Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением. Извне он может получить только возбуждение. (А. Дистервег)
Цели:
- Обобщить, углубить знания обучающихся по изучаемой теме.
- Способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию; развитию творческих способностей учеников путем решения заданий, содержащих модули, параметры
- Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.
Оборудование: экран, проектор, документ – камера, магнитная доска, плакаты 1-4.
У обучающихся на рабочем месте: оценочные листы, карточки со схемами 4-5, комплект дидактической игры «Лото», копировальная бумага.
Вся работа на этом занятии сопровождается индивидуальным оценочным листом (Приложение 1).
Критерии оценок: «5» – 30-28 баллов, «4» – 27-22 балла, «3» – 21-16 баллов, «2» – менее 16 баллов.
Ход урока
I. Вводная беседа учителя (2 мин).
– Один начинающий волшебник, герой шуточной песенки, неумело обращался с заклинаниями, в результате вместо грозы у него получилась коза, а вместо утюга – слон. Чтобы решать уравнения, нужно совершать ряд преобразований, и делать это следует очень осмотрительно.
Например, решая уравнения, мы могли бы рассуждать так:
Пример 1 |
Пример 2 |
х(х+3)=2х, х+3=2, х = -1. Ответ: х = -1 |
х2 + х – 1 = 4х – 3, х2 – 3х + 2 = 0, х=1 или х=-2. Ответ: х = 1, х=-2 |
На самом деле, стараясь «избавиться от всего лишнего», мы допустили бы ошибки. Какие?
В результате неравносильных преобразований в уравнении 1 потерян корень х = 0, а в примере 2 появился «посторонний» корень х = 1.
- Как же не попасть в подобные ловушки?
- Прежде всего, нужно четко понимать, какие действия нужно выполнить в ходе решения уравнения.
- Сегодня на уроке мы повторим, обобщим, приведем в систему изученные виды, методы и приемы решения рациональных уравнений.
II. Проверка домашнего задания (5 мин).
(С помощью документ – камеры демонстрируем заранее заготовленное домашнее задание. Ученики отвечают по готовым записям. Работа ведется фронтально, но пары обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку.)
|
Уравнение |
Ответ |
1 |
(х – 5)2 + 9х = |
х = 3. |
2 |
(1/2)х2+ 0,7х = 0. |
Нет действительных корней (∅). |
3 |
(х – 5)(х + 3) = 9. |
х1 = -4, х2 = 6. |
4 |
 |
х = -5/12. |
5 |
(х – 5)(х + 3) = 1 – 2х. |
х1,2 = ±4. |
6 |
(х – 5)(х + 3) = 3(х – 5). |
х = 0, х = 5. |
7 |
2(х + 1) – 1 = 3 – (1 – 2х). |
Нет действительных корней (∅). |
8 |
1 – 2х – + 4х2 = х2 – 2х + 1. |
0. |
9 |
3(1 – х) + 2 = 5 – 3х. |
Бесконечное множество корней (х ∈ R). |
10 |
2х2 + 3х + 4 = 0. |
Нет действительных корней (∅). |
11 |
х2 + 6х + 4 = 0. |
х1,2 = -3±√5. |
12 |
25х2 – 30х + 9 = 0. |
х1 = х2 = 3/5. |
+ 25. В результате выполнения задания получилась схема 1. (Демонстрируется на слайде).
Схема 1. Классификация рациональных уравнений по виду.
Задание 2. Подготовить одну физическую задачу, показывающую, что рациональные уравнения могут служить математическими моделями реальных ситуаций.
(У доски разбирается наиболее интересный пример.)
– В результате обсуждения и проверки домашнего задания выясняем сущность решения уравнений.
Выводы:
- Уравнения являются математическими моделями очень многих физических и иных явлений. Поэтому решение различных практических задач сводится к решению уравнений.
- Уравнением с одним неизвестным называется запись вида А(х) = В(х), в которой А(х) и В(х) – выражение от неизвестной х.
- Областью определения уравнения называется множество всех значений х, при которых определены обе части уравнения.
- Корнем или решением уравнения называется значение неизвестного, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.
- Линейные и квадратные уравнения решаются по готовым формулам, они называются простейшими.Главная задача при решении любого уравнения – свести его к простейшему.
Результаты выполнения домашнего задания заносятся обучающимися в оценочный лист.
Оценка: «5» – нет ошибок; «4» – 2-3 ошибки; «3» – более 3 ошибок.
III. Работа по теме урока.
Этап I. (5 мин). Тест (под копировальную бумагу) (Приложение 2).
Цель: Проверить навыки решения простейших уравнений.
Работа проводится по карточкам в двух вариантах, состоящих из 20 уравнений, записанных в столбец. Для выполнения задания обучающийся берет полоску бумаги и кладет ее справа от столбца, по которому собирается работать.
