Урок-игра "Что? Где? Когда?" по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессии"

Тип урока: урок применения знаний и умений.

Продолжительность: 2 академических часа.

Форма урока: игра «Что? Где? Когда?»

Цели урока:

• демонстрация применения полученных знаний для решения прикладных и практических задач;
• формирование умений выдвигать гипотезы, обосновывать свои предположения, обобщать, делать выводы;
• расширение кругозора учащихся;
• развитие познавательного интереса;
• воспитание эстетических качеств личности.

Оборудование: волчок, 12 конвертов с номерами вопросов, черный ящик, мультимедийный проектор, демонстрационный экран, презентация с вопросами и ответами.

ХОД  1 УРОКА

I.  Организационный этап (5 мин.)

Правила игры. Игра идет до 6 очков. Из присутствующих учеников выбирается команда «знатоков» в количестве 6 человек. Они приглашаются за игровой стол, оборудованный как в соответствующей телепередаче (волчок, поле  с секторами, 12 вопросов). Выбирается капитан команды, именно он и только он после  обсуждения каждого вопроса имеет право дать ответ от лица всей команды. Время для обсуждения определяет заранее и озвучивает учитель, оно может быть разным для разных вопросов, поскольку уровень их сложности также различен. В течение игры команда может взять 2 «чайные паузы», в ходе которых игрокам сообщаются интересные и неизвестные им сведения о прогрессиях.
В случае победы каждый ученик из команды награждается отличной отметкой.  Такое решение является вполне справедливым, поскольку победа свидетельствует не только о широком кругозоре учащихся, но и об умении рассуждать и применять имеющиеся знания в нестандартных ситуациях.
Оставшаяся часть класса также активно принимает участие в игре. На столе у каждого ученика лежит несколько небольших чистых листочков бумаги, на которых они пишут ответы на вопросы, доставшиеся знатокам. Времени на размышления у них равно столько же, сколько у «знатоков». Перед тем как команда знатоков дает свой ответ, учитель собирает подписанные листочки у «зрителей» с ответами. Если ученик не знает ответ на вопрос и даже не имеет никаких предположений, он свой лист не сдает. Листы проверяет учитель после игры. Отметки озвучиваются на следующем уроке. Если ученик дал в течение игры 5 правильных ответов, его также можно поощрить отличной отметкой. При меньшем количестве правильных ответов или иных условиях проведения учитель может оценить работу на свое усмотрение. 

II. Актуализация знаний (5-7 мин.)

Первый вопрос. И сразу суперблиц

Приглашаются 3 знатока, которые должны совместно  ответить на 3 вопроса. И только в этом случае они заработают очко для команды знатоков. Знатоки могут 1 раз обратиться за помощью к своим коллегам. На каждый вопрос дается время подумать и посоветоваться – 20 секунд.  Даже если знатоки не смогли заработать очко, ответы на вопросы необходимо озвучить.

1. На латинском языке слово «прогрессия» звучит как «progressio», что в переводе означает….(движение вперед, увеличение, приращение)
2. Назовите характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий.
3. Как определить, является ли предложенная последовательность чисел одной из прогрессий?

Второй вопрос. И снова блиц, но теперь играет вся команда. Задаются 3 вопроса, на каждый по минуте.  Правильный ответ засчитывается, как только он прозвучал.

1. Дайте определения арифметической и геометрической прогрессий.
2. Назовите формулу общего члена для каждой прогрессии.
3. С помощью каких формул можно найти суммы п первых членов арифметической и геометрической прогрессий? Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии?

III. Применение имеющихся знаний на практике (30 мин.)

Третий вопрос. Против знатоков играет учитель экономики. Внимание вопрос.

В хозяйственных и статистических расчётах, а также во многих отраслях науки части величин принято выражать в %; для их нахождения служит формула простых процентов: если с величины а  нарастает р % за год (или за какой-либо другой промежуток времени), то через t лет она превратится в х
При этом предполагается, что по истечении каждого года доход за этот год изымается, так что за новый год доход исчисляется с первоначальной величины (в этом именно смысле говорят о простых %).
Выясните, какое отношение имеют простые проценты к арифметической прогрессии и выведите формулу простых процентов.

Ответ:  x = a(1 + p • t/100)

Психологическая разгрузка

Четвертый  вопрос.  Внимание, черный ящик.

То, что лежит в черном ящике, каждую секунду имеет дело с арифметической прогрессией. Разность этой прогрессии равна 1.  Иногда эта вещь дает сбой, и разность становится равна 0. Что в черном ящике? (Часы)

Правильный ответ засчитывается только в том случае, если он прозвучал в течение  1-2 минут.

Пятый вопрос. Против знатоков  играет учитель литературы. Внимание вопрос.

В литературе достаточно часто используется следующее сравнение: «Растет со скоростью геометрической прогрессии». Объясните смысл этой фразы. Очко засчитывается только в том случае, если правильный ответ был дан в течение 3 минут.

Ответ: растет очень быстро (геометрическая прогрессия растет очень быстро по сравнению с арифметической).

  Шестой вопрос. Против учеников играет учитель истории. Знаете ли вы легенду о создателе шахмат?
Когда создатель шахмат  показал своё изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он позволил изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у короля за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы (по другой версии — риса), за второе — два, за третье — четыре и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Правитель, не разбиравшийся в математике, быстро согласился, даже несколько обидевшись на столь невысокую оценку изобретения, и приказал казначею подсчитать и выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог подсчитать, сколько нужно зёрен, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно. Правитель, чтобы взять реванш над пытавшимся его обхитрить изобретателем, велел последнему пересчитать каждое зёрнышко, чтобы не было сомнений в том, что он честно с ним расплатился.
А теперь внимание, вопрос: Сколько зерен правитель должен был отдать изобретателю шахмат?
Для  решения задачи учтём, что доска имеет 64 клетки. При удвоении количества зёрен на каждой последующей клетке сумма зёрен на всех 64 клетках определяется выражением

что составляет 18 446 744 073 709 551 615.

