Спецкурс математики "Методы решения алгебраических уравнений и неравенств"

1. АННОТАЦИЯ

Программа курса предназначена для учащихся 9 классов. В программе раскрываются цели и задачи курса, его тематический план и содержание.

Курс рассчитан на 30 часов

2. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Материал спецкурса содержит темы, которые либо совсем не рассматриваются в школьном курсе, либо рассматриваются в очень сжатом виде, но упражнения по которым очень широко представлены в материалах ГИА, ЕГЭ по математике.

Спецкурс рассчитан на 30 часов и предназначен для решения упражнений различной степени сложности и направлен на углубленное изучение вопросов, расширяющих кругозор, раскрывающих прикладные аспекты математики. Приводятся методы решения уравнений и неравенств, которые для школьников считаются задачами повышенной сложности, требующих нестандартных методов решений.

Цель спецкурса - целенаправленная подготовка учащихся к экзаменам.

Задачи спецкурса:

- познакомить учащихся с различными, основанными на материале программы общеобразовательной средней школы, методами решения трудных задач

- проиллюстрировать широкие возможности использования хорошо усвоенных школьных знаний

- привить навыки употреблять нестандартные методы рассуждений при решении задач.

Практическая реализация знаний, полученных после прохождения данного курса возможна в области высшей математики, данные темы найдут своё применение при получении знаний в высших учебных заведениях.

Спецкурс состоит из двух разделов:

1. Методы решения алгебраических уравнений

2. Методы решения алгебраических неравенств

Учебный процесс предусматривает теоретическую часть в виде лекционного материала, практическую часть в виде заданий прикладного характера, самостоятельные работы, направленные на проверку усвоения полученных знаний. Основная методическая установка спецкурса - организация самостоятельной деятельности учащихся при направляющей и ведущей роли учителя.

Во время проведения курса используется объяснительно- иллюстративный, частично-поисковый, исследовательский методы обучения.

При этом могут быть использованы такие формы урока как лекция, практикум, дискуссия и различные формы контроля: самоконтроль, взаимоконтроль, контроль учителя.

На уроках можно использовать фронтальный опрос, который охватывает большую часть учащихся. Эта форма работы развивает точную лаконичную речь, способность работать в скором темпе, быстро собираться мыслями и принимать решения. Можно использовать комментированные упражнения, когда один из учеников объясняет вслух ход выполнения задания . При этом нет механического списывания с доски , а имеет место процесс повторения.

Для выполнения самостоятельных работ предусмотрены дифференцированные задания по темам, карточки с разноуровневыми задачами, а также подготовка докладов по темам.

Дидактический процесс состоит из 3-х взаимосвязанных звеньев:

1. мотивация учащихся

2. учебно-познавательная деятельность учащихся

3. управление этой деятельностью.

Мотивация формируется учителем при помощи математической строгости, занимательности, проблемных задач.

Кроме мотивации необходимо, чтобы учащиеся выполняли те действия, которые ведут к усвоению учебного материала. Без решения задач не может быть усвоения. На разных этапах усвоения задачи выполняют различные функции. На первом этапе они служат для создания учебной мотивации, на втором они вводятся для раскрытия деятельности, подлежащей усвоению, на всех последующих выступают в качестве средства усвоения этой деятельности. Главная закономерность процесса усвоения в том, что познавательная деятельность и введённые в неё знания приобретают умственную форму не сразу, а поэтапно. С учётом этой поэтапности повышается возможность достижения цели обучения всеми учащимися.

Упражнения занимают большое место в учебном процессе и выступают способом целенаправленного развития ученика.

Упражнение - это:

• носитель средств целенаправленного формирования знаний, умений, навыков;
• способ организации и управления учебно-познавательной деятельностью ученика;
• одна из форм реализации методов обучения;
• средство связи теории и практики.

Изучение спецкурса начинается с сообщения учащимся плана работы: количества уроков на тему, краткое содержание, какие виды уроков будут применяться при изучении темы, на каких уроках будут проводиться проверочные работы, указываются сроки зачётов. Это делается для того, чтобы подготовить учащихся к работе, сделать их активными участниками процесса обучения, приучает их к планированию своей деятельности, умению видеть конечную цель работы.

Учащимся даётся долгосрочное домашнее задание, нацеленное на подготовку к зачёту. Кроме долгосрочного домашнего задания есть и текущее, которое проверяется непосредственно на уроках. Текущие задания не являются обязательными, но ребята выполняют их почти все, так как это обеспечивает более тщательную подготовку к зачёту и, соответственно, получение более высокой оценки.

3. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

4. СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

1. Алгебраические уравнения

1.1. Разложение многочлена на множители.

1.2. Алгебраическое уравнение, его корни. Равносильность уравнений. Понятие следствия уравнения. Область определения уравнения.

1.3. Методы решений целых алгебраических уравнений высших степеней

1.4. Методы решений дробно-рациональных уравнений.

1.5. Уравнения, содержащие знак абсолютной величины.

1.6. Иррациональные уравнения.

2. Алгебраические неравенства.

2.1. Доказательство неравенств.

2.2. Неравенства с одной переменной. Равносильность неравенств. Область допустимых значений неравенств.

2.3. Линейные неравенства с одной переменной. Дробно-линейные неравенства.

2.4. Графический метод решения неравенств с одной переменной

2.5. Метод интервалов.

2.6. Неравенства, содержащие неизвестную под знаком абсолютной величины.

2.7. Иррациональные неравенства.

5. МЕТОДИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

1.1. Разложение многочлена на множители (3 ч)

Основная цель:

- познакомить учащихся с методами разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата, группировка, метод неопределённых коэффициентов, подбор корня многочлена по его старшему коэффициенту и свободному члену, метод введения параметра, метод введения новой неизвестной.

В результате изучения данной темы ученик должен:

- знать методы разложения многочленов на множители

- уметь применять полученные знания на практике

1.2. Алгебраические уравнения, его корни. Равносильность уравнений. Понятие следствия уравнения. Область определения уравнения (1 ч)

Основная цель:

- познакомить учащихся с понятием алгебраического уравнения, его корней, с понятием следствия уравнения и области определения уравнения

В результате изучения данной темы ученик должен:

- знать определение алгебраического уравнения и его корней, определение равносильности уравнений, понятие следствия уравнения и области определения уравнения.

- уметь применять эти определения при решении уравнений

- использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности.

1.3. Методы решения целых алгебраических уравнений высших степеней (3 ч)

Основная цель:

- познакомить учащихся с методами решения целых алгебраических уравнений: разложением на множители, вынесением общего множителя за скобки, применением формул сокращённого умножения, выделением полного квадрата, группировкой, методом неопределённых коэффициентов, подбором корня уравнения по его старшему коэффициенту и свободному члену, методом введения параметра, методом введения новой неизвестной, методом неопределённых коэффициентов.

В результате изучения данной темы ученик должен:

- знать методы решений целых алгебраических уравнений

- уметь применять приобретённые знания и умения на практике

1.4. Методы решения дробно-рациональных уравнений (2 ч)

Основная цель:

- ознакомить учащихся с понятием дробно-рационального уравнения и методами решения: разложением знаменателей на множители с последующим приведением к общему знаменателю, подстановкой. В результате изучения данной темы ученик должен:

- знать определение дробно- рационального уравнения, области определения дробно-рационального уравнения и методы их решения.

- уметь применять приобретённые знания и умения на практике

1.5. Уравнения, содержащие знак абсолютной величины (2 ч)

Основная цель:

- познакомить учащихся с методами решений уравнений, содержащих знак абсолютной величины: метод, при котором знак абсолютной величины раскрывается на основании её определения, решение уравнений вида , , , метод замены неизвестного.

В результате изучения данной темы ученик должен:

- знать определение модуля, его свойства, методы решений уравнений, содержащих знак абсолютной величины

- уметь применять приобретённые знания и умения на практике.

1.6. Иррациональные уравнения (2 ч)

Основная цель:

- познакомить учащихся с определением иррационального уравнения, областью определения уравнения, понятием постороннего корня, методами решений иррациональных уравнений: сведением иррационального уравнения к рациональному возведением в степень, введение нового неизвестного, особые случаи решения иррациональных уравнений.

- знать определение иррационального уравнения, области определения уравнения, понятие постороннего корня, методы решений иррациональных уравнений

- уметь применять приобретённые знания и умения на практике.

2.1. Доказательство неравенств (2 ч)

Основная цель:

- познакомить учащихся со свойствами числовых неравенств, с неравенством Коши, различными методами доказательства неравенств: использованием свойств числовых неравенств, доказательством методом от противного.

В результате изучения данной темы ученик должен:

- знать основные свойства числовых неравенств, неравенство Коши, метод оценки разности при доказательстве неравенств, метод доказательства от противного

- уметь применять все изученные свойства и методы при доказательстве неравенств.

2.2. Решение неравенств с одной переменной. Равносильность неравенств. Область допустимых значений неравенств (2 ч)

Основная цель:

- вспомнить определение неравенства с одной переменной, что называется решением неравенства с одной переменной, что значит значит решить неравенство, познакомить учащихся с понятием равносильности неравенств и с основными свойствами равносильности неравенств.