Решая, ученик записывает только ответы; напротив задания, вызвавшего затруднение, ставит прочерк; по истечении времени, отведенного на выполнение теста, по команде учителя листы подписываются и сдаются.
Учитель открывает слайд, где подготовлен список правильных ответов и критерии оценок. Проводится быстрая самопроверка решений (по копиям).
Результаты теста заносятся в оценочный лист.
Для оценки работы надо: поставить знак «+» против верного ответа и знак «– » против неверного; подсчитать число плюсов.
Критерии оценок: «5» – 20 плюсов; «4» – 15-19 плюсов; «3» – 10-14 плюсов, «2» – 9 и менее плюсов.
Этап II (15 мин).
Цель: установить связи между корнями квадратных, линейных уравнений и их коэффициентами.
На слайде обучающимся демонстрируется плакат № 1
? о с о б е н н о е ! |
|
1. 2(х + 7) = 2х + 14 |
2. 3(х – 1) – 5(5 + х) = 7 |
3. (а2 – 9)х = а2 – 5а + 6 |
4. 2x/3+ (5 – x)/2 = 0 |
Требуется указать, о чем идет речь.
Ответ: 1, 2, 3, 4 – линейные уравнения.
Уравнение 1 имеет бесконечное множество корней,
уравнение 2 – решений не имеет,
уравнение 4 имеет один корень,
уравнение 3 – линейное уравнение с параметром; в зависимости от значения параметра а уравнение может иметь различное количество корней.
! |
Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению. |
Ребятам предлагается решить уравнение 3: (а2 – 9)х = а2 – 5а + 6.
Решение.
Случай 1: а2 – 9 = 0. Тогда а = – 3 или а = 3.
Если а = – 3, то исходное уравнение примет вид 0х = 30 и корней не имеет.
Если а = 3, то получаем уравнение 0х = 0, для которого любое действительное число является корнем.
Случай 2: а2 – 9 ≠ 0, т.е. а ∉ {-3;3}.
Выразим х через а:
Ответ: если а = – 3, то корней нет; если а = 3, то х ∈ R; если а ∉ {– 3; 3}, то один корень 
.
Обобщая результаты решения уравнения 3, получаем схему 2, которая показывает связь числа корней линейного уравнения с его коэффициентами.
Учитель предлагает двум обучающимся собрать на доске из заранее подготовленных карточек схему 2 и схему 3, которые отражают связь числа корней квадратного уравнения ах2+bх+с=0 (а ≠ 0) с его дискриминантом Д = в2– 4ас, и для каждого случая аналитического решения указать геометрическую модель.
Остальным обучающимся демонстрируется плакат № 2 на слайде
? н е л ь з я ! |
1. х2 + ах + 12 = 0 |
2. ах2 – 2х + 4 = 0 |
3. 2х2 + 4х + а = 0 |
Вопрос: Что бы это означало?
Ответ: (1), (3) – квадратные уравнения с параметром. В этих уравнениях параметр а входит в состав второго коэффициента и свободного члена; (2) – это также уравнение с параметром, но параметр а входит в состав коэффициента при х2 многочлена второй степени. Это уравнение нельзя сразу решить по формулам для отыскания корней квадратного уравнения, т. к. о заданном уравнении мы не можем сказать, квадратное оно или линейное.
! |
Если коэффициент при х2 многочлена второй степени содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль |
Решим уравнение (2) ах2 – 2х + 4 = 0.
Решение.
Рассмотрим два случая, когда а = 0 и когда а ≠ 0.
1 . При а = 0, уравнение (2) линейное -2х+4= 0. Откуда х = 2.
2. При а ≠ 0, уравнение (2) – квадратное. Его дискриминант равен Д = 4-16а.
Если Д < 0, т. е. а > 1/4, уравнение решений не имеет.
Если Д = 0, т.е. а = 1/4, то уравнение имеет единственный корень x = 4.
Если Д > 0, т. е. а < 1/4, то уравнение имеет два корня х1,2 = 
Ответ: если а > 1/4, уравнение решений не имеет; если а = 1/4, то уравнение имеет единственный корень x = 4; если а < 1/4, то уравнение имеет два корня х1,2 = , если а = 0, то х = 2.
Далее ученикам предлагается обобщить результаты домашнего задания, выполнив следующий тест (с взаимоконтролем) (5 мин).
Работа проводится в двух вариантах. Карточка с заданием выдается каждому обучающемуся.
По окончании выполнения теста открываются правильные ответы (слайды); обучающиеся меняются схемами, проверяют, исправляют ошибки, оценивают работу соседа по следующим критериям:
Оценка «5» – нет ошибок; «4» – одна ошибка; «3» – две-три ошибки; «2» – более трех.
Продолжение урока см. в Приложении.
Ответы к тесту 1 (Приложение 6).
Презентация к уроку (Приложение 7).