Подготовка к решению задач творческой части ЕГЭ

Предлагаем разбор нескольких задач творческой части экзамена по математике в форме ЕГЭ 2012. Некоторые из предложенных задач решены несколькими способами, что иллюстрирует различные подходы при решении стереометрических задач, задач с параметром. Остальные задачи решены, по нашему мнению, наиболее адекватным способом.

C1.

a) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение:

a) ; ;

б) Решения из указанного промежутка и

Ответ:

а)

б);

C2. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 3, точка D – середина ребра СС₁. Найдите расстояние от точки C до плоскости ADB₁.

Способ №1:

E – середина AB, O - середина AB₁

.

Способ №2

Достроим плоскость треугольника до пересечения с нижним основанием ()

=.

Способ №3

;

.

Способ №4

, где – уравнение плоскости (AB₁D).

A(0,0,0); D ; B₁(0,1,3); C

Найдём коэффициенты уравнения плоскости, решив систему:

Уравнение:

.

C3. Решите систему неравенств

;;; ;

C4. Косинус угла при основании равнобедренного треугольника равен , а боковая сторона равна 39. Внутри треугольника расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

;

;

II случай.

;

 

C5. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение на промежутке имеет более двух корней.

Способ №1.(графический).

Построим графики и на промежутке .

При решений нет.

Заметим, что для a>0 на промежутке всегда есть одно решение. На промежутке – одно решение, либо в точке касания графиков функций, либо, если .

В точке касания уравнение - имеет единственное решение. То есть дискриминант квадратного уравнения должен равняться нулю: . Итак, уравнение будет иметь три решения, если .

Способ №2. (квадратный трёхчлен)

При решений нет, так как на промежутке .

При уравнение равносильно совокупности уравнений ; . Обозначим

Для того чтобы исходное уравнение имело более двух решений, должны выполняться условия:

;;

C6. Назовём кусок верёвки стандартным, если его длина не меньше 99 см, но не больше 102 см.

а) Некоторый моток верёвки разрезали на 33 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было бы разрезать тот же моток верёвки?

б) Найдите такое наименьшее число , что любой моток верёвки, длина которого больше см, можно разрезать на стандартные куски.

a) Длина такой верёвки меньше чем , так как среди кусков есть разные по длине. Тогда наибольшее количество стандартных кусков . Таким образом, наибольшее количество стандартных кусков из данной верёвки – 33.

б) Такая верёвка должна состоять из такого количества(n) стандартных кусков наименьшей длины(99), чтобы любой остаток верёвки при разрезании на куски по 99 см можно было распределить между кусками так, чтобы они оставались стандартными. Ненулевым остатком может быть любое число k из промежутка . К каждому из n стандартных кусков можно добавить не более 3см. Тогда изначально стандартных кусков по 99 см должно быть не менее чем . Соответственно . Наименьшая длина 3267 см.

C2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB=1, AD=AA₁=2. Найдите угол между прямой AB₁ и плоскостью ABC₁.

Способ №1:

Опустим перпендикуляр B₁H на прямую BC₁.

Способ №2

A(0;0;0); B(1;0;0); B₁(1;0;2); C₁(1;2;2);

– уравнение плоскости (ABC₁)

 Уравнение:

;

;

C4. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 7 и 24 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12,5. Средняя линия трапеции равна 27,5. Прямые AB и CD, пересекаются в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BMC.

Первый случай:

По условию задачи KL=27,5 EF=12,5

Обозначим AD=a; BC=b

Тогда как средняя линия трапеции

Как средняя линия треугольника BAC, .

Как средняя линия треугольника BDC, . Соответственно .

;. ; .

Заметим, что - прямоугольный, так как . .

Второй случай:

; .

Тогда ,

; .