В результате изучения данной темы ученик должен:

- знать определение неравенства с одной переменной, что называется решением неравенства с одной переменной и что значит решить неравенство, какие неравенства называются равносильными и свойства равносильности неравенств, ввести понятие области допустимых значений неравенства.

- уметь применять изученные определения и свойства при решении неравенств.

2.3.Линейные неравенства с одной переменной. Дробно-линейные неравенства (2 ч)

Основная цель:

- ввести понятие линейного неравенства с одной переменной, дробно- линейного неравенства, области допустимых значений неравенства

- знать определение линейного неравенства и дробно-линейного неравенства, область допустимых значений дробно-линейного неравенства

В результате изучения данной темы ученик должен:

- знать определение линейного и дробно-линейного неравенства с одной переменной, ввести понятие области допустимых значений неравенства, методы решения дробно-линейных неравенств.

- уметь применять изученные определения и свойства при решении неравенств

2.4. Графический метод решения неравенств (2 ч)

Основная цель: рассмотреть графический метод решения неравенств с одной переменной.

В результате изучения данной темы ученик должен:

- знать свойства функций, графический метод решения неравенств

- уметь строить графики и использовать свойства функций при построении графиков, решать неравенства графическим методом

2.5. Метод интервалов (2 ч)

Основная цель:

- ознакомить учащихся с методом интервалов, рассмотреть различные случаи применения этого метода при решении неравенств.

В результате изучения данной темы ученик должен:

- знать метод интервалов и его применение при решении неравенств высших степеней

- уметь применять приобретённые знания и умения на практике

2.6. Неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (2 ч)

Основная цель:

- ознакомить учащихся с методами решения неравенств, содержащих переменную под знаком абсолютной величины

В результате изучения данной темы ученик должен:

- знать определение модуля, методы решения неравенств, содержащих переменную под знаком абсолютной величины.

- уметь применять приобретённые знания и умения на практике

2.7. Иррациональные неравенства (3 ч)

Основная цель:

- ознакомить учащихся с методами решения иррациональных неравенств

В результате изучения данной темы ученик должен:

- знать определение иррационального неравенства и методы решения иррациональных неравенств

В результате изучения данной темы ученик должен уметь применять приобретённые знания и умения на практике.

Приложение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., СидоровЮ.В. и др. Алгебра. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. Москва. Просвещение. 2004г.

2. Виленкин Н.Я., Шварцбурд С.И. и др. Алгебра. Учебное пособие для 10 кл. средних школ с математической специализацией. Москва. Просвещение. 1972г.

3. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы. Книга для учащихся. Москва. Просвещение. 1988г.

4. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. Москва. Наука. 1970г.

5. Егерев В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А. и др. Сборник задач для поступающих во ВТУЗы. В 2-х кн./ Под редакцией М.И.Сканави. Москва. Высшая школа. 1994г.

6. Математика №14-16/1998г., №11, 19/1999г. Итоговое повторение в классах с углубленным изучением математики.

7. Максютин А.А. Математика-10. Учебное пособие для 10-х математических классов, лицеев, гимназий. Самара. 2006г.

8. Мордкович А.Г., Литвиненко В.Н., Кочева А.А. Практикум по решению задач школьной математики. Москва. Просвещение. 1985г.

9. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие по математике для 10 класса средней школы. Москва. Просвещение. 1991г.

10.УМК "Математика.ЕГЭ-2011", " Математика. Математические тесты", 10-11 классы части 1 и 2,под редакцией Ф.Ф. Лысенко, " Легион-М, Ростов-на-Дону,2011

11.Семенов П.В "Выражения и преобразования", издательство МЦНМО,Москва,2012. Семенов П.В " Уравнения и неравенства", издательство МЦНМО,Москва,2008

12.Семёнов П.В. 14.С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко "Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения", ДРОФА 2003г.

13.С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко "Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения", ДРОФА 2003г.

14.А.Л, Ершова, В.В. Голобородъко " Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа в 10-11 классах", ИЛЕКСА Москва 2010г.

15. Литвиненко, А.Г. Мордкович " Практикум по решению задач школьной математики", Москва, Просвещение ,2000г.

16. Шахмейстер А.Х. "Системы уравнений".

17. Шахмейстер А.Х. "Дробно-рациональные неравенства"

18. Шахмейстер А.Х. "Уравнения"

19. Шахмейстер А.Х "Иррациональные уравнения и неравенства"