Исследование корней квадратного уравнения

«Уравнение – это золотой ключ,
открывающий все математические сезамы»
С. Коваль

Цели урока:

• систематизирование и обобщение знаний учащихся по теме;
• развитие математического мышления;
• повышение интереса к предмету.

План урока:

1. Орг. момент
2. Устный опрос: а) работа по опроснику; б) обсуждение
3. Систематизация и обобщение знаний
4. Самостоятельная работа
5. Домашнее задание
6. Итог урока

Ход урока

1. Учитель сообщает цели и задачи урока.

Учитель: Как вы думаете, почему эпиграфом нашего урока я взяла слова С. Коваль?

2. Работа по опроснику (3 минуты) и обсуждение ответов (5 минут).

1. Линейные уравнения: (1, 2, 4) (№3 ?)
2. Биквадратные: (5, 7)
3. Какие уравнения имеют один корень? (1)
4. Какие уравнения  не имеют корней? (2, 3, 7, 9. Почему?)
5. Какие уравнения имеют корни разного знака? (6, 8)
6. Какие уравнения имеют бесконечное множество корней? (4)
7. Какие уравнения могут иметь 4 корня? (5)

3. Учитель: Чем отличаются уравнения записанные на доске от уравнений представленные в опроснике?

x²  – 4х + k = 0, 5nx² – x + 5n = 0, kx²  + 2(k + 1)x + k + 3 = 0

Что такое параметр?

В словаре Ушакова: «ПАРАМЕТР

параметра, м. (от греч. parametreo – меряю, сопоставляя). 1. Величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению, к другой задаче меняющая свое значение (мат.).»

1. При каких значениях a уравнение  3x² – 6х + a = 0 имеет два положительных корня?
2. При каких значениях m уравнение x³– 4x² + mx = 0 имеет два различных корня?
3. Найти наибольшее целое значение k, при котором уравнение x² +x – k = 0 не имеет действительных корней?
4. Найти наименьшее целое значение a, при котором уравнение  x² – 2 (a + 2) x = 1² + a² = 0 имеет два различных действительных корня?
5. При каком значении a уравнение ax² – (a + 1)x +2a – 1 = 0 имеет равные корни?

Решим уравнения № 1 и 2.

№1. 3х² – 6х + а = 0

1) Первое условие: два корня, следовательно, D > 0, т. е. D = 36 – 12а > 0, а < 3.

2) Второе условие: корни должны быть положительные. На вопрос о знаках корней отвечает теорема Виета, поэтому преобразуем данное уравнение в приведенное, для этого разделим обе части уравнения на 3, получим: х²  – 2х + a/3 =0.

х₁ * х₂ = a/3, т.к. х₁ > 0 и х₂ > 0 , то a/3 > 0, а > 0.

3) а > 0 и а < 3, то 0 < а < 3.

Ответ. Уравнение имеет два положительных корня при 0 < а < 3.

№ 2. x³ – 4x² + mx = 0.

1) х (х² – 4х + m) = 0

 х = 0 или х² – 4х + m = 0 – это уравнение должно иметь один корень, это возможно при D = 0, т.е. 16 -4m = 0, m = 4

2) Если m = 0 , то х³ – 4х² = 0, х2 (х -4) = 0 – два корня.

Ответ. Уравнение имеет два корня при m = 0 и m = 4.

4. Уравнения № 3, 4, 5 решаете самостоятельно.

№3. х² + х – k = 0 – уравнение не имеет корней при D < 0, т.е. 1 + 4k<0,

k < - (-1/4), наибольшее целое k = -1.

Ответ. Наибольшее целое k = -1.

№4. х² – 2(а + 2)х + 12 + а² = 0 – уравнение имеет два действительных корня при D >0, т.е. 4(а + 2)2 – 4(а² + 12) > 0/ : 4

а² + 4а + 4 – а² – 12 > 0, 4а > 8, а > 2 – наименьшее целое значение а = 3.

Ответ. Наименьшее целое значение а = 3.

№5. ах² – (а + 1)х + 2а – 1 = 0 – уравнение должно иметь равные корни, следовательно, а ≠ 0, иначе уравнение обращается в линейное.

D = 0, т. е. (а + 1)2 – 4а(2а – 1) = 0 , а² + 2а + 1 – 8а² + 4а = 0,

-7а² + 6а + 1 =0, D = 36 + 28 = 64, а₁ = 1, а₂ = (-1/7).

Дополнительно:

№6. При каких значениях m вершины парабол y = x² – 4mx + m и y = -x² + 8mx + 4 расположены по одну сторону от оси х.

Решение. Найдем координаты вершины первой параболы y = x² – 4mx + m : х₀ =– = 2m, y₀ = 4m² – 4m*2m +m = – 4m² + m.

Найдем координаты вершины второй параболы y = -x² + 8mx + 4:

x₀ = -8m/-2 4m, y₀ = -16m² + 32m² + 4 = 16m² + 4, т.к. 16m² + 4 > 0 при любых m. Вершины парабол расположены по одну сторону от оси х, следовательно, и – 4m² + m > 0, m (-4m + 1) > 0. Решая методом интервалов, получим m ∊ (0; 1/4).

Ответ. При m ∊ (0; 1/4 ) вершины парабол расположены по одну сторону от оси х.

5. Домашнее задание.

6. Итог урока.

• Можно ли применять свойства корней квадратного уравнения для квадратных уравнений с параметрами?
• Как определить имеет ли уравнение с параметром корни или нет?
• Если речь идет о корнях одного знака или разного, что нужно применить для ответа на поставленный вопрос?

Урок хочется завершить словами Госсера:

Посредством уравнений, теорем
Он уйму всяких разрешил проблем:
И засуху предсказывал, и ливни –
Поистине его познанья дивны.