Цель урока:
- Обобщить и углубить знания школьников по теме: Решение задач с помощью уравнений.
- Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы.
- Развивать творческие способности учеников путем решения старинных задач.
Ход урока
I. Вводная беседа учителя. Из истории уравнений.
Уже около 4000 лет назад вавилоняне и египтяне решали разные задачи землемерия, строительства и военного дела с помощью уравнений. Уравнение первой и второй степеней умели решать в древности также китайские и индийские ученые.
Задачи, решаемые с помощью уравнений, встречаются во многих текстах глубокой древности. В Московском папирусе, представляющем свиток, изготовленный из растений, на котором сделаны записи около 1850 г. до н.э., и в папирусе Ахмеса, например, содержащие задачи, в которых неизвестное имеет особый символ и название: “хау” или ”аха. Оно означает “количество”, ”куча”. Так называемое ”исчисление кучи”, или “вычисление хау”, приблизительно соответствует нашему решению задач с помощью уравнений.
II. Решение старинных задач.
1) Старинная русская задача (XVII век)
Один человек решил узнать, который теперь час. Ему ответили, что две пятых прошедших часов от полуночи до сего времени равны двум третям оставшегося времени до полудня. Смогли бы вы определить, сколько сейчас времени.
Решение:
Промежуток от полуночи до полудня составляет 12 часов. Если обозначить время от полуночи до искомого момента через t, то можно составить уравнение:
часов.
Ответ: 7 часов 30 минут утра.
2) Задача 2. Пифагор Самосский (около 580-501 г. до н.э.)
Поликрит из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру Пифагора, сколько у того учеников. “Охотно скажу тебе, о Поликрит, – Отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча укрепляет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины. ” Сколько учеников было Пифагора.
Решение:
Пусть x число учеников Пифагора. По условию задачи составим уравнение:
Ответ: 28 учеников.
3)Задача 3. Герон Александрийский (I до н.э.)
Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй за 2 дня третий за 3 дня и четвертый за 4 дня. За сколько времени наполняют бассейны четыре источника вместе?
Решение:
Примем объем бассейна за 1. Пусть х – число дней, за которые источники вместе заполняют бассейн.
Следовательно, чтобы заполнить бассейн из четырех источников, требуется 
дня, т.е. чуть меньше половины дня.
4) Задача 4. Евклид (III в. до н.э.)
Мул и осел под вьюком по дороге с мелкими шагами. Жалобно охал осёл, непосильно ношей придавлен. Это подметивший обратился к сопутчику с речью: “Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девочка? Нёс бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру. Если ж ты у меня одну взял, то мы бы сровнялись”.
Сколько нес каждый из них?
Решение:
Если х – груз мула, то (х-1) – груз осла, увеличенный на единицу, а следовательно, первоначальный груз осла был (х-2). С другой стороны, (х+1) в 2 раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1 , т.е. (х-3). Таким образом,
x+1=2(x-3)
x=7
Груз мула равен 7, груз осла равен
х-2=5
Ответ: груз мула равен 7, груз осла равен 5.
5) Задача 5.
В 1881г. была найдена зарытой в земле близ Бахшали (северо-западная Индия) рукопись неизвестного автора, которая, как полагают, относится к VI-VIII вв. В этом памятнике, написанном на березовой коре и известным под названием ”Бахшалийской рукописи”, содержится такая задача:
“Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий – втрое больше второго, четвертый – вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый?”
Решение:
Пусть первый дал х то следующие дали 2х, 6х, 24х, все же вместе дали 132.
х+2х+6х+24х=132
33х=132
х=4
Следовательно, первый дал 4, второй 8, третий 24, четвертый 96.
6) Задача 6.
В своей «Всеобщей арифметике» Ньютон называет буквы, знаки действий, алгебраические выражения и уравнения языком алгебры. Чтобы решить задачу, пишет Ньютон, нужно лишь «перевести её с обыкновенного языка на язык символических выражений» язык алгебры. Перевод этот означает составление уравнения, решение которого ведёт к решению поставленной задачи.
Вот один из примеров, данных Ньютоном: Купец имел некоторую сумму денег. 100 фунтов из неё он затрачивал каждый год на содержание своей семьи, прибавляя к оставшейся сумме одну её треть. Через три года он обнаружил, что его состояние удвоилось. Сколько денег было у него вначале?»
| На обыкновенном языке | На языке алгебры |
| Купец имел некоторую сумму денег | x |
| В первый год он истратил 100 ф., и у него осталось: | x-100 |
| К остатку он добавил третью его часть, и у него стало: |  |
| В следующем году он вновь истратил 100 ф., и у него осталось: |  |
Увеличив остаток на  , он имел: |
 |
| В третьем году он снова израсходовал 100 ф., и у него осталось: |  |
| Увеличивая снова остаток на , он имел: |  |
| Теперь сложившаяся сумма вдвое больше первоначальной: |  |
Таким образом, заключает Ньютон, задача выражается уравнением:
решив которое находим х=1480.
III. Итог урока.
Ребята, с задачами каких стран вы познакомились, какие ученые создали эти старинные задачи.
Какая задача вам понравилась больше всего и почему.
IV. Домашнее задание.
Задача Бхаскара (Индия).
Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждого?
Решение:
170; 40. Вводя вспомогательное неизвестное, Бхаскара принимает, что первый имеет 2х – 10, тогда по условию задачи второй имеет х+100. Второе условие приводит к уравнению.
6(2х-100-10)=х+100+10, откуда х=70.