же субъективны в своих подходах, как те же гуманитарии, когда речь заходит о контакте нашей личности с личностью ученика.
Лично мне не нравится слово «технология» применительно к образованию. Мы ведь знаем, что даже испеченные по одной и той же технологии торты имеют совершенно разный вкус.
Признание за учеником права на собственную оценку ситуации дает нам возможность вступления с ним в диалог на основе принципов сотрудничества, совместного планирования и осмысленности.
В работе с учениками мне всегда хочется заглянуть за горизонт – за горизонт настоящих возможностей, за порог имеющихся способностей. Чем, как ни словом вызов можно характеризовать соответствующее действие? «Слабо?».
И подростки поддаются на эту провокацию. В данном случае брошенной перчаткой стало задание С5 ЕГЭ – задача с параметром, которое обычно остается за пределами наших уроков, где-то для себя мы определяем его словами «не тронь лиха».
Помимо главной цели занятий – развития критического мышления учащихся существуют и задачи по развитию важных способностей и умений: умения работать с увеличивающимся и постоянно обновляющимся информационным потоком; умения выражать свои мысли ясно, уверенно и корректно по отношению к окружающим; умения вырабатывать собственное мнение на основе осмысления различного опыта, идей и представлений; умения решать проблемы; способности самостоятельно заниматься своим обучением (академическая мобильность); умения сотрудничать и работать в группе; способности выстраивать конструктивные взаимоотношения с другими людьми.
Хочется остановиться на акцентах. Конечно, заявленная аудитория для проведения занятий должна была бы ежедневно заниматься решением задач, включая задания ЕГЭ уровня С5 и С6. Но, нельзя не видеть отличия в составе классов столичных математических школ и классов с профильным уровнем изучения математики в провинциальном небольшом городе. Эти классы, в основном, формируются из учащихся, обучавшихся в 9 классах, возможно в различных школах города, по стандартной программе 5 часов математики в неделю. При составлении плана занятия я преследовала цель включить в работу учащихся с разным уровнем подготовки, провести его так, чтобы никому из учеников на уроке не было грустно и скучно, а действительно способные ученики получили ориентиры для самостоятельной работы в плане подготовки к ЕГЭ. Планирование урока включает возможность использования учащимися при самостоятельной работе подсказок и наводящих вопросов, впрочем , они вправе идти и исключительно по собственному пути в поиске решений. Работая в паре, учащиеся самостоятельно принимают решение, как далеко они планируют продвинуться в поиске ответов на вопросы и какими средствами стоит при этом воспользоваться.
Знакомство с компьютерными программами протекает в течение учебного года, обычно даже не самые сильные ученики проявляют интерес к компьютерному моделированию, а потому имеют возможность проявить свои способности в ходе урока.
В течение двух недель предшествующих проведению учебного занятия в практику классной работы и домашних заданий включались элементы повторения, связанные с тематикой теста готовности к уроку.
С моей точки зрения импровизация в ходе учебного занятия является признаком профессионализма учителя, заранее никогда не отрепетируешь, да это и не нужно, вопросы учащихся, свои ответы. Но заготовленные подсказки и наводящие вопросы могут помочь включиться учащимся в ход урока, а далее успешность занятия во многом определяется максимальной гибкостью и аутентичностью преподавателя каждой учебной ситуации.
Ход занятия
I. Вступительное слово учителя – ода параметрам
II. Мини-тест готовности к уроку
1) проведите сопоставление представленных на экране в программах «Математический конструктор 4.5» и «Advanced Grapher» ГМТ и уравнений и неравенств линий.
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
2) обладают ли заданные множества точек симметрией относительно оси (осей), центра?
3) приведите примеры высказываний, соответствующие утверждениям с сочетанием слов «необходимо и достаточно», «достаточно», «необходимо», «тогда и только тогда», «в том случае», «только в том случае».
III. Стратегия победы
– раскрыть замысел «противника» и выбрать модель решения, позволяющую справиться с заданием в минимальные сроки (с минимальными затратами).
