Математика и картография

Содержание работы.

Использование космических снимков для визуализации объектов земной поверхности, вычисление параметров орбиты спутника и построение траектории орбиты в цилиндрической ортографической проекции методами начертательной геометрии.

Методическая цель.

Активизация познавательной деятельности учащихся и применение математических знаний для решения реальных задач.

Дидактические цели:

- сформировать понятия, применяемые в начертательной геометрии и картографии: проекция, азимутальная проекция, цилиндрическая проекция,

- развивать умение использовать ИКТ при решении практических задач;

- формировать интерес к изучению математики на базе межпредметных связей (физика, география, история, информатика).

Используемые материалы: космические снимки, интернет-ресурсы, бланки заданий для учащихся.

Основные понятия.

Проекции в начертательной геометрии, картографические проекции: азимутальная и цилиндрическая; параметры спутниковой орбиты: радиус, наклонение, траектория, период обращения; аэрокосмический мониторинг.

Время выполнения работы – 90 минут.

Формы работы:

- фронтальная лекция-беседа с использованием презентации и ответы учащихся на вопросы учителя,

- практическая индивидуальная работа по расчёту параметров орбиты спутника,

- фронтальный опрос по результатам практической работы и обсуждение возможных направлений индивидуальных творческих работ.

1. Лекция “История картографии”.

С античных времён и до наших дней карты служат людям. В древнем Египте, античной Греции и в Риме уже применялись простейшие способы определения расстояний, расчёта площадей, а, в средние века, особенно в эпоху великих географических открытий, карты стали необходимы мореплавателям, землепроходцам, купцам. [1]

Совершим небольшой экскурс в историю развития науки картографии и познакомимся с историческими личностями, которые её создавали.

• Презентация “Математика и картография” (основные этапы развития науки картографии).

Мы увидели, что роль карты как средства познания претерпевает постоянную эволюцию и в настоящее время в разных сферах деятельности активно используются космические снимки Земли, которые динамично, эффективно и наглядно показывают экологические и экосистемные процессы: разлив рек, лесные пожары, загрязнение акваторий и др. Спутниковые фотографии развивают наши представления об устройстве Земли.

Вопрос: Какую информацию можно извлечь из спутниковой фотографии?

Вопрос: Что было изображено на рисунке в виде волн синусоид? Как можно получить такое изображение?

Это траектория орбиты спутника, изображённая на карте мира в цилиндрической ортографической проекции, а как её построить – в этом нам поможет математика, её раздел, который называется начертательная геометрия.[2]

• Презентация “Вокруг шара” (виды картографических проекций и способы их получения).

Мы познакомились со знаменитыми картографами и разными методами получения карт земной поверхности, а теперь попробуем решить практическую задачу:

как выглядит траектория орбиты искусственного спутника Земли в картографических проекциях, и какие практические выводы можно сделать из полученных изображений. Для этого привлечём свои знания из области физики, алгебры, тригонометрии и начертательной геометрии.

1) Параметры орбиты спутника Земли.

Космические спутники Земли движутся по круговым или эллиптическим орбитам, круговые орбиты определяются двумя параметрами: радиусом орбиты и её наклонением.

Радиус орбиты – это расстояние от спутника до центра Земли, а наклонение – это угол между плоскостью экватора и плоскостью орбиты, то есть угол, под которым спутник пересекает экватор.

Если спутник запущен с наклонением равным 0, и период обращения которого равен 1 суткам (24 часа), то он всегда будет “висеть” на экваторе, над какой-то точкой земной поверхности. И такой спутник называют геостационарным.

2) Рассмотрим движение спутника относительно земной поверхности.

Для этого соединим спутник прямой линией с центром Земли, точка пересечения этой линии с земной поверхностью называется проекцией спутника, а линия, которую прочерчивает эта проекция при движении, называют траектория спутника. Зона видимости земной поверхности симметрична относительно линии траектории и зависит от высоты спутника над Землёй.

Если бы Земля не вращалась вокруг своей оси, то траектория представляла бы собой окружность, плоскость которой проходила бы через центр Земли и одни и те же участки земной поверхности. За счёт вращения Земли с угловой скоростью примерно 15 градусов в час траектория спутника смещается на запад на каждом витке на 15*Т градусов, где Т – период обращения спутника, в часах.[5]

3) Вид траектории на карте.

Вид траектории зависит от применяемой картографической проекции:

- на азимутальной проекции траектории спутников имеют вид эллипсов,

- на цилиндрической проекции имеют вид синусоиды, многократно опоясывающей земной шар со смещением[4].

4) Рассмотрим построение проекции круговой орбиты низколетящего спутника с наклонением орбиты 65 градусов методами начертательной геометрии.

Изобразим две проекции шара: вид спереди и вид сверху – это круги радиусом равным радиусу орбиты спутника. Слева вверху приведено дополнительное построение для равномерного деления окружности на 12 равных частей. На виде спереди проекция орбиты представляет собой отрезок, расположенный под углом 65 градусов к диаметру (экватору), а на виде сверху – это эллипс, имеющий видимую и невидимую части. Точки, обозначенные цифрами 1-12, делят орбиту спутника на 12 равных частей (подробности построения комментируются учителем по рисунку).[3]

Обратим внимание на отсчёт и расположение углов на окружностях и определим широту и долготу каждой из опорных точек (от 1 до 12). Широта – это угол отклонения точки от экватора (на виде спереди), долгота – угол отклонения от нулевого меридиана (на виде сверху). Результаты измерений занести в таблицу 1 (для точек 4 и 5 в таблице показан пример заполнения).

