Метод оценки при решении тригонометрических уравнений

Однажды известного физика А.Эйнштейна спросили: “Как делаются открытия?” Эйнштейн ответил: “А так: все знают, что вот этого делать нельзя. И вдруг появляется человек, который не знает, что этого нельзя. Он и делает открытие”. Конечно, это была лишь шутка. Дело не в том, чтобы не знать. Знать надо! А ещё надо сомневаться, не брать на веру всё, чему учили деды, копать глубже, смотреть лучше. И сегодня я предлагаю вам отойти от традиционных решений, попробовать взглянуть на задания с необычной стороны.

1. Решим уравнение

cos · cos = 1.

Наверное, можно применить формулы двойного и тройного угла, но мы попробуем оценить выражения, входящие в уравнение. Поскольку cos t не больше 1, то при умножении можно получить 1 только в одном из случаев:

Вторая система не имеет решений, а решениями первой системы, а значит и первоначального уравнения, являются = 2 m, где m є z.

2. Решим уравнение

cos · cos = 1.

Не забудем, что решениями могут являться значения х не меньше 4, поскольку выражение (х – 4) находится под знаком арифметического квадратного корня. Из тех же соображений, что и при решении примера 1, получим, что при умножении можно получить 1 только в одном из случаев:

Решая отдельно эти системы, получим, что решением первой системы является число 4, а у второй системы решений нет.

Таким образом, х = 4 – решение первоначального уравнения.

3. Решим уравнение:

3cos х – 4sin х =.

Легко показать, что выражение, стоящее в левой части уравнения

-5 3 cos х – 4 sin х 5,

а выражение, стоящее в правой части уравнения

= = 6.

Таким образом, данное уравнение решений не имеет.

4. Решим уравнение:

sin – sin · cos = 1, 5.

Используя метод вспомогательного угла, оценим выражение, стоящее в левой части уравнения. Получим, что

sin х – sin · cos х = ·(sin · sin х – cos · cos х) =

= – · cos,

где = ± arccos .

При этом,

0 sin² 15x 1,

1 2,

1 и

- · cos .

Таким образом, левая часть , а правая равна 1,5. А это невозможно. Значит, уравнение решений не имеет.

5. Решим уравнение

sin – sin = cos· cos х + 2 cos – 6.

Запишем уравнение в виде sin – 2 cos = cos · cos + sin – 6. А теперь оценим, используя метод вспомогательного угла, выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения.

1) sin – 2 cos = ·

= - cos = – 4 cos и -4 – 4 cos 4.

2) cos · cos х + sin х – 6 = · ( cos · cos x + sin · sin x) – 6 =

= cos – 6,

где = ± arccos .

При этом,

0 cos² 24x 1,

3 3 + cos² 24x 4,

2,

– 2 cos 2,

– 8 cos – 6 – 4.

Таким образом, левая часть – 4, а правая часть – 4. Их равенство возможно только при выполнении условия:

Решая эту систему, получим, что х = + 2m, где m Z.

6. Для каждого а решить уравнение 4 cos х · sin a +2 sin х · cos a – 3 cos a =.

4 cos х · sin a + (2 sin х – 3) ·cos a =.

Оценим выражение, стоящее в левой части уравнения:

4 cos х · sin a + (2 sin х – 3) ·cos a = · (sin · sin а +

+ cos · cos а) = cos =

=cos = cos ,

где = ± arccos .

При этом, – 12 sin² – 12 sin + 25 = -12 · ( sin² + sin – ) =

= – 12 · = – 12 · =

= – 12 · + 28 28, а 0 .

Таким образом, cos = при

Поскольку, = ±arccos + 2?k =

= ±arccos + 2k = ± arccos + 2k=

= ± arccos + 2k == ± arccos + 2k,

Я надеюсь, вам понравился такой способ решения уравнений и неравенств, ведь он действительно похож на маленького пони, которого так легко обнять (то есть применить метод оценки частей уравнений и неравенств), но для этого его надо понять и полюбить.