Арифметическая и геометрическая прогрессии

Цели:

• повторить определение прогрессий, формулы n-ого члена прогрессий, свойство членов прогрессий, суммы n первых слагаемых прогрессий;
• закрепить знание и понимание данных формул при решении задач.

Тип урока: обобщение и систематизация материала.

Место урока: последний урок перед контрольной работой по теме  «арифметическая и геометрическая прогрессии».

Этапы урока:

1. Организационный этап. Тема урока (слайд №2), цель объявляется без слайда.
2. Повторение теории и решение устных задач (слайд №3-№10).
3. Повторение теории и решение  письменных задач (слайд №11-№13).
4. Подведение итогов урока и дача домашнего задания (слайд №14).

Оценивание.

1. Оценить активность учащихся и правильные ответы при решении устных заданий.
2. Оценить правильные  решения  задач в тетрадях в процессе урока или выборочно взять на проверку.

Особенности итогового урока по теме «арифметическая и геометрическая прогрессии»

В течение  одного урока надо повторить несколько формул (2 – рекурентные,  2 формулы n-ого члена, 2 формулы свойств,  2 формулы сумм) не самых простых и с не  простым и не коротким решением. К уроку обобщения  учащихся надо подготовить, что бы они   владели  знаниями  и имели сформированные  навыки решения задач. Тогда данный урок будет уроком систематизации,  обобщения и повторения перед контрольной работой. Наглядное сравнение соответственных формул обеих прогрессий в парах представлено на слайдах, что способствует визуальному осмыслению.

При дифференцированном подходе к учащимся, провожу дифференцированное деление на три условных группы. Группа 1,  условно «сильные» или группа «А». Учащиеся,  имеющие  высокий уровень мышления, хорошую память, устойчивое внимание, имеющие хорошие и отличные результаты успеваемости, проявляющие интерес к математике.  Группа 2, условно «средние» или группа «Б».  Учащиеся, имеющие  по результатам успеваемости «удовлетворительно» или «хорошо», имеющие  наибольшую перспективу роста результатов успеваемости. Группа 3, условно «слабые» или группа «С».  Учащиеся,  в силу своих психологических особенностей, испытывающие затруднения в получении знаний, имеющие результат успеваемости, как правило, стабильно базовый. При делении  учащихся на три, а не четыре группы (более полная дифференциация), удобнее предъявлять разного уровня требования  к учебным результатам учащихся во время урока и мобильно контролировать. Деление на группы  не фиксированное и может изменяться.

Успешное  решение  задачи   по данной теме предъявляет определенные требования к умственной деятельности: умение анализировать  текст, определять и записывать  математическими символами что известно,  что надо найти или доказать; умение соотнести компоненты формул и величины, которые требуется найти, выбрав нужные формулы.  При решении задач по теме «прогрессии» необходимы хорошие вычислительные навыки и знание всего объема материала. Следовательно, данный урок это ситуация успеха для группы условно  «сильные» или группы «А»  и группы условно «средние» или группы «В».  Учащиеся, условно «слабые» или группа «С»,  должны иметь возможность слушать объяснение решения    задач повышенного уровня и записать в тетради, для самостоятельного решения получить карточки с  задачами  базового уровня. Задания на карточках имеют три уровня сложности: А, В, С.

Этот урок обобщения я бы  назвала скорее урок «труженик»  а не «праздник», так  как на этом уроке создается  погружение в тему и ситуация максимальной активизации умственной деятельности через яркую визуализацию, через непростые  задания на подготовленном уровне знаний, через самопроверку по ответам  и элементы соревнования (решить по количеству возможно больше задач).  Данный урок является хорошей площадкой возможности показать свои знания, умения и навыки  для учащихся, которые любят, знают  математику и могут работать в силу своих психических и физических возможностей.

Слайды

№1. Невидимый. Короткая информация о презентации.

№2.Тема.  Арифметическая и геометрическая прогрессии.

№3. Определения арифметической и геометрической прогрессии.

№4. Устные задания на арифметическую прогрессию.

Назовите первый член и разность  арифметической прогрессии.

1) 8, 13, 18, … .
2) – 7, – 4, – 1, … .

Назовите первые четыре члена арифметической прогрессии.

1) а₁ = 3, d = 7.
2) а₁ = – 5,  d = 3.

№5. Устные задания на  геометрическую  прогрессию.

Назовите первый член и знаменатель геометрической  прогрессии.

1) 6; 3; 1,5; … .
2) – 16, – 8, – 4, … .

Назовите первые четыре члена геометрической прогрессии.

1) b₁ = 2,  q = .
2) b₁ = –3,  q = 2.

№6. Свойства  членов прогрессий и формулы.

№7. Устные задания на свойства.

1) Найти восьмой член и разность арифметической прогрессии, если а₇ = 35, а₉ = 49.
2) Найти шестой член и знаменатель геометрической прогрессии, если b₅ = 4,  b₇ = 16.

№8. Формулы n-ого члена прогрессий.

На следующих двух слайдах представлены задания, которые решать не обязательно или, в крайнем случае, устно (если есть возможность в классе). Разобрать по четыре задания и увидеть визуально, что можно найти любую из четырех величин (выделенных ярким цветом), участвующих в формуле, зная остальные три. Одна величина дана в скобках, в тексте ее, как правило, нет, ее нужно самим увидеть и записать.

№9. Виды задач на формулу n-ого члена  арифметической прогрессии.

Найти а₉, если а₁ = 2, d = 4; (n = 9)
Найти а₁, если а₇ = 18, d = – 2; (n = 7)
Найти d, если а₁ = – 3, а₁₀ = 27; (n = 10)
Найти n, если а_n = 16, а₁ = – 8, а₂ = – 4; (d = 4)

№10. Образцы задач на формулу n-ого члена  геометрической прогрессии.

Найти b₃, если b₁ = 2,  q = 3; (n = 3)
Найти b₁, если  b₄ = 81,  q = 3; (n = 4)
Найти q, если b₁ = ,  b₅ = ; (n = 5)
Найти n, если  b_n = 625,  b₁ = 5, b₂ = 25; (q = 5)

№11. Письменные задания на формулы n-ого члена прогрессий. На этом слайде представлены два задания на арифметическую и геометрическую прогрессии. Учащимся выдается карточка с заданиями на два уровня сложности с правом выбора и с ответами (вариант один, это не самостоятельная работа на отметку). Задания, изображенные на слайде, решаются у доски.

Задания на карточках №1.

Задания А.

1) Найти а₁, если а₇ = 18, d =  – 2.
2) Найти n, если а_n = 16, а₁ = – 8, а₂ = – 4.
3) Найти b₄, если b₁ = 2,  q = – 3.
4) Найти q, если b₁ = ,  b₅ = .

Задания В.

1) an – арифметическая прогрессия, а₂ = 2, а₄ = 6. Найдите а₆.
2) Между числами – 28 и 12 вставьте четыре числа, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию.
3) b_n –  геометрическая прогрессия, b₁ = 72, q = . Найдите b₅.
4) Между числами 24 и  вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами составили геометрическую прогрессию.

№12. Формулы суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий.

№13. Письменные задания на  сумму прогрессий. На этом слайде представлены два задания на арифметическую и геометрическую прогрессии. Учащимся выдается карточка с заданиями на три уровня сложности с правом выбора и с ответами (вариант один, это не самостоятельная работа на отметку). Задания, изображенные на слайде, решаются у доски.

Задания на карточках №2

Задания А.

1) Дана арифметическая прогрессия. Найти S₃₀, если а₁ = 0,2; а₂ = 0,5.
2) Дана арифметическая прогрессия. Найти а₁, если а₄ = 1; S₄ = 2,8.
3) Дана геометрическая прогрессия. Найти S₅, если b₁ = 64;  b₂ = 32.
4) Дана геометрическая прогрессия. Найти b₂, если q = – 0,2; S₄ = 52.

Задания В.

1) Найдите сумму всех натуральных  чисел, не превосходящих 280, не кратных 7.
2) Сумма первых шести членов арифметической прогрессии  с первым членом а1 и разностью d равна 15, что на 10 меньше суммы первых шести членов арифметической прогрессии с тем же первым членом и разностью 2d.  Найдите d.
3) b_n – геометрическая прогрессия, q = 1,5;  b₁ = 4;  S_n = 52,75. Найдите  n.
4) b_n – геометрическая прогрессия,  n = 52. Сумма членов, стоящих на нечетных местах, равна 28, а сумма членов, стоящих на четных местах, равна 7. Найдите q.

Задания С.

1)  На разрезе спиленного дерева насчитали 88 колец, причем если не считать каждое седьмое кольцо, то длина каждого следующего на 0,6мм больше предыдущего. Какова суммарная длина колец (в сантиметрах), составляющих закономерность, если длина второго кольца 2 см?

2) Цепочка из костяшек домино имеет блочную структуру: костяшки следующего блока начинают падать после падения последней предыдущего, причем каждый пятый блок содержит по 500 костяшек, а остальные составляют закономерность, в которой количество элементов увеличивается на 500 в каждом следующем блоке. Сколