Урок по теме "Уравнения, приводимые к квадратным"

Класс - 9

Тип урока: урок комплексного применения знаний.

Оборудование: мультимедиапроектор с экраном, мультимедиа презентация по теме урока, карточки для проведения проверки домашнего задания в виде лепестков ромашки, тестовые задания на 2 варианта, карточки с дифференцированными заданиями для исследовательской работы в группах.

Цели урока: Выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений, формирование навыков учащихся самостоятельного применения знаний при решении уравнений, и на его основе принять определенные решения по совершенствованию учебного процесса. Привить аккуратность в работе, выработать умение слушать и комментировать ответы, навыки самостоятельной работы на уроке, умений преодолевать трудности при решении поставленных задач. Развитие, воспитание настойчивости в учёбе.

Методическая цель: стимулирование научно-познавательной деятельности.

Формы организации: групповая, индивидуальная.

Методы обучения: словесный, наглядный, частично-поисковый, иллюстративно-объяснительный, репродуктивный (по образцу).

Структура урока:

1. Сообщение темы, цели, задач урока, мотивация учения- 5 мин

2. Осмысление содержания и последовательности применения практических действий при выполнении предстоящих заданий.

а) 3 ученика у доски по карточкам решают основные типы уравнений

б) все остальные - выполняют задания фронтально с помощью презентации.

3. Самостоятельное выполнение учащимися заданий под контролем учителя: групповая исследовательская работа.

4. Обобщение и систематизация результатов выполненных заданий.

5. Выполнение тестовых заданий с последующим взаимоконтролем.

6. Подведение итогов урока- 2 мин

7. Домашнее задание - пункт 11, № 221, 223 (а, б, в)

• Из сборника заданий ГИА-2012 по алгебре часть 2 стр. 201, № 109, №112

Для более подготовленных учеников

• С2. При каких значениях к уравнение x²- 4x + (2-k)(2 + k) = 0 имеет корни разных знаков?

Ход урока

Мотивация учебной деятельности через осознание учащимися практической значимости применяемых знаний и умений, сообщение темы, цели и задач урока.

Сегодня на уроке мне хотелось бы пригласить вас заглянуть в замечательный мир математики - в мир уравнений, в мир поиска, в мир исследований.

Мы закрепим навыки решения уравнений, вспомним основные способы их решения, причём акцент урока направлен на самостоятельное применение знаний.

В ходе работы одним из этапов будет исследовательская работа.

Поэтому девизом нашего урока закрепления и применения знаний могут стать слова великого математика Андрея Николаевича Колмогорова " Попытайтесь заменить запоминания пониманием".

Мы разберём много уравнений. Не пытайтесь их запомнить, а старайтесь найти способы их решения.

Есть ли вопросы по выполнению домашней работы? Оцените выполнение домашней работы в своих индивидуальных картах. Отметьте, какие трудности вы испытали при её выполнении?

Осмысление содержания и последовательности применения практических действий при выполнении предстоящих заданий.

Кто желает поработать по карточкам у доски? /Дифференцированные задания записаны на лепестках ромашки разного цвета /

Карточка 1. / зелёный лепесток /

Решите уравнение: х²-36х=0

х( х²-36)=0

х=0 или х²-36=0

х²=36

х=-6; х=6

Ответ: -6; 0; 6.

Карточка 2. / жёлтый лепесток /

Решите уравнение: (y-5)² -8 (y-5) +7 =0

Пусть y-5=а, тогда

а²-8а+7 =0

D=64-28=36

a1=1, a2=7

y-5=1, y-5=7

y=6, y=12.

Ответ: y₁=6, y₂=12.

Карточка 3. / синий лепесток /

Решите уравнение: х⁴ -10х² = -9

Пусть х² =у, тогда

У² -10у+9 =0

Решим квадратное относительно у уравнение.

D=100-36=64

у₁₌ 1, у₂₌ 9

х² =1, х² =9,

х₁ =-1, х₂ = 1, х₃ = -3, х₄ = 3

Ответ: -3;-1; 1; 3.

