"Линейные уравнения с параметрами". 7-й класс

Цели урока:

• Обучающая: формировать умение решать линейные уравнения с параметрами.
• Развивающая:
  • развивать исследовательскую деятельность учащихся;
  • развивать логическое мышление для сознательного восприятия учебного   материала;
  • развивать внимание, зрительскую память, активность учащихся на уроке.

Тип урока: введение нового материала.

Учебник: «Алгебра-7» авт. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.  издательство «Мнемозина», 2008 год.

ХОД УРОКА

I. Проверка домашнего задания (работа выполнялась на двойных листах и сдаётся на проверку).

Готовые решения проецируются на доску и разбирается (проговаривается) алгоритм решения.

№ 624.  Решите уравнение:  

а) 0,3(2x – 1) – 0,4 (x + 8) = 1,2x – 1;
0,6x – 0,3 – 0,4x – 3,2 = 1,2x – 1;
0,6x – 0,4x –1,2x =  0,3 + 3,2– 1;
– x = 2,5;
x = –2,5.          Ответ:   – 2,5.

в) – 6(2 – 0,2x) + 11 =  – 4(3 – 0,3x) – 1;   
– 12  + 1,2x + 11 =  – 12 + 1,2x – 1;
1,2x   –  1,2x = 12 – 11 + 1;
0x = 2.             Ответ:   решений нет.

№ 625. Решите уравнение  

а)  (2x – 1)(3x + 7) – (1 + 6x)(x + 2) = 4;
6x² + 14x – 3x – 7 – (x + 2 + 6x2 + 12x) = 4;
6x² + 14x – 3x – 7 – x – 2  – 6x2 – 12x = 4;
6x² + 14x – 3x – x – 6x² – 12x = 4 + 7 + 2;
– 2x = 13;
x =  – 6,5.   Ответ:   – 6,5.   

№ 626. Решите уравнение

№ 622. При каких значениях  a  уравнение   ax = 2a – 1:

а) имеет единственный корень;     (при  a 0)
б) имеет бесконечно много корней;   (таких значений  a  нет)
в)  не имеет корней?    (при a = 0).

II.  Устная работа (задания проецируются на доску)

1. Найдите корни уравнения:  

а) 14 + 3x = 5 – x ;                         (– 2,25)
б) 105y – 28 = 105y + 7;                
в)  34x + 2 = 34x + 2.                   (x – любое число)

2.   При каких значениях  a  число  3 является корнем уравнения?

а)     ax = – 6;        (при  a = – 2)
б)    8x = 3a .         (при a = 8)

3.   Укажите контрольные значения, при которых уравнение не имеет решений или решением является любое число?

а)   (5 – a) x = 0;     б)  (b + 4) x = 5;        в)  ax = x.

III.   Изучение нового материала

Учитель. Сегодня на уроке мы с вами будем учиться решать линейные уравнения с параметрами.

Задание 1

Рассмотрим уравнение   mx + 3 = 4m – 2x.  Оно содержит две переменные: m и x.

1. Вопрос. Чем же они отличаются?  (одна из переменных, например m, принимает любые значения, тогда переменная x принимает не все значения, а только те, которые получаются при заданных значениях переменной  m).

2. Задание.  Решите данное уравнение при   m = 2, – 1, 0.

если m = 2, то уравнение примет вид  2x + 3 = 8 – 2x.    Ответ:   ;
если m = – 1, то уравнение примет вид  – x + 3 = – 4 – 2x.   Ответ:   – 7;
если m = 0, то уравнение примет вид  3 =  – 2x.    Ответ: – 1,5 )

3. Задание.  Решите данное уравнение, задав свое значение для переменной   m.
Переменную  m, значения которой мы задаём, называют параметром (фиксированным числом).
Определение: решить уравнение с параметром – значит, для любых допустимых значений параметра найти значения неизвестной переменной.

4.  Вопрос. Можем ли мы перебрать все значения параметра  m, чтобы найти значения  x?  (нет)

5. Возникла проблемная ситуация. Как же решить данное уравнение mx + 3 = 4m – 2x?
Нет ли другого подхода к решению уравнения?
Оказывается существует. Для решения линейного уравнения с параметром применяется тот же
алгоритм решения, как и для линейного уравнения без параметра, т.е.перенос слагаемых и
приведение подобных слагаемых.  Всегда ли эти операции выполняются? (да).
Выполним указанные операции:

mx + 2x = 4m – 3;
(m + 2)x = 4m – 3;

6. Вопрос. Всегда ли можно выполнить деление?  (нет).

7. Задание. Найдите контрольные значения, при которых уравнение не имеет решений.

(m = – 2)

Запишем решение уравнения далее так:

Задание 2  (разобрать так же подробно на доске)

Решите уравнение   n²x + 3nx = 5n + 15;

Решение.

n²x + 3nx = 5n + 15;
n (n + 3) x = 5 (n + 3);
n =  – 3; 0 – контрольные значения параметра

1) при  n = – 3   уравнение примет вид   0x = 0,   x – любое число;
2) при  n = 0   уравнение примет вид   0x = 15,   решений нет;

Задание 3.

Самостоятельное решение уравнений с последующей проверкой на доске.

1. 2кx – 5(2 + x) = 7.

Решение.

2кx – 5(2 + x) = 7;
2кx – 5x – 10  = 7;
2кx –5x = 7 + 10;
(2к –5) x = 17;
2к –5 = 0, к = 2,5  –  контрольное значение параметра

1) при к = 2,5   уравнение примет вид   0x = 17,   решений нет;

2.  a²x – 2a = a² + ax

Решение.

a²x – 2a = a² + ax;
a²x – ax = a² + 2a;
a(a – 1)x = a (a + 2);
a(a – 1) = 0,  a = 0; 1 –  контрольные значения параметра

1) при  a = 0   уравнение примет вид   0x = 0,   x – любое число;
2) при  a = 1   уравнение примет вид   0x = 3,   решений нет;

IV.  Подведение итогов

1. Что мы сегодня рассматривали на уроке?  (решение линейных уравнений с параметрами.)
2.  В чем заключался алгоритм решения таких уравнений? Какие равносильные преобразования применяли?

а) освобождение от знаменателя, умножив обе части равенства на одно и тоже отличное от нуля число;
б) раскрытие скобок;
в) перенос слагаемых из одной части равенства в другую с противоположным знаком;
г) приведение подобных слагаемых.

V.  Выставление оценок

VI.  Домашнее задание

1)  № 631;  № 632;  № 633.
2)  Дополнительное задание

Решите уравнения: