Урок повторения, обобщения и систематизации знаний
Цель урока: Обобщить и закрепить знания учащихся по данной теме.
Задачи:
- Развивать формально-логические навыки решения задач по данной теме, предусмотренные стандартом образования, способствовать развитию умения видеть и применять изученные закономерности в нестандартных ситуациях
- Развивать навыки работы с дополнительной литературой, с историческим материалом
Материалы к уроку: плакаты, тесты
Ход урока
1 . Учитель начинает урок с постановки задач перед учащимися. В беседе акцентирует внимание старшеклассников на том, что материал урока дает им возможность развития умения находить закономерности, применять полученные знания и умения при решении нестандартных задач. Учащимся сообщается план проведения урока
Проверка домашнего задания. Выступление учащихся с докладом "Из истории прогрессии"
Ученик 1:
Арифметические прогрессии в древности
В клинописных табличных вавилонян, в египетских пирамидах (II. до н. э.) встречаются примеры арифметических прогрессий. Вот пример задачи из египетского папируса Ахмеса:
"Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна 1\8 меры."
Вот формула, которой пользовались египтяне:
А = S\n - (n - 1)*b\2
(S = ( а + b)\2*n)
Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни : распределение продуктов, деление наследства и др. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Ариабхатта ( в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии. Но правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении " Книги абака" в 1202 г. (Леонардо Пизанский )
Ученик 2: Задача - легенда (начало нашей эры.)
Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сет, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за второе - 2 зерна, за третью - 4 зерна и т.д. Обрадованный царь приказал выдать такую "скромную" награду. Однако оказалось, что царь не в состоянии выполнить желание Сеты, так как нужно было выдать количество зерен, равное сумме геометрической прогрессии 1, 2, 22, 23, ... , 263.
Ее сумма равна 264- 1 = 8446744073709551615, такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей площади Земли.
2. Работа у доски.
Два ученика решают задания во время доклада:
1) Сколько членов последовательности уn = I
n2 - 5n + 6 I, n є N удовлетворяет неравенству 2 
уn 6
2) Решить уравнение ( х + 1 ) + (х + 4) + ... + (х + 28) = 155
После проведения устной работы выполненное задание оценивается.
Дополнительные вопросы:
Какая последовательность называется арифметической ( геометрической ) прогрессией?
Тело в первую секунду движения прошло 5м, а за каждую следующую секунду - на 3м больше, чем за предыдущую . Какое расстояние тело прошло за седьмую секунду, за семь секунд, за n секунд? [ 27; 23; аn = 5 + 3( n - 1) ]
3. Устная работа
Записать формулу общего члена последовательности:
а) 1;-4; 9; -16;... б) 1; 
; 
;
; ...
2) Является ли число - 21 членом последовательности (bn), если n2 - 10n? [да]
3) Могут ли числа быть членами арифметической (геометрической) прогрессии ?
а) 1; 
;
5; 
б) 1;
15; 8; 
в)
2; 6; 4,5.
4) ( bп) : b3 = 8, b5 = 32. Найти b1, b7 [ b1 = 2 b7 = 128]
II. Решение задач репродуктивного характера. Организация взаимоконтроля в парах
Перед решением задач учащимся предлагается оценить имеющиеся у них знания и умения по данной теме (по пятибалльной системе).
| Знания и умения | Я | Одноклассник |
| Знания формул n-го члена, суммы первых членов прогрессии | ||
| Умение преобразований выражений | ||
| Вычислительная культура |
| Известны первый член и разность
арифметической прогрессии: а1 = -0,6; d = - 0,25 . Найти а39 ? |
Найдите сумму первых двенадцати членов
арифметической прогрессии, в которой а1 = 4, d =2. |
Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 80. |
| Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если а1 = 8, а7 = 24 | Решите уравнение 3 + 7 + 11 + ...+ х = 253 |
Тело в первую секунду прошло 15м, а в каждую следующую проходило на 2м больше , чем в предыдущую. Какой путь прошло тело за 26с? |
| В геометрической прогрессии b1 = 1,6 и q =2. Найдите b3. |
Найдите первый член геометрической
прогрессии, в которой b6 = , q =  |
Найдите шестой член геометрической
прогрессии, если а1 =  , а3 = |
| Найдите знаменатель геометрической прогрессии, в которой b5 = 11, b7 = 99. | Найдите номер члена геометрической
прогрессии, если b1 = 2, bn =  , q = . |
В бесконечной геометрической
прогрессии q =  .Найдите S, если b3 = |
.Работа выполняется учащимися самостоятельно. После следует взаимопроверка и взаимооценивание. Проверяющий заполняет третью колонку таблицы, выражая свое мнение о знаниях и умениях одноклассника.
III. "Я и мир логики"
а) Решение задач ( устно ):
1) Вычислить 1 + 2 + 3 + ...+ 99 + 100 
2) Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4
и не превосходящих 200. 
б) решение уравнений:
1) 1 + Х + Х2 +...+ Х109 = 0 [-1]
2) 2Х + 1 + Х2 -Х3 + Х4 -Х5 + ...
= 
, I Х I 
1 [
]
IV. Итог урока. Решение нестандартных задач
Два ученика выполняют задания у доски, а остальные у себя в тетрадях:
а) 1002 - 992 + 982 - 972 + ... + 22 - 12= [- 20100]
б) 
[
]
V. Домашнее задание
1) Проанализировать результаты взаимоконтроля. Составить и решить задачу для ликвидации пробелов в знаниях
2)
1) а1 = 4
d = 3
а3 = ?
2) b2 = 6
q = 2
b4 = ?
3) b1 = 5
q = -3
S 5 =?
4) q = 3
bn = 576
Sn = 847
n =?
b1 =?
5) q = -3
n = 4
Sn = 30
bn =?
b1 =?
6) n = 30
an =15,75
Sn = 146,25
a1 = ?
d =?
Задача для детей проявляющих повышенный интерес к изучению математики
Корни уравнения х4 - 10х2 + а = 0 составляют арифметическую прогрессию. Найти а.