Рис. 2

Таблица 1

Примечание: обратите внимание на симметричность точек.

5) На изображении карты мира рассмотрим градусную сетку для построения траектории спутника в цилиндрической картографической проекции.

Задача 1. Постройте на градусной сетке траекторию движения спутника по данным таблицы 1.

Это прямоугольная система координат, по оси Х нанесены точки от 0 до 180 градусов и далее от 180 до 0 градусов долготы шагом через 20 градусов, по оси Y проведены параллели через точки, соответствующие 20, 40, 60 и 80 градусам широты. Нанесение точек на градусную сетку начинается с точки 4 (начало отсчёта), широта и долгота этой точки равна 0. По оси Х откладывается долгота, а по оси Y – широта точки. По найденным координатам определите положение каждой точки на градусной сетке, соедините точки плавной кривой и определите её вид.

Так выглядела бы проекция орбиты спутника, если бы Земля не вращалась.

Теперь следует учесть вращение Земли, для этого рассмотрим два примера.

Пример 1.

На сколько градусов повернётся Земля за 1 оборот спутника, если период обращения спутника Т =96 минут?

Земля делает полный оборот вокруг своей оси за 24 часа или 1440 минут. Расчёт смещения произведём по формуле:

; где Т =96 минут, а Тз=24 часа=1440 минут, Х=24^0.

Таким образом, за 1 оборот спутника смещение точек, находящихся на одной и той же широте, произойдёт на 24 градуса на запад. Постройте на градусной сетке новую траекторию проекции орбиты спутника и повторите смещение ещё несколько раз (до полного заполнения рисунка).

Пример 2.

Сколько оборотов вокруг Земли делает спутник за 1 сутки, если его период обращения равен Т =96 минут?

Х==15 оборотов. Поскольку число оборотов Х оказалось целым числом, то 16-й оборот пойдёт по траектории первого и картина повторится. Сравним полученное изображение с рисунком, приведенным в презентации “Математика и картография”, должно получиться примерно то же самое.

Эти расчёты приведены для первого искусственного спутника Земли, запущенного в СССР 4 октября 1957 года.[3]

Задача 2.

Повторите расчёты по формулам, приведённым в примерах 1 и 2, для спутников с разными периодами обращения, результаты вычислений занесите в таблицу 2.

Таблица 2

Вопрос: Будут ли повторяться траектории орбит для спутников № 2, 3, 4?

Ответьте на вопросы:

1) Как будет выглядеть траектория орбиты спутника, если наклонение орбиты равно: а) 90 градусов, б) 180 градусов, в) 0 градусов?

2) Наклонение орбиты в 65 градусов – достаточно ли для охвата всей территории Европейской части России? Почему? Каким должно быть наклонение орбиты для полного охвата? (Примерно).

3) Сколько оборотов приходится на Европейскую часть России? (При ответе на вопросы с 3 по 6 - используйте карту, полученную в результате практической работы).

4) На Европейскую часть России приходится одна шестая часть орбиты спутника. В течение какого времени за сутки можно получать спутниковые фотографии? Ответ дайте в минутах.

5) Рассчитайте эффективность работы спутника за один оборот вокруг Земли, используя результат, полученный в предыдущем вопросе.

6) Сколько спутников необходимо для проведения непрерывного мониторинга Европейской части России?

Для проверки можно заглянуть в раздел “Ответы” и оценить результаты своей работы.

Однако всё не так просто:

- а если учесть, что фотоснимки можно делать только в дневное время?

- а если учесть, что половина дней в году облачные?

Но порядок расчётных величин соответствует реальным ситуациям.

В системе спутникового телевидения “Триколор” период обращения геостационарного спутника составляет 2 часа, спутник делает 12 витков в сутки, а время его нахождения в зоне радиовидимости 5-18 минут, и в этом можно убедиться, заглянув на сайты: “Системы спутниковой связи”, “Спутниковое телевидение”, “Орбита спутников GPS”, “ГЛОНАСС – спутниковая навигация”.

Сегодня вокруг Земли вращается 944 космических аппарата, среди них 95 российских спутников, а обломков космического мусора – более 15 тысяч элементов.

Список литературы

1. “Образ пространства: карта и информация”, А.М. Берлянт, М. “Мысль”, 1986 г.
2. Учебник “Начертательная геометрия” Л.Г. Нартова, В.И. Якунин, М. “Дрофа”, 2005 г.
3. “Занимательные проекции”, Л.М. Эйдельс, М. “Просвещение”, 1982г.
4. “История математических терминов, понятий, обозначений” (словарь-справочник), Н.В. Александрова, ЛКИ, Москва, 2008 г.
5. “Основы движения космических аппаратов”, А.Б. Рыбаков, ВККК, Санкт-Петербург, 1999 г.

Также использованы материалы из источников, не указанных в тексте работы:

- учебники “Алгебра”, “Физика”, “Астрономия”;

- Большая Советская Энциклопедия;

- материалы конкурса методических разработок по использованию изображений Земли из космоса в общей школе, “Прозрачный мир”, 2009 г.

http://www.geodezia.ru/maps/2009/03/18/maps_14473.html

https://geo.1sept.ru/2001/42/11.htm

http://pavel-znykin.narod.ru/Kozyrew.WII/Kozyrew.WII.html

https://inf.1sept.ru/articlef.php?ID=200600801

! http://sputniki.racurs.ru/?page=5

Приложение