Готовимся к ЕГЭ по математике. "Задача С. Искусство перевоплощения

Готовясь к ЕГЭ, надо помнить, что задача С6 требует неординарного подхода. Необходимо научиться различным подходам к задаче. Как поэт подбирает слова и образы, чтобы лучше выразить свои мысли и чувства, так и математик подбирает математические модели, которые наиболее удобно и верно отражают сущность поставленной задачи.

Чтобы не быть голословными, разберём два примера, обращая внимание, в первую очередь, на основные принципы, руководствуясь которыми, мы проводим рассуждения.

Пример 1. (Задача 6.4. книга [1])

Найдите все пары натуральных чисел и , удовлетворяющих равенству (в левой части равенства стоит число, получаемое приписыванием десятичной записи числа перед десятичной записью числа ).

1. Применим принцип “особого случая”. Разберём отдельно крайние значения чисел. Если , то , противоречие. Если , то , противоречие.
2. Второй шаг. Применим принцип “введения нового параметра”. Для более полной характеристики числа и удобства записи условия обозначим за число знаков в числе . Тогда уравнение примет вид: (1).
3. Третий шаг. Снова применим принцип “особого случая”. То есть разберём значение . Уравнение (1) примет вид: (2). Заметим, что тогда .
4. Четвёртый шаг. Принцип “введения новой функции”. Будем рассматривать функцию при . Причем считаем теперь переменную действительным числом. Тогда уравнение (2) перепишется в виде (3).
5. Пятый шаг. Применим принцип “функционального подхода”. А точнее принцип “монотонности”. Исследуем функцию с помощью производной и найдем промежутки монотонности. Для этого вычислим значение функции в крайней точке: . И производную: .
6. Шестой шаг. Опять придётся применять принцип “особого случая”. Рассмотрим отдельно . Уравнение (2) примет вид:
7. Седьмой шаг. Вернёмся к принципу “функционального подхода”. К принципу “монотонности” добавим принцип “ограниченности”. Для получим , . Следовательно, функция является возрастающей при всех , поэтому и уравнение (3) не имеет решений.
8. Восьмой шаг. По принципу “полного перебора” рассмотрим остальные значения . Тогда . В этом случае . . Снова применим принципы “введения новой переменной” и “введения новой функции”. Обозначим для удобства записи . Введём функцию при . Тогда .
9. Девятый шаг. Повторим принцип “функционального подхода” к функции . Вычислим значение функции в точке: и производную: . Следовательно, функция возрастает и . Тогда получаем неравенство .
10. Десятый шаг. Продолжим применять принцип “ограниченности” к функции . Вычислим её производную: . Значит, функция возрастает и

. Поэтому уравнение (3) не имеет решений.

Ответ: .

Другие решения этой задачи можно найти в книгах [1] (с.34) и [2] (с.59).

Пример 1. (Диагностическая работа МИОО, 2010, 10 класс, задача С6)

Натуральные числа образуют возрастающую арифметическую прогрессию, причем все они больше 500 и являются квадратами натуральных чисел. Найдите наименьшее возможное, при указанных условиях, значение .

1. Используем принцип “введение правильных обозначений”. Начнем переводить условие задачи на язык формул. Во-первых, . Во-вторых, . В-третьих, .
2. Тогда получим соотношения: (1); (2). Плохо, что между переменными нет никакой видимой связи. Попробуем это исправить с помощью лесенки (то есть обозначать неизвестными на сколько одна переменная отличается от другой). Пусть .
3. Преобразуем соотношение (2), используя формулы сокращенного умножения: . Очевидно, что , поэтому выразим то, что проще всего (то, что входит в соотношение линейно):. (3)
4. Снова попробуем улучшить ситуацию с помощью замены. Упростим знаменатель, обозначив . Тогда . Теперь снова пересчитаем формулу (3): . (4) Из формулы (4) легко следует, что .
5. Займемся теперь рассуждениями на тему “делимость”. Из (4) следует, что . Подставим в формулу (4): . (5)
6. Повторим процесс (к счастью, он не бесконечен). Из (5) следует, что . Подставим в формулу (5): . (6)
7. Подставим полученную формулу (6) в соотношение (1): . (7) Заметим, что нам надо минимизировать значение . (8)  
8. Вот теперь можно заняться перебором всех случаев. Будем менять параметр .
9. Первый случай: . Тогда . Из (8) получаем . Наименьшее значение принимает при наименьшем , то есть .
10. Второй случай: . Тогда . Из (8) получаем . Наименьшее значение принимает при наименьшем , то есть .
11. Третий случай: . Тогда . Следовательно, . С учетом ограничения , получаем . Поэтому самое наименьшее значение

Ответ: .

Примечание. Мы использовали 11 обозначений переменных. Действует правило: чем больше имён, тем меньше вычислений.

1. Пратусевич М.Я. и др. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С6. Арифметика и алгебра. Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2011.
2. Шевкин А.В., Пукас Ю.О.ЕГЭ. Математика. Задание С6. – М: Издательство “Экзамен”, 2011.