Сумма углов треугольника

Разделы: Математика

Тип урока: приобретение новых знаний и овладение новыми способами деятельности с помощью исследовательской работы.

Цели урока:

  • Образовательные: путём исследования доказать теорему о сумме углов треугольника, уметь применять её для решения задач, учить самостоятельно получать новые знания, используя имеющиеся.
  • Развивающие: развивать интерес к геометрии; формировать умение собирать и обрабатывать информацию, развивать интерес к поисковой и исследовательской деятельности..
  • Воспитательные: воспитывать трудолюбие, аккуратность, чувство ответственности,  развивать логическое мышление  и речь  учащихся.

Оборудование: модели равных треугольников, карточки- информаторы, карточки для решения задач, таблицы.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Здравствуйте ребята! Сегодня у нас очень важный урок. Мы продолжим с вами исследовательскую работу по открытию и доказательству новой теоремы. Будьте внимательными, активными и продемонстрируйте все свои знания, которыми вы обладаете.

2. Изучение нового материала.

  • На рисунке 1  BD  ║  АС. Найдите сумму углов треугольника АВС различными способами


Рисунок 1

Случайно ли сумма углов треугольника оказалась равной 180о или этим свойством обладает любой треугольник?
Исследованием этой проблемы мы и займёмся сегодня на уроке.
Итак,   тема урока: «Сумма углов треугольника».

  • Перед вами два равных треугольника. (рисунок 2 а, б) Как убедиться, что они равны? (Наложить друг на друга.)

Отметьте равные углы   треугольников одинаковыми номерами   1,2,3


Рисунок 2

  • «Оторвите» углы одного из треугольников и приложите их к углам другого так, чтобы каждые соседние два угла имели общую сторону. (Рисунок 2 в)
  • Что вы заметили? (Объединение всех трёх углов треугольника образует   развёрнутый угол.)
  • Этот опыт показывает, что сумма углов треугольника, по-видимому, равна 180о.
  • А как ещё можно убедиться, что сумма углов   треугольника равна 180о? (Измерить все углы треугольника и сложить их.)
  • Итак, мы сделали предположение, что сумма углов   треугольника должна быть равной  180о. Докажем теперь это предположение. Доказательство будет основано на складывании углов.
  • Нам дан произвольный треугольник АВС. Нарисуем его.


Рисунок 3

  • Отложим углы А и В от сторон угла С «по разные стороны от него»
  • Получим угол МСN. Нам нужно доказать, что он будет являться развёрнутым, т.е. он будет равен 180о.
  • Что вы заметили на рисунке? (угол А и угол МСА равные накрест лежащие углы при прямых МС и АВ и секущей АС. Следовательно, МС ║ АВ. Аналогично, СN ║ АВ)
  • Сколько же прямых, параллельных прямой АВ, проведено через точку С? (Две.)
  • А это верно? (Нет, это противоречит аксиоме параллельных прямых.)
  • Сделайте вывод. (Прямые СМ и СN совпадают и являются одной прямой МN)
  • Что вы можете сказать об угле  NСМ. (Этот угол развёрнутый, он равен 180о и складывается из трёх углов, равных соответственным  углам треугольника, т.е. сумма углов треугольника равна 180о.)
  • Итак, в результате поиска, для того чтобы доказать данную теорему, какое дополнительное построение мы должны сделать? (Провести через точку С треугольника АВС прямую МN, параллельную АВ, и рассмотреть образовавшиеся углы.) 

Задание.
Составьте план доказательства теоремы, записать его в  тетради, сделать рисунок.(Два ученика самостоятельно на переносных досках) (Рисунок 3)

План доказательства:

  1. Построить MN║АВ через вершину С.
  2. Доказать, что ∠ А=∠1, ∠ В=∠3.
  3. Доказать, что если ∠1+∠2+∠3=180о , значит ∠А+∠2+∠В=180о
  • На основании каких положений проведены все соответствующие рассуждения? (Мы использовали аксиому параллельных прямых, признак параллельности прямых)

3. Закрепление изученного материала.

1.Устное решение задач.   (Задачи  № 223(а, б, г) Учебник  Геометрия 7- 9. Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.)

2.Повторить определение равнобедренного и равностороннего треугольников.

3.Письменная  дифференцированная  самостоятельная работа с последующей проверкой (два ученика решают карточки на переносных досках):
-Карточки- информаторы (для  слабых учеников)  
-Карточки с индивидуальными заданиями (для средних и сильных  учеников)  

Карточка- информатор:

1. Продолжить предложение

Сумма углов  треугольника равна………….

2. Решить задачу


Рисунок 4

Дано: ∆АВС: ∠ А= 70о , ∠ В=30о
Найти: ∠ С.

Решение:
∠А+∠В+∠С=180о ( по т. о сумме углов треугольника);
∠С= 180о – ( ∠А+∠В);
<∠С= 180о – (70о +30о);

∠С = 80о
Ответ: ∠С = 80о

3.Решить задачу самостоятельно:
По рисунку найди угол N.


Рисунок 5

Карточка для учащихся на «4» и»5»:

 1. Начертите два неравных треугольника с соответственно равными углами.
2. Один из острых углов одного прямоугольного треугольника равен одному из острых углов другого треугольника. Как выяснить, равны ли эти треугольники?
3.  По рисункам  (рисунок 6 а,б,в,г)найди неизвестные углы треугольников.


Рисунок 6

Проверка выполненных заданий.
4. Вопросы к классу:

  • Исследуйте, может ли треугольник иметь два прямых угла? Два тупых угла?   Один прямой и один тупой угол? 
  • Исследуйте, какими могут быть углы в равнобедренном треугольнике? Сделайте вывод. (В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий прямой или тупой.)

5.Письменное решение задач.
Задача №228 (Учебник  Геометрия 7- 9. Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов и др) (задачи а,в; а- решить на доске; в-разобрать устно, оформить  решение самостоятельно) (Один ученик на переносной доске)
Задача №228(а). Исследуйте, сколько решений может иметь задача?
Задача №228(в). Исследовать, какой угол равен  100о?  Сколько решений имеет задача?

6.  Решение задачи, записанной на доске (дополнительное задание, для тех кто справился с №228 )

 «Один из углов треугольника равен 50о. Исследуйте, при каком условии этот  треугольник окажется равнобедренным? (Чтобы треугольник был равнобедренным, углы при основании должны быть равными и должно  выполняться условие: или все углы острые, или два острых при основании,  а третий или прямой или тупой, так как дан угол 50о . то задача имеет два решения:

  • Углы при основании по 50о , при вершине 80о.
  • Угол при вершине 50о , а при основании по 65о .

7. Рассмотрите таблицу (рисунок 7) (лежит на столе у каждого ученика). Рассмотрите её внимательно, исследуйте все треугольники, которые в ней есть, дайте им двойные названия, поясните эти названия


Рисунок 7

Сделайте вывод о классификации треугольников.( Ученики делают вывод)
Итак, исследовав все треугольники, мы пришли к выводу, что существует три вида треугольников: остроугольные, прямоугольные, тупоугольные.

  4. Задание на дом.  

Изучение П.30, 31.  Учебник  Геометрия 7- 9. Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов и др
Задача № 116-для «слабоуспевающих учеников»;       
Задача  № 117- для «средних» и «сильных». (тетрадь с печатной основой Геометрия. Рабочая тетрадь 7 класс. Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.)

5. Итог урока. 

  • Выставляются оценки.
  • Вопросы к классу:

а) О чём мы говорили на уроке?
б) Узнали ли вы для себя что- нибудь нового и полезного?
в) Что на ваш взгляд мешало Вам в работе?
г)  Что помогло преодолеть эти трудности?

Урок окончен, всем спасибо!

Литература:

1.Геометрия,  7- 9: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев  и др.-13-е изд.-М.: Просвещение, 2012-384 с.

2.П.М.Эрдниев. Математика: Учеб. для 5-6 кл. сред. шк.- Ю.А. .-М.: Просвещение, 1993 - 383 с.

3.Геометрия. Рабочая тетрадь 7 класс.Пособие для учащихся общеобразовательных учреждений/  Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А.  Глазков и др.-9-е изд.-М.: Просвещение, 2012-384 с.