Цели и задачи урока.
Методический комментарий: Логарифмические уравнения и системы уравнений всегда есть в заданиях ЕГЭ. Поэтому, школьник должен иметь четкое представление о том, что все логарифмические уравнения, какой бы степени сложности они ни были, решаются по единым алгоритмам. Эти алгоритмы даются на данном уроке. Их немного: всего пять. Если их освоить, то решение уравнения с логарифмами становится вполне посильной задачей для многих.
Ход урока
1. Организационный момент.
Начиная урок, учитель излагает школьникам все сказанное выше, формируя, таким образом, мотивацию к внимательному восприятию материала урока. Затем школьники записывают заголовок урока: Способы решения логарифмических уравнений.
2. Способы решения логарифмических уравнений.
Учитель называет способ, школьники записывают его название и решают совместно с учителем соответствующие уравнения. Работа идет фронтально.
1. По определению логарифма.
Пример 1: 
ОДЗ: 
=> 
=>
х
(0,5; +оо)
Используем определение логарифма: логарифм - это показатель степени.
(2+х)2=2х2+3х-2
х2 + 4х + 4 = 2х2 + 3х - 2
х2 - х -6 =0 его корни по теореме Виета: 3 и -2
Число - 2 не входит в ОДЗ, значит, ответ: х = 3.
Пример 2: 
ОДЗ: 
=> 
=> х (1,2) 
(2,7)
Применим определение логарифма несколько раз последовательно, начиная с внешнего логарифма.
(х-1)2=(7-х)
х2-2х+1=7-х
х2-х-6=0
По теореме Виета его корни: 3 и -2. Число - 2 не входит в ОДЗ.
Ответ: х = 3.
2. Применение свойств логарифма.
Свойства логарифма:
log аb + log аc = log аb
c
Ь
loga Ь - log a с = loga 
Пример: lg х - lg (2х - 5) =
lg 8 - 2 lg 
ОДЗ: 
=> 
х
(3;+оо)
Применим свойства логарифма, а также ранее применяемые формулы вынесения показателей степеней из под логарифма (внесения множителей в логарифм).
х(х - 3) = 2(2х - 5)
х2-3х=4х-10
х2 -7х + 10=0 его корни по теореме Виета: 2 и 5.
Число 2 не входит в ОДЗ.
Ответ: 5.
3. Замена переменных.
Пример: 
ОДЗ: х> О
Дадим замену: t = 
х
= (2 х )3=
= 
= (3
х )2 =
(3t)2=9t2
Теперь уравнение примет вид:
8t - 9t2 + t=0
t(8t2 - 9t + 1) = 0
t = 0 ИЛИ 8t2 – 9t + 1 = 0 корни этого
уравнения находим с использованием
дискриминанта. Это числа: 1 и 
Вернемся к замене:
Все три ответа входят в ОДЗ.
4. Логарифмирование обеих частей уравнения.
Пример: 0,01xlgx+3 = 100
ОДЗ: х >0
Умножим обе части уравнения на 100, чтобы убрать коэффициент при х, поскольку это сразу упростит внешний вид уравнения:
хlgx+3 = 10000
прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
lg хlg х+з= lg10000
(lgx + 3) lg x = 4 (т.к. 104 = 10000)
lg2 Х + 3 lg х - 4 = 0
Дадим замену: t = lg х
Получим уравнение: t2 + 3t - 4 =0 его корни по теореме Виета: 1 и -4.
Вернемся к замене:
5. Приведение к одному основанию.
Пример: 
ОДЗ: х>0
3. Решение уравнений школьниками.
После разбора этих способов решения логарифмически уравнений учитель предлагает школьникам задания на их применение.
Задание записано на доске, с тем чтобы школьники решали их, определяя способ решения с опорой на тетрадь. В задании намеренно даны не самые простые уравнения, чтобы показать школьникам широкую применимость данного им “аппарата” для решения логарифмических уравнений.
Задания: во всех случаях требуется решить уравнение.
Разбор заданий:
1) 
ОДЗ: 
x>2
на примере данного уравнения видно, что иногда полезнее отложить выяснение ОДЗ до получения ответов, поскольку решение кубического неравенства отнимет много времени. Имеем равные десятичные логарифмы, следовательно, равны выражения под логарифмами:
х3-5х2+ 19=(х-2)3
х3 - 5х2 + 19 = х3-6х2 + 12x - 8
x2-12x+27=0
его корни по теореме Виета: 3 и 9. Однако при х = 3 в знаменателе исходного уравнения получается lg (х -2) = lg 1 =0.
Таким образом, остается один ответ: х = 9.
2) 
ОДЗ: 
=> 
=>
х>-2
применим прием приведения к одному основанию:
(х + 14)(х + 2) =26 = 64
х2+2x+ 14х+28-64=0
х2+16х - 36 =0 его корни по тереме Виета: 2 и - 18.
Число - 18 не входит в ОДЗ.
Ответ: х=2
3)
ОДЗ: х> О
Приведем все логарифмы к одному основанию:
Вынесем показатели степеней за знак логарифма:
х=26
х=64
ответ: х=64
4)
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
Дадим замену: lg x = t. Получим уравнение: 
Домножим все уравнение на 3: 9t4 – 2t2 -7=0 - биквадратное уравнение
Пусть t2 = а, тогда 9а2 - 2а -7 =0. Его
корни вычислим с использованием дискриминанта: a1.2
=
; а1
= 1; а2 = 
- не подходит, т.к. а = t2;
t2 = 1 => t = ± 1 вернемся к замене:
lg х = 1 => х = 10
lg х = - 1 => х = 
Ответ: х=10 и х=
ОДЗ: 
Заметим, что 
Тогда
lоgо,4(хЗ -7х2+ 13х-2) = 3logo,4(x-2)
lоgо,4(хЗ -7х2+ 13х-2) = lоgо,4(х-2)З
Имеем равные логарифмы: основания равны, значит, и под логарифмами равные выражения:
хЗ -7х2+ 13х-2=(х-2)З
хЗ -7х2+ 13х-2= хЗ -6х2+ 23х-8
После при ведения подобных получаем: х2 - х - 6 = О, его корни по теореме Виета - это числа 3 и - 2. Поскольку х > 2 по одному из неравенств ОДЗ, остается один ответ: х = 3.
Ответ: х = 3.
4. Итого урока. Домашнее задание.
Для домашней работы могут быть предложено 6 заданий. Во всех случаях требуется решить уравнение.
=2
- хЗ-1gх = 100,
Ответы: 1) х=3, 2) х=-2, 3) х=3, 4) х=100 и х=10, 5) х=9, 6) х=1
Спасибо за урок!