Карточка 4. / красный лепесток /

Решите уравнение: 7х² +7х + 7 = (х² +х +1)²

( х² +х +1)² -7 ( х² +х +1) =0

Пусть ( х² +х +1) =в, тогда в² - 7в =0

в (в-7)=0,

в=0 или в-7=0

в=7

х² +х +1= 0, х² +х +1 =7

D= -3 <0 - решений нет D=25, х₁ =-3, х₂ =2

Ответ: х₁ =-3, х₂ =2.

Все остальные работаем вместе со мной.

Давайте пройдёмся по дидактическим островкам изучаемого материала.

Вспомним

- Что такое уравнение? (Равенство, содержащее неизвестное).

- А что значит решить уравнение? (Значит найти все его корни или доказать, что их нет).

- Что является корнем уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство).

- Какие виды уравнений, вы знаете и умеете решать? (Линейные, квадратные, дробно-рациональные).

Задание: Определите вид каждого уравнения и найдите корни, где это возможно выполнить устно

- Какие уравнения называются квадратными?

- Среди данных уравнений выберите те, которые являются квадратными?

1) 9х - 4 = 2х + 10

2) х² - 3х = 0

3) 4х + 12х² = 0

4) х³ - 2х² - 3 = 12

5) х² + 2х - 3 = 0

- Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями?

- Среди данных уравнений выберите те, которые являются неполными квадратными уравнениями?

- Какие из следующих уравнений мы умеем решать, объясните прием решения каждого из этих уравнений:

1) 6у- 4 = 2у + 12

2) 7х² - 21х = 0

3) х + 21х² = 0

4) 5в² - 2в + 6 = 0

5) ( х² + 3х + 2 ) (х² + 3х + 4 ) = 48

6) а⁴ - 5а² - 36 = 0

- Какой способ вы будете использовать при решении данных уравнений?

Запишите уравнение, полученное в результате введения новой переменной

1) (5х2+х-4) (5х2+х-4)=49	2) (2х2+3х+1)2+4(2х2+3х+1) - 5 = 1
3) (3х-5)2 - 4(3х2-5)=12	4) (3х2+5х+2)(3х2+5х-5) -5=16
5) х4 - 16х2 - 121 = 0	6) 3х4 - 2х2 - 1 = 0

3. Большинство людей по роду своей деятельности часто занимаются исследовательской работой. Поэтому следующий шаг нашего урока - выполнение заданий с элементами исследований в группах. Сейчас вы получаете задание, обсуждаете его в своей группе, а один представитель группы защищает ваше решение у доски.

Мы с вами научились решать уравнения до четвёртой степени, а как решать уравнения старших степеней? Вам предстоит найти способы их решения.

1 группа.

Решите уравнение: (m+1)² = 2m² +2m³

Решение. (m+1)_=2m_ +2m_

2m³ +2m²-(m+1)²= 0

2m²(m+1)- (m+1)²= 0

(2m²-m-1)( m+ 1) =0

2m²-m-1=0 или m+1=0

D=9 m₃= - 1

m₁=1, m₂=-0

Ответ: -1; -0,5; 1

2 группа. Решите уравнение: - =1

Обозначив у = х² +2х , получим - =1, у 0, у 2

у² -4 - у² -3у = у² + 2у

у² + 5у+4= 0

D=9

у₁₌ - 4, у₂₌ - 1,

х2 +2х= -4	х2 +2х =-1
х2 +2х+4 = 0,	х2 +2х +1 = 0
D= -12<0 - решений нет	D =0, х = -1

Ответ: х = -1.

3 группа. Решите уравнение: а⁶ +2а⁴ -3 а² =0

Решение. а² (а⁴ + 2а² -3) =0,

а² =0 или а⁴ + 2а² -3 =0

а =0, пусть а² =в, тогда в² + 2в - 3 =0

D=16, в₁= -3, в₂ =1,

а² = - 3 - решений нет

а² =1

а₁ =-1, а₂ = 1.

Ответ: -1; 0; 1.

4 группа. Решите уравнение: х⁵ - х⁴ -2х³ + 2х² - 3х +3 = 0

Решение. х⁴ (х-1) -2х² (х-1)- 3(х-1) =0

(х-1) (х⁴ - 2х² -3) =0

х-1 =0 или х⁴ - 2х² -3 =0

х=1,

пусть х² =у, тогда у² -2у-3 =0

D= 16, у₁=-1, у₂=3

х² =-1 -решений нет

х² =3, х₁ =-, х₂ =

Ответ: х₁ =-, х₂ = .

4. Давайте немного отдохнем. Проведем физкультминутку.

5. Скоро каждому из вас предстоит пройти испытания на прочность полученных знаний, это итоговая аттестация, которая проводится в новой форме через тестирование. Поэтому откройте конвертики на краю стола и испытайте себя - выполните тест по изучаемой теме.

Тестирование

Вариант 1

А1. Какое из уравнений не имеет корней?

1) х² = х

2) х² = -1

3) х² = -х

4) х² =1

А2. Решите биквадратное уравнение х-2х²-8=0.

1) -2 ; -2 ; 4; 0

2) 2; 2

3) 2; -2

4) 2 ; 0

А3.Найдите произведение корней биквадратного уравнения

2 х⁴ - 9 х²+4 =0.

1) 2

2) 3

3) -4

4) 4

А4.Решите уравнение 4у⁴ - у²+ 1=0

1) 1; 2

2) корней нет

3) 3; 4

4) 5

В1. Решите уравнение ( х + 3)² - 2 (х + 3) -3 =0, используя введение новой переменной.

В2. Найдите координаты точки пересечения графика функции

у= 12-23х - 9х² с осью Ох.

С1.Найдите все неотрицательные решения уравнения =

Вариант 2

А1. Какое из уравнений не имеет корней?

1) х =х²

2) х² -1 =0

3) х² =- 2

4) х² = -х

А2. Решите биквадратное уравнение 2х⁴ - 19 х² + 9=0.

1) -; ; -3; 3

2) -; -8

3) ; -8

4) -; 8

А3. Найдите произведение корней биквадратного уравнения 3х⁴-13 х²+4 =0.

1) -1

2) 1

3) 4

4)

А4. Решите уравнение 2у⁴-3у²+5 =0.

1) 2; 3

2) 4

3) корней нет

4) 5; 0

В1. Решите уравнение (2х -1)² - (2х -1) -12 = 0, используя введение новой переменной.

В2. Найдите координаты точки пересечения графика функции у = х² -26х + 25 с осью Ох.

С1.Найдите все неотрицательные решения уравнения =

Ключ к тестированию:

Вопрос	А1	А2	А3	А4	В1	В2	С1
Вариант1	2	3	1	2	-4; 0	(-3; 0); (;0)	3
Вариант2	3	1	2	3	-1; 2,5	(25; 0); (1;0)	6

Давайте произведём взаимопроверку. Обменяйтесь таблицами ответов. Поставьте своему соседу по парте оценку за выполнение тестовых заданий. /Ответы проецируются на экран/. А в своей индивидуальной карточке оцените себя в тестировании.

6. Итак, подведём итоги нашего урока. Мы с вами успели сделать очень много: повторили теоретический материал по теме: "Уравнения, приводимые к квадратным", выполнили исследовательскую работу, тестирование.

Поставьте себе оценку за урок в индивидуальной карточке и оцените своё видение урока.

Индивидуальная карточка самооценки

Фамилия, имя ____________________ Дата_____________

Класс __________ Предмет _____________________

7. Домашнее задание: пункт 11, № 221, 223 (а, б, в) из сборника ГИА-2012 часть 2 стр. 201, Для тех, кто хочет углубить свои знания, кто интересуется математикой, запишите задание

С2. При каких значениях к уравнение x²- 4x + (2-k)(2 + k) = 0 имеет корни разных знаков?

Благодарю вас за урок. Желаю удачи вам, новых поисков и открытий.