От случайного к закономерности

Задачи, которые мы решаем на уроках физики, химии и математики, обычно предусматривают однозначный результат действия. Например, если выпустить камень из рук, то он начинает падать с постоянным ускорением. Положение камня может быть вычислено в любой момент времени. Но есть большой круг задач, начинающий играть всё больше и больше значение в самых разных науках, в которых результат действия не определён однозначно. Рассмотрим простейший пример. Если подбросить монету, то нельзя точно сказать, какой стороной она ляжет вверх: гербом или цифрой. Здесь результат действия броска монеты не определён однозначно. Но если подбросить монеты достаточно большое число раз, то почти наверняка можно утверждать, что примерно половину раз она упадёт на «орла», а половину на «решку».
Может показаться, что рассмотрение таких примеров недостаточно настоящей науки. Однако их простота только кажущаяся. При более глубоком исследовании здесь можно обнаружить ряд серьёзных научных проблем. Над ними работали многие выдающиеся математики прошлого. Именно решение подобных задач в большей степени стимулировало возникновение теории вероятности как науки.
Знаменитый французский естествоиспытатель Бюффон (1707-1788) проделал этот опыт 4040 раз, при этом выпадение «орла» равнялось 2048. Известный английский математик и биометрик Пирсон (1857-1936) повторил опыт 12 тысяч раз, у него число выпадений герба составило 6019. Проделав опыт 24 тысяч раз, он получил выпадение герба в 12012 случаях. [1].
На занятиях математического кружка мы тоже проделывали такой опыт и получили такие результаты:

Таблица 1

На этих опытах мы убедились, что доля появления герба стремится к ½.
На следующем занятии мы опыт усложнили. Решили бросать две монеты, но разного цвета. События, которые будут происходить, обозначим так:
А1- на обеих монетах выпадет «орёл».
А2- на обеих монетах выпадет «решка».
А3- на медной - «решка», на серебряной - «орёл».
А4-  на медной - «орёл», на серебряной - «решка».
Все четыре варианта равновероятны. Получили такие результаты опыта:

Таблица 2

Получили, что вероятность выпадения одного из четырёх вариантов стремится к ¼. На одно из занятий принесли 4 яблока: 2 красных и 2 зелёных, положили их в мешочек и наугад вынимали по 2 яблока. Решили узнать, какова вероятность того, что они оба одного цвета, и что они разного цвета. Результаты опыта следующие:

Таблица 3

И опять получили, что вероятность выпадения одного из двух событий стремится к ½. Решили перейти к опыту с бросанием игральной кости кубика, на сторонах которого указаны точки: 1,2,3,4,5,6. Перед опытом выяснили, что всего может произойти шесть равновозможных случаев. [1]. И теоретически пришли к выводу, что вероятность выпадения одного из шести событий равняется 1/6. Решили проверить это опытным путём. Получили такие результаты:

Таблица 4

Наше предположение подтвердилось.
Решили усложнить наш опыт: одновременно бросать две игральные  кости и считать сумму выпавших очков на верхних гранях обеих кубиков. [3]. Сначала подсчитали, какие суммы могут получиться и сколько таких случаев:
2=1+1  1 случай
3=1+2
3=2+1  2 случая
4=2+2
4=3+1
4=1+3  3 случая
5=2+3
5=3+2
5=4+1
5=1+4  4 случая
6=3+3
6=5+1
6=1+5
6=4+2
6=2+4  5 случаев
7=1+6
7=6+1
7=2+5
7=5+2
7=3+4
7=4+3   6 случаев
8=4+4
8=2+6
8=6+2
8=5+3
8=3+5  5 случаев
9=3+6
9=6+3
9=4+5
9=5+4  4 случая
10=5+5
10=6+4
10=4+6  3 случая
11=5+6
11=6+5  2 случая
12=6+6  1 случай

Всего получается 36 случаев. Вычислим вероятность для каждой суммы.

Таблица 5

Проведено 144 опыта. Полученные результаты:

Таблица 6

Как видно из примеров, многие явления нам кажутся случайными при первом   взгляде на них, а при проведении опытов выявляется закономерность. У нас возник вопрос: где на практике можно применить теорию вероятности?
Нас ознакомили с задачами на выборку (выборочного метода). Мы провели такой эксперимент: брали горсть рисовых зёрен, отсчитывали из этой горсти по 100 зёрен, окрашивали их и тщательно смешивали с неокрашенными зёрнами. Затем из этой кучи с закрытыми глазами выбирали 100 зёрен и подсчитывали, сколько окрашенных зёрен попало. Цель: по окрашенным зёрнам вычислить количество зёрен в горсти.
Расчёт такой: 100 зёрен представляют собой случайную выборку из общего числа зёрен, находящихся в горсти. Это общее число называется генеральной совокупностью.[2]. Случайная выборка даёт представление о генеральной совокупности. По нашей выборке мы можем считать, что на каждые  100 зёрен приходится n-ое количество окрашенных, а так как всего 100 окрашенных зёрен, то можно составить элементарную пропорцию:
n: 100= 100: x
x = 10000: n
Получили на 100 окрашенных зёрен такие результаты:

Таблица 7

Мы брали случайное количество зёрен. По даны таблицы видно, что точное количество не на много отличается от полученного результата.
Этот выборочный метод можно использовать, например, при подсчёте определённого вида птиц в данной местности, определять количество рыб в пруду (в хозяйстве, где специально разводят рыб). [1].
Так на занятиях кружка в игровой форме мы сделали вывод, что при многократном повторении опытов сквозь нагромождения случайностей пробивает себе дорогу закономерность.

Презентация

Литература

1. А. М. Чубарёв, В. С. Холодный. Невероятная вероятность. Издательство «Знание». Москва, 2006.
2. Ф. Мостеллер. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Издательство «Наука». Москва, 2005.
3. Избранные вопросы математики. Факультативный курс 9.  Москва «Просвещение», 2004.