Наибольшее и наименьшее значение функции

Вид урока: объяснение нового материала.

Тип урока: комбинированный.

Учебник: Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс.

Цели урока:

1. Обеспечить в ходе урока усвоения понятий наибольшего и наименьшего значений функции и научных фактов о производной функции;
2. Показать познаваемость мира и связь изучаемого материала с жизнью;
3. Способствовать развитию выделять главное, анализировать и обобщать.

I. Постановка цели урока.

Учитель: Здравствуйте! Присаживайтесь! Откройте тетради и запишите в них сегодняшнюю дату. На прошлых уроках вы изучили понятие производной и уже вам известно, что многие задачи сводятся именно к этому понятию. Сегодня мы изучим еще одно применение производной при решении конкретных задач.

II. Актуализация знаний.

Учитель: Дайте определение производной функции в заданной точке.

Обучающийся: Производная функции в заданной точке является предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что последний стремится к нулю.

Учитель: Назовите геометрический смыл производной функции в заданной точке.

Обучающийся: Геометрический смыл производной функции в заданной точке является угловой коэффициент касательной, проведенной к этой функции в заданной точке.

Учитель: Назовите физический смысл производной функции в заданной точке.

Обучающийся: Мгновенная скорость является физическим смыслом производной функции.

Учитель: Какие свойства функции мы можем обнаружить благодаря производной функции?

Обучающийся: Промежутки возрастания и убывания функции, а также наличие экстремумов.

Учитель: Ознакомимся с еще одним свойством функции, которое нам может подсказать ее производная. Запишем тему: “Наибольшее и наименьшее значения функции”.

Презентация

III. Объяснение нового материала.

Учитель: Нам уже известно, что функция на отрезке может принимать как наибольшее, так и наименьшее значения. Рассмотрим три случая:

На первом чертеже представлена возрастающая функция на отрезке [a; b], на втором дана убывающая функция на том же отрезке. Что общего можно заметить?

Обучающийся: Возрастающая и убывающая функции на заданных отрезках принимают наибольшее и наименьшее значения на концах отрезка.

Учитель: Верно, но вот третий случай считается особенный. Посмотрите на данный чертеж и ответьте на вопрос, в каких точках может возникать наибольшее и наименьшее значения функции?

Обучающийся: В экстремумах функции.

Учитель: При помощи какого понятия мы умеем находить экстремумы функции?

Обучающийся: При помощи производной функции.

Учитель: Сможете ли вы составить алгоритм по нахождению наибольшего и наименьшего значений функции?

Обучающийся: В первую очередь необходимо найти экстремумы функции на заданном отрезке. После этого найти значения функции в полученных точках и на концах отрезке. После этого выбрать из них наибольшее и наименьшее значения.

Учитель: Верно! Теперь рассмотри задачу, которая напрямую нас приводит к нашей новой теме.

Задача: Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной 200 м, и площадь ее при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки?

Решение:

Сделаем чертеж, предварительно отметив не используемую стену пунктирной линией.

Обозначим наименьшую сторону за x, тогда наибольшая будет 200-2x. Площадь будет находиться по формуле:

S = x(200 – 2x) = – 2x² + 200x

Найдем производную от площади и приравняем ее к нулю.

S' = – 4x +200,
– 4x + 200 = 0,
x = 50(м) – ширина площадки.

Длина площадки: 200 – 2х50 = 100 (м).

Ответ: 50м и 100м.

IV. Первичное осмысление и применение изученного.

№ 311. Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

Решение:

Пусть первое число x, тогда второе число x – 24. Искомая функция выглядит так: f(x) = x² + (24 – x)² = 576 – 48x.

Приравняем данную функцию к нулю и решим полученное уравнение.

576 – 48x = 0,

x = 12 – первое число, оно же и является вторым.

Ответ: 24 = 12 + 12.

№ 317. Открытый бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать 13,5 л жидкости. При каких размерах бака на его изготовление потребуется наименьшее количество металла?

Решение:

Так как объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, и при условии, что его длина и ширина совпадает, то его высота будет равна: .

Составим функцию, отражающую сумму площадей боковой поверхности и основания: .

Найдем производную полученной функции и приравняем ее к нулю:

Высота бака равна 13,5 : 3² = 1,5 (дм).

Ответ: 3 дм, 3 дм, 1,5 дм.

V. Самостоятельная работа по вариантам.

(После проведения соседние варианты обмениваются тетрадями для взаимопроверки, ответы отображаются через проектор.)

VI. Постановка домашнего задания.

Для всех обучающихся: из учебника № 311, № 316.

На выбор обучающихся: № 305 (б) или придумать текстовую задачу, приводящую к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции.

V. Подведение итогов урока.

Учитель: Какую темы вы сегодня изучили на уроке?

Обучающиеся: Наибольшее и наименьшее значения функции.

Учитель: Какой новый способ отыскания наибольшего и наименьшего значений функции вы изучили?

Обучающиеся: При помощи производной функции.

Учитель: Расскажите алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.

Обучающиеся: Необходимо найти экстремумы функции на заданном отрезке, найти значения функции в полученных точках и на концах отрезке. Выбрать из них наибольшее и наименьшее значения.

Учитель: Возникают ли у вас вопросы по данной теме?

Обучающиеся: Нет.

Учитель: Урок окончен, всем спасибо за активную работу.