Применение интегрального исчисления для вычисления объема геометрических тел

Разделы: Математика

Данная статья посвящена изучению проблемы вычисления объемов геометрических тел с помощью интегрального исчисления. Может быть полезна как опытному учителю, так и начинающему. В приложении вставлена презентация по данной теме. Презентация

Изучив тему “Интегралы и их применение” в курсе алгебры и начала анализа, меня заинтересовали задачи на вычисление объемов геометрических тел. В учебнике “ Алгебра и начала анализа 10-11” Колмагорова А.Н. приводится красивое решение задачи на вычисление объема усеченной пирамиды с помощью интеграла, а в учебнике по геометрии “Геометрия 10-11” Погорелова А.В. представлены выводы формул объемов геометрических тел традиционным способом, некоторые из которых довольны трудоемки и нет единого алгоритма вывода. Выводы формул для вычисления объемов стереометрических фигур, таких как наклонная призма, пирамида, конус, шар, шаровой сегмент возможны по единому алгоритму с помощью интегрального исчисления. Он нетруден, компактен и интересен. Учитель может сэкономить время учебной программы и решить данную задачу за 1-2 урока, появляется возможность использовать высвобожденное время на решение задач для подготовки к ЕГЭ. А мотивированные учащиеся смогут быстро восстановить формулы объемов геометрических тел на экзаменах.

Общие предпосылки для вычисления объемов геометрических тел с помощью интегрального исчисления.

Для тел вращения объем вычисляется по формуле .

Вычислим объемы наклонной призмы, пирамиды, конуса, шара, шарового сегмента.

Допущения:

  • В сечении фигуры получается окружность или многоугольник;
  • Площади сечения и площади основания пропорциональны квадратам расстояний от начала координат;
  • Всякое сечение призмы параллельное основанию призмы равно основанию.

Общие направления:

Рис.1

  1. Выбираем начало координат O и проводим ось OX;
  2. Выбираем пределы интегрирования;
  3. Вычисляем объем тел по интегральной формуле.

Применим данный алгоритм к выбранным объектам.

Вычисление объема наклонной призмы

Рис. 2

1. Дано:

наклонная призма

Q – площадь основания

H – высота

Доказать:

V=QH

Действуем согласно алгоритму:

  1. О – выбираем произвольно и проводим основанию
  2. a=0; b=H; Q – const.

Вычисление объема пирамиды

Рис. 3

Дано:

Пирамида

Q – площадь основания;

H – высота

Доказать:

Действуем согласно алгоритму:

  1. 0 – выбираем в вершине пирамиды, проводим основанию
  2. пределы интегрирования .

. 3.; тогда

Вычисление объема конуса

Рис. 4

Дано:

Конус,

Q – площадь основания

H – высота

Доказать:

По алгоритму:

  1. 0;
  2. a=0, b=H

Тогда,

Вычисление объема шара

Рис. 5

Дано:

Шар

R – радиус шара

Доказать:

По алгоритму:

  1. O – центр шара,
  2. a= - R

Рассмотрим

Тогда

,

Значит,

Объем шарового сегмента

Рис. 6

Дано:

Сегмент

H - высота сегмента

R – радиус шара

Доказать:

По алгоритму:

  1. 0,
  2. ,

.