Цель урока: сформировать у учащихся представление о решении простейших тригонометрических уравнений.
Образовательные задачи: формирование нового понятия: “тригонометрические уравнения”.
Воспитательные задачи: продолжение работы по воспитанию взаимопомощи, культуры общения, способствующих созданию благоприятного психологического климата в классе, воспитанию внимания, самоконтроля, интереса к предмету.
Развивательные задачи: развитие умения выделять “главное”, умения преодолевать трудности в учении.
Ход урока
1. С какими тригонометрическими функциями мы знакомы? (Их называют основными).
2. Какие из этих функций четные, какие – нет?
3. Чему равен период функций: y = sin(x), y = cos(x), y = tg(x), y = ctg(x)?
Кроме этих основных тригонометрических функций иногда рассматривают и следующие тригонометрические функции?
y = 1/cos(x) -секанс х
y = 1/sin(x) -косеканс x
Уравнение f(x) = a, где а – данное число, f(x) – одна из основных тригонометрических функций, называют простейшим тригонометрическим уравнением.
Рассмотрим уравнение sin(x) = a.
Если -1 < a < 1, то уравнение имеет 2 серии решений:
x = arcsin a + 2πn, n € Z
x =π - arcsin a + 2πm, m € Z
А если эти серии ответов соединить, то общая формула:
x =
arcsin a + πn, n € Z
Рассмотрим частные случаи:
1) sin(x) = -1 sin(x) = 0 sin(x) = 1
x = -π/2 + 2 πn, n € Z x = πk, k € Z x = π /2 + 2πk, k € Z
При a>1, a<-1 нет решения.
Решите уравнения:
- sin(x) = 1/2
Ответ:
x = π/6 +2πk, k € Z
x = 5π/6 +2πm, m € Z
Решите уравнение:
- sin(x) =
/2 - sin(x) = -
/2 - sin(x) = 1/7
- sin(x) = π
(Ученики решают самостоятельно, ответы показывают на рисунке)
Далее обсуждаются решения, проверяются ответы, находятся причины ошибок.
- Уравнение cos(x) = a.
Если -1 < a < 1, то уравнение имеет 2 серии решений.
Если a>1, a<-1 – уравнение решения не имеет.
Итак, cos(x) = a:
x = arcos a +2πn, n € Z
x = -arcos a +2πm, m € Z
Общий вид ответов: x = + arcos a +2πn, n € Z.
Решим уравнение:
cos(x) =
/2
x =
x =
Рассмотрим частные случаи (показываем на рисунке):
cos(x) = 0
x =π/2 +πn, n € Z
cos(x) = 1
x = 2πn, n € Z
cos(x) = -1
x = π+2πn, n € Z.
При a>1 или a<-1 уравнение решения не имеет, т.к. -1<cos(x)<1, например:
cos(x) = 2 нет решений.
Решите уравнения:
1) cos(x) = 1/2
2) cos(x) = -1/2
(Ученики решают, учитель пишет на доске).
Далее самостоятельная работа на обратной стороне доски, ответы показываются через мультимедийный экран.
1) 2sin(x) = 2
2) 2cos(x) -1 = 0
3) sin(x) = -2/3
4) cos(x) +
/2 = 0
5) sin(x) = 7/2
6) Если останется время,
то: sin 2 x = 1/4
7) cos(2x) =1/2
После проверки ответов обсуждаются допущенные ошибки, уточняются их причины и ликвидируются пробелы. При возможности ученикам, допустившим ошибки, предлагаются еще несколько аналогичных заданий. Желательно предлагать ученикам показывать ответы не через общие формулы, а с помощью чертежа.
Домашнее задание: (из учебника С.М. Никольского “Алгебра и начала анализа, 10-11 кл.”)
№ 11.3 (д, ж, к, л, м),
11.5 (в, г),
11.6 (а, б).