Иррациональные уравнения

Цели урока:

1. Обучающие – ввести понятие иррациональных уравнений, рассмотреть методы их решения.
2. Развивающие – развивать творческую активность учащихся, их познавательную деятельность, логическое мышление, память, умение работать в проблемной ситуации, добиваться умения правильно, последовательно, рационально излагать свои мысли, расширить кругозор учащихся, повышать уровень их математической культуры.
3. Воспитательные – воспитывать стремление к самосовершенствованию, трудолюбие, формировать умение грамотно и аккуратно выполнять математические записи, воспитывать активность, содействовать побуждению интереса к математике.

Тип урока: комбинированный. Урок рассчитан на 1час 30 мин.

Оборудование: Презентация к уроку (Презентация), карточки для самостоятельной и индивидуальной работы учащихся. (Приложение 1, Приложение 2, Приложение 3).

Ход урока

I. Организационный момент.

Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид); организация внимания.

Учитель сообщает учащимся тему урока, цели (слайд 2) и поясняет, что во время урока будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах.

II. Устная работа.

(слайд 3)

1) Найдите область определения функции:

		х≥6
		х>0
		х>-2
		х≥0

Из последнего промежутка найти наименьшее положительное целое число (1)

2) Упростите выражение: (слайд 4)

3) Решите уравнение (слайд 5)

				х=1		нет корней		нет корней

4) «Найди ошибки» (слайд 6)

Решение уравнений

x3=8				x3=-8
Х=		Х=		Нет корней		Х=

Применение формул сокращённого умножения

(х+2)²=x²-4х+4

(3х+2)²= 3x²+12х+4

(2y-4)²=4y- 16y

5) Является ли число x₀ корнем уравнения? (слайд 7)

Числом какого вида является ? ( - иррациональное число)

III. Историческая справка.

(слайд 8)

А сейчас небольшая историческая справка, (выходит учащийся и рассказывает наизусть):

История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию Пифагорийцев ещё в VI веке до н.э. А началось все с простого, казалось бы вопроса – каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1?

Пифагорийцы доказали, что  – нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n– по их мнению вообще не было числом. Открыв новый математический объект они пришли в полное замешательство. В основе всеобщей гармонии мира, считали они, должны лежать целые числа и их отношения. Никаких других чисел они не знали. И вдруг эта гармония рушится – существуют величины, которые отношением целых чисел, в принципе – не являются.

В переводе с латыни “irrationalis” – “неразумный”. Любопытно, что в средневековой Европе наряду с “irrationalis” в ходу был еще и другой термин “surdus” – “глухой” или “немой”. Судя по такому названию, математикам средневековья иррациональные числа представлялись чем-то настолько “неразумным”, что “ни высказать, ни выслушать”. Удивление и досада, с которыми древние математики в начале восприняли иррациональные числа, впоследствии, сменились интересом и пристальным вниманием к новым математическим объектам.

IV. Изучение нового материала.

Вот и мы сейчас с таким же интересом и вниманием обратимся не к иррациональным числам, но к иррациональным уравнениям. Открываем тетради, записываем тему урока: “Иррациональные уравнения». (слайд 9)

(слайд 10) Определение: Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными.

Выбрать иррациональное уравнение: (Приложение 1)

Решите уравнение (слайд 11)

2x+1=9

x=4

Решите уравнение: (слайд 12)

2х-5=4х-7

х=1

Проверим, верно ли мы решили уравнение.

Проверка:

 не существует

Значит, х=1 посторонний корень

Ответ: решений нет.

Вернёмся к первому уравнению и выполним проверку (вдруг тоже посторонний корень) (слайд13)

2x+1=9

x=4

Проверка:

3=3 верно

Ответ: х=4

Мы решили два иррациональных уравнения, применяя один и тот же приём. Какой? (Возвели обе части уравнения в квадрат, т.к. корень квадратный). Такой метод называется методом возведения в квадрат. (слайд 14). Запишем в тетрадь этот алгоритм.

Метод возведения в квадрат

1. Уединить корни
2. Возвести обе части уравнения в квадрат.
3. Решить уравнение
4. Сделать проверку!!!

V. Закрепление.

Решите уравнение. (задание №1 из Приложения 2)(ученик у доски)

Уединим корень

-3х+3=x²-2х+1

x²+х-2=0

D=9, х₁=1, x₂=-2

Проверка:

х=1 0=0 верно

х=-2 3=-3 неверно

ответ: х=1

Решите уравнение самостоятельно:  (задание №2 из Приложения 2)

Проверить уравнение по слайду 15.

5х-16=x²-4х+4

x²-9х+20=0

D=1, х₁=5, x₂=4

Проверка:

х=5 3=3 верно

х=4 2=2 верно

Ответ: х₁=5, x₂=4

Физкультминутка (слайд 16-19)

Решите уравнение  (задание №3 из Приложения 2)

В какую степень нужно возвести обе части уравнения? (в третью, т.к. корень третьей степени)

Решают самостоятельно, потом ученик пишет на доске своё решение.

x²-28=8

x²=36

Х=±6

Можно ли обойтись без проверки? (Да, т.к. корень нечётной степени существует из любого числа)

(слайд 20) Возведение в чётную степень из неверного равенства может сделать верное, например,

1=-1 неверно

(1)2=(-1)2 верно

При возведении в нечётную степень такого не произойдёт, т.к. преобразования равносильные. Поэтому, (слайд 21 )при возведении обеих частей уравнения

• в чётную степень проверка обязательна;
• в нечётную степень – проверка не нужна.

Решите уравнение самостоятельно с последующей проверкой (задание №4 из Приложения 2) (слайд22)

Х+12=64

Х=52

Если квадратных корней в иррациональном уравнении много, то приходится возводить в квадрат несколько раз.

Решите уравнение на доске (задание №5 из Приложения 2)

x²-44х+84=0

D=1600 х₁=42, x₂=2

Проверка: х=42 посторонний корень

18=0 неверно

Х=2 0=0 верно

Ответ: х=2

Решите уравнение самостоятельно с последующей проверкой (задание №6 из Приложения 2): (слайд 23-24)

х-4=0

х=4

Проверка: х=4

1=1 верно

Ответ: х=4

Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы. (слайд 25)

 (задание №7 из Приложения 2)

посторонний корень

Ответ: х=11

Проверка не нужна, т.к. все преобразования были равносильными.

Решите уравнение, используя равносильные переходы, самостоятельно с последующей проверкой(задание №8 из Приложения 2) (слайд26)

посторонний корень

Ответ: х=8

VI. Проверочная работа.

(Приложение 3) (слайд 27)

Карта ответов к тесту (слайд 28)

VII. Итоги урока.

С какими уравнениями вы познакомились на уроке? (с иррациональными)

Какими методами вы решали иррациональные уравнения? (метод возведения в степень корня, метод равносильных преобразований)

Когда нужно делать проверку корней иррационального уравнения? (при возведении в чётную степень)

VIII. Домашнее задание.

(Приложение 1) (слайд 29)

Решить все иррациональные уравнения с Карточки 1

IX. Рефлексия.

(слайд 30)