Анализ условий предлагаемых задач из сборника МИОО Математика Задача С5. Выявление особенностей представленных систем, общих и различных характеристик. Попытка сравнения эффективности применения графических и аналитических подходов.
§ 15
№ 11. Найдите все значения a, при которых система уравнений 
имеет ровно 4 различных решения.
№13. Найдите все значения a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
№16. Для каждого значения a решите систему
№17. При каких значениях a система 
имеет единственное решение?
№24. (№25 в издании 2013 г.) Найдите все значения a, при каждом из которых система 
имеет ровно два различных решения.
IV. Пересечение и объединение множеств на плоскости
(задача №11), показ моделей со скрытыми объектами, созданными в программе «Математический конструктор 4.5».
Перерыв – 10 минут
V. Самостоятельная работа по индивидуальным заданиям для различных пар.
Комментарий. Предложенные задачи могут быть решены без привлечения компьютерных программ и предполагают подобный подход на ЕГЭ, где использование вспомогательных технических средств запрещено. Однако, главной целью работы не является прагматическое натаскивание учащихся на итоговый экзамен, применение обучающих технических средств мобилизует творческую активность учеников и сокращает пропасть между их возможностями и достижениями.
Представленные задания для работы содержат избыточный материал и не предполагают полного выполнения в ходе занятия большинством учащихся. С другой стороны, в материале присутствует дополнительная задача, которая заготовлена для отлично подготовившихся к занятию ребят.
1 группа.
Задача 11. Задание с подсказками.
- Представьте модели множеств, задаваемых первым и вторым уравнениями системы на плоскости Оху в экране программы «Математический конструктор 4.5» для нескольких различных значений параметра а.
- Проанализируйте видоизменения множеств от значения параметра а.
- Найдите и представьте на экране случаи существования ровно четырех решений системы уравнений.
- Рассчитайте числовые значения параметра а, позволяющие системе иметь ровно четыре решения.
- Определите число решений системы уравнений при всех значениях параметра а.
- Попробуйте самостоятельно задать функции одного параметра, определяющие «масштаб картинки». Решите задачу с этими составленными функциями.
- Вспомните метод мажорант. Попробуйте самостоятельно задать функции различных параметров для двух уравнений системы и сформулировать усложненную задачу по поиску числа решений системы.
2 группа. Задание с подсказками.
Задача 13.
- Вспомните определение обратных чисел. Найдите соответствующие числа в условии задачи.
- Обладает ли система уравнений какой-то симметрией?
- Сформулируйте необходимое условие для существования единственного решения системы с учетом предшествующего рассмотрения.
- Найдите все значения параметра а, при которых могло бы существовать единственное решение системы. Постарайтесь сформулировать условия, существенно сужающее круг «подозреваемых».
- Вспомните особенности поведения функции
- Изобразите , при необходимости, график этой функции с помощью предоставленных программных сред.
- Вспомните о согласованном использовании условий необходимости и достаточности.
- Решите систему (или исследуйте число решений системы) при выделенных ранее значениях параметров.
- Сформулируйте неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.
- Используйте метод мажорант для доказательства единственности существования решения.
3 группа.
Задача 16. Задание с подсказками.
- Есть ли у Вас желание избавиться от корней методом уединения радикала?
- Когда удобно вводить координатную плоскость Оха?
- Хорошо ли Вы владеете методом выделения полного квадрата? Попробуйте выделить полный квадрат в левой части первого уравнения и в подкоренных выражениях.
- Какое множество точек задает первое уравнение на плоскости Оха?
- Вспомните формулу расстояния между двумя точками в планиметрии.
- Почему именно такое «неудобное» число стоит в правой части второго уравнения? Правы ли «классики», утверждая, что «кто нам больше всего мешает, тот и поможет»?
- Попробуйте построить график функции двух переменных f(x,y)=0 в программе «Advanced Grapher», задающий множество точек, определяемое вторым уравнением системы, при различных значениях правой части уравнения. Почему, когда используются для правой части уравнения числа, меньшие исходного, графики функций пропадают?
- Введя две точки с фиксированными координатами и одну точку с координатами (х;а), проинтерпретируйте с точки зрения геометрии второе уравнение системы.
- ГМТ на плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости имеет одно и то же значение есть…
- Вспомните, как формулируется неравенство треугольника.
- Попытайтесь установить линейную связь между параметром а и неизвестным х во втором уравнении системы.
- Попробуйте задать в имеющихся программных средах пересечение множеств решений уравнений системы. Поэкспериментируйте с первым уравнением (уравнением окружности).
- Можно ли ввести второй параметр в первое уравнение (сдвиг центра окружности или изменение её размера) и переформулировать задачу на нахождение числа решений системы уравнений?
4 группа
Задача 17. Задание с подсказками.
- Поэкспериментируйте с построением линий, задаваемых квадратичными формами в предоставленных программных средах.
- Изобразите функцию двух переменных, задаваемую первым уравнением.
- Используя формулу для корней квадратного уравнения, разложите левую часть первого уравнения на множители.
- Подберите координаты точек на плоскости Оху, чтобы можно было воспользоваться формулами для расстояния между двумя точками при геометрической интерпретации второго уравнения системы.
- Постройте в программе «Advanced Grapher» график функции двух переменных f(x;y)=0, задаваемой вторым уравнением системы при нескольких выбранных значениях параметра а.
- Проанализируйте необходимость связи между переменной x и параметром а.
- Запишите алгоритм равносильных переходов при решении исходной системы с использованием знаков систем и совокупностей.
- Сформулируйте условия задач, которые Вы бы могли предложить с использованием заданной графической модели.
- Решите систему уравнений при всех значениях параметра а.
Дополнительное задание.
Задача 24. Задание с подсказками.
- Что такое метод преобразований применительно к построению линий на плоскости?
- Какие особенности квадратичных форм могут позволить в уравнении линии опознать уравнение окружности?
- Когда мы производим замену переменных?
- Могут ли задания на ЕГЭ содержать элементы, выходящие за рамки школьной программы?
- Выделите полные квадраты в левой части второго уравнения и попытайтесь свести его к уравнению окружности.
- При всех ли значениях параметра а второе уравнение на плоскости Оху задает окружность?
- Как в зависимости от значения параметра а смещается центр окружности и меняется её радиус?
- Давайте попробуем после выделения квадратов выполнить замену переменных, упрощая задачу.
- Всегда ли единственность решения в новых переменных позволяет говорить о единственности решения в прежних переменных?
- Какие преимущества системы в новых переменных Вы обнаруживаете?
- Сможете ли Вы составить похожую задачу, действуя как составитель в обратном порядке от простого к сложному? Предложите свою задачу одноклассникам.
VI. Краткое знакомство с основными идеями решений задач
на базе заготовленной учителем презентации и возможных разработок групп учащихся.
VII. Рефлексия.
Используя совместный потенциал собственных знаний и знаний группы, участники могли произвести обмен полезной информацией. К концу занятий результативность работы команды определялась по индивидуальному продвижению каждого участника и по полноте предлагаемой блок – схемы для решения заданий ЕГЭ. В качестве домашнего задания группам участников было предложено представить презентации уроков, которые они бы могли провести для одноклассников, чтобы научить их справляться с похожими задачами.
Я полагаю, что организация занятий, в ходе которых учащиеся во многом самостоятельно открывают для себя собственные возможности и оценивают свои достижения, способствует становлению их компетентности, понимаемой как «… способность учащихся самостоятельно действовать в ситуации неопределенности для решения актуальных для них проблем". (О.Е. Лебедев).
Таким образом, развитие учителем критического мышления как мышления оценочного и рефлексивного и создание ситуаций, когда возникает потребность в его использовании, может служить прекрасным средством формирования ключевых компетентностей учащихся.
Решения задач с примерами использования компьютерных программ приведены в статье «Использование ИКТ-технологий для подготовки учащихся к решению систем уравнений с параметром» автора, также представленной на фестиваль «Открытый урок» 2012-2013 года.