Дополнительная информация: если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу 0,065 грамма, тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит 1,200 триллионов тонн, Если массу пшеницы перевести в объем (1 куб.м. пшеницы весит около 760 кг), то получиться приблизительно 1500 куб.км, что эквивалентно амбару с размерами 10х10х15 км.
IV. Подведение итогов урока (1-2 мин.)

Чайная пауза

Существует большое количество интересных арифметических прогрессий. Вот одна из них:

Рассмотрим арифметическую прогрессию из трех членов 1487, 4817, 8147 с шагом 3330. Все числа в ней простые. Но она обладает еще одним интересным свойством - каждое число тройки может быть составлено из цифр другого.

ХОД 2 УРОКА

I. Организационный этап (1-2 мин.)

II. Применение знаний для решения практических задач (30 мин.)

Седьмой  вопрос. Против учеников играет учитель русского языка и литературы. Внимание, вопрос.
В романе «Евгений Онегин» про своего героя А.С. Пушкин сказал:

Высокой страсти не имея
Для звуков жизни не щадить,
Не мог он ямба от хорея,
Как мы ни бились, отличить.

А вы можете? Если да, то через 3 минуты назовите это отличие и связь этих двух стихотворных размеров с геометрической и арифметической прогрессией.

Ответ. Известный стихотворный размер – ямб обладает свойством: ударение ставится на 2,4, 6,8…слоги. В то же время для хорея ударные 1,3,5, 7… слоги. Налицо две яркие арифметические прогрессии.

Восьмой вопрос.  Против знатоков снова играет учитель экономики. Внимание, вопрос.

Если  доход x причисляют к первоначальной величине и, следовательно, доход за новый год исчисляется с наращенной суммы, то говорят о сложных процентах; в этом случае величина, в которую превратится а через t лет, вычисляется по формуле сложных процентов.                                                     
Сложные % применяются во многих областях хозяйственной деятельности и бухгалтерского учёта (в банках, сберегательных кассах и т. д.), а также в различных статистических расчётах (в первую очередь при определении среднегодовых темпов относительного прироста или снижения за длительные периоды времени – пятилетки, десятилетия и т. д.).
Выясните, какое отношение имеют сложные проценты к геометрической прогрессии и выведите формулу сложных процентов

Ответ:  x = a(1 + p/100) t  

Психологическая разгрузка

Чайная пауза. Хотите – верьте, хотите – нет

Английский математик Абрахам де Муавр в престарелом возрасте однажды обнаружил, что продолжительность его сна растёт на 15 минут в день. Составив арифметическую прогрессию, он определил дату, когда она достигла бы 24 часов — 27 ноября 1754 года. В этот день он и умер.

Девятый вопрос. Против знатоков играет учитель биологии. Внимание, вопрос.

Перед вами уникальное природное создание – улитка, но еще уникальнее ее раковина. В ее основе лежит интересная математическая кривая, которая называется логарифмическая спираль. Перед вами ее изображение. Посмотрите внимательно и через несколько минут назовите связь между раковиной улитки и одной из прогрессий.

Ответ.Если измерить длины отрезков по оси ОХ, которые получаются, когда спираль пересекает ось, то они образуют геометрическую прогрессию.

 Историческая справка

Якоб Бернулли хотел, чтобы на его могиле была выгравирована логарифмическая спираль, но вместо этого по ошибке на его надгробие поместили Архимедову спираль. Тем не менее, надпись на латыни, выгравированная согласно завещанию вокруг спирали, «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я вновь воскресаю»), свидетельствует о том, что имеется в виду именно логарифмическая спираль, которая обладает замечательным свойством восстанавливать свою форму после различных преобразований.

Десятый вопрос. Против учеников играет учитель физкультуры. Внимание, вопрос.

Футбольное поле на стадионе окружено трибунами, которые разбиты на сектора. В угловом секторе стадиона в первом ряду 7 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. С какой прогрессией связана эта закономерность? Сколько мест в 26-м ряду?

Решение:

a₁ = 7,d = 2,n = 26,an = ?
a_n = 7 + 2(26 – 1)
a_n = 57

Ответ: 57 мест.

Одиннадцатый вопрос.  Против знатоков играет учитель технологии.
При хранении бревен строевого леса их укладывают как показано на слайде. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Решение. 1, 2, 3, 4,…,12. Это арифметическая прогрессия, а₁ = 1, d = 1, а_n = 12. Надо найти n.

а_n = a₁ + d(n – 1); 12 = 1 + 1(n – 1); n = 12.
S_n = (a₁ + a_n) • n : 2; S_n = (1 + 12) · 12 : 2; S_n = 78.

В одной кладке находится 78 бревен.

Ответ: 78 бревен.

III. Постановка домашнего задания (5 мин.)

Двенадцатый вопрос.  Против знатоков играет учитель математики. Внимание, вопрос.

Напишите первые 9 чисел натурального ряда. Зачеркните любые 3 из них. В оставшихся числах найдите одну из прогрессий. Какую именно вы нашли? Возможны ли другие варианты? Попытайтесь объяснить этот факт.

IV. Подведение итогов урока (5-7 мин.)

Подведение итогов игры. Выделение наиболее активных игроков. Обсуждение наиболее интересных на взгляд учеников вопросов.