Программа элективного курса. Тема: "Неравенства, которые помогают решать уравнения"

Разделы: Математика

Структура программы

Программа является обучающей и содержит:

Пояснительная записка

Программа  данного элективного курса разработана в соответствии с идеей формирования у обучающихся умений и навыков решения  специального класса задач, которые не удается выполнить обычными, стандартными методами. Однако знания, необходимые для их решения, за редким исключением, не выходят за рамки школьной программы.    

Элективный курс ориентирован на учащихся 10–11-х классов. Своим содержанием он может привлечь  внимание как тех из них, кто проявляет интерес к математике, желающих познакомиться с  дополнительными  сведениями, приёмами и подходами  для выполнения заданий, так  и тех из них  кому необходима некоторая коррекция ранее полученных ЗУН.  Материал программы вполне может быть использованы по усмотрению учителя  как на уроках математики в 10-11 классах, так и на занятиях кружков.

Стоит отметить, что приобретенный в ходе работы по данной программе опыт совершенно необходим всем учащимся  для успешной сдачи выпускных экзаменов. Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков решения  задач, но и формированию устойчивого интереса обучающихся к процессу и содержанию  самой учебной  деятельности, а также развитию познавательной и социальной активности, и, как следствие этого, способствовать  развитию личности. Таким образом, курс носит развивающий характер, что повышает учебную мотивацию в целом.

Программа авторская, создана на основе учебно-методической, справочной литературы. Освещает намеченные, но  не совершенно  проработанные в общем курсе школьной математики вопросы.

Данный курс рассчитан как на 17 часов, так и на 34 часа и предполагает компактное и чёткое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельные работы, тесты. В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий. Каждое занятие состоит из двух частей: задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельного (или домашнего) решения. Разнообразный дидактический материал даёт возможность предлагать слушателям курсов  дополнительные задания  разной степени сложности: уровень сложности задач варьируются от базового до высокого. Все задания направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач. Курс является открытым, в него можно добавлять новые фрагменты, развивать тематику или заменять какие-либо разделы другими. Главное, чтобы они были небольшими по объёму, интересными для обучающихся, соответствовали их возможностям. Программа мобильна, т.е. даёт возможность уменьшить или увеличить количество задач по данной теме.

Цели курса:

  •  восполнить некоторые содержательные пробелы основного школьного  курса,  тем самым придать ему необходимую целостность;
  • показать некоторые нестандартные приёмы решения задач на основе свойств функций и свойств неравенств;
  • формировать и отработать навыки исследовательской деятельности учащихся на содержательном теоретическом материале и практических упражнениях;
  • совершенствовать коммуникативные навыки учащихся,  способствующих развитию умения работать в группе, аргументировать и отстаивать  свою точку зрения и    уметь слушать другого.

Задачи курса:

  • научить  слушателей курса решать задачи более высокого, по сравнению с обязательным, уровнем сложности;
  • сформировать   у  учащихся ряд  технических и интеллектуальных     математических умений на уровне свободного их использования;
  • способствовать приобретению определённой  математической культуры;
  • помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы

Ожидаемый результат изучения курса:

Учащийся должен 

знать/понимать:

  • существо понятия алгоритма, примеры алгоритмов;
  • как используются математические формулы, уравнения и неравенства, примеры их применения для решения математических и практических задач;
  • значение математики как науки и значение математики в повседневной жизни, а также как прикладного инструмента в будущей профессиональной деятельности
  • решать задания, по типу приближенных к заданиям  ЕГЭ (части  В и С)

иметь опыт (в терминах компетентностей):

  •   работы в группе, как на аудиторских  занятиях, так и вне класса ,
  •  работы с информацией, в том числе и получаемой посредством Интернет.

Содержание программы

Курсивом выделены темы, не являющиеся обязательными к рассмотрению в ходе реализации  данной программы.

Тема 1. Эквивалентные математические операции

Равносильный переход. Равносильность уравнений  на множестве. Уравнения следствия. Понятие постороннего корня. Утверждения о равносильности уравнений. Утверждения о равносильности неравенств. Утверждения о равносильности систем уравнений. Область допустимых значений математического выражения. Примеры  использования равносильности при решении уравнений, неравенств, систем.

Метод обучения: репродуктивный: беседа, объяснение; выполнение тренировочных заданий.

Форма контроля: Тесты 1-5

Тема 2. Некоторые  методы доказательств и решения неравенств

Метод интервалов. Метод замены функции. Средние значения: (среднее арифметическое – Аn, среднее геометрическое – Gn, среднее квадратичное –Qn,  среднее гармоническое – Hn). Зависимости между средними: при любых положительных числах  Hn <Gn< Аn< Qn. Методы оценки  функций (графический,  аналитический, с помощью аппарата математического анализа). Область значения  сложных функций. Метод границ. Свойство взаимообратных чисел. Неравенства о средних. Неравенства о средних в общем виде. Условия, при которых неравенства обращаются в равенства. Неравенство Коши. Неравенство Коши-Шварца. Неравенства в  задачах международного конкурса «Кенгуру».

Метод обучения: репродуктивный: беседа, объяснение, собеседование, выполнение тренировочных заданий.

Форма контроля: проверка самостоятельно решённых задач, самостоятельная домашняя работа, доклады, математические эссе.

Тема 3. Неравенства, которые помогают решать уравнения

Решения уравнений, неравенств и их систем с использованием:

  • ограниченности  функций для решения уравнений;           
  • ограниченности функций на отдельных частях ОДЗ;     
  • ограниченности сложных   функций для решения  уравнений с одним неизвестным;
  •   условий ограниченности сложной  функции для  решения  систем уравнений и неравенств;
  • условия ограниченности функций для решения уравнений с двумя неизвестными; 
  • условия ограниченности сложных функций для решения неравенств с двумя неизвестными;
  • комбинаций  условий  ограниченности функций и условий определяющие ОДЗ для решения неравенства с двумя неизвестными;
  • введения вспомогательной  переменной при решении уравнений;
  • введения вспомогательной  переменной  и исследования  вопроса  о существовании действительных решений  вспомогательного уравнения  при решении уравнений с двумя переменными;   
  • а) уравнений вида f12(x) + f22(x) + ... + fk2(x) = 0; ׀f1(x)׀ + ׀f2(x)׀ + ... + ׀fk(x)׀ = 0;
  • материал ЕГЭ.

Метод обучения: репродуктивный: беседа, объяснение, собеседование, выполнение тренировочных заданий.

Литература:

Рекомендуемая литература для учащихся:

  1. Башмаков, М.И. Математика в кармане «Кенгуру». Международные олимпиады школьников /М.И. Башмаков. М.: Дрофа, 2011.-297,ISBN 978-5-358-09161-0
  2. Галицкий, М.Л., Гольдщан, А .М., Звавич, Л.И./ М.Л Галицкий Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным  изучением  математики. – М.: Просвещение, 2004.
  3. Говоров, В.М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. – М.: ОНИКС 21 век,   2003.
  4. Карп, А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: Учеб. пособие для 10-11 классов с углубленным изучением математики – М.: Просвещение, 1999.

Рекомендуемая литература для учителя:

  1. Александров, Б.И., Максимов, В.М., Лурье, М.В., Колесниченко, А.В. Пособие по математике для поступающих в Вузы./ Б.И. Александров – Издательство Московского университета, 1972.
  2. Башмаков, М.И. Математика в кармане «Кенгуру». Международные олимпиады школьников /М.И. Башмаков. М.: Дрофа, 2011.– 297, ISBN 978-5-358-09161-02
  3. Вавилов, В.В., Мельников, И.И., Олехник, С.Н., Пасиченко , П.И. Задачник по математике.Алгебра:  Справочное пособие./ М.К.Потапов – М.: Наука. Гл. ред.физ.-мат. лит., 1987-432 с
  4. Вавилов, В.В., Мельников, И.И., Олехник, С.Н. Задачник по математике.
  5. Начала анализа: Справочное пособие./ М.К.Потапов – М.: Наука. Гл. ред.физ.-мат. лит., 1990-608 с.,ISBN 5-02-014201-8.
  6. Вавилов, В.В., Мельников, И.И., Олехник, С.Н. Задачник по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие./ М.К.Потапов – М.: Наука. Гл. ред.физ.-мат. лит., 1987-240с.
  7. Галицкий, М.Л., Гольдщан, А.М., Звавич, Л.И./ М.Л. Галицкий Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным  изучением  математики. — М.: Просвещение, 2004.
  8. Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ (Демонстрационный вариант КИМ 2006г., 2007 г., 2010 г..2011), подготовлен Федеральным государственным научным учреждением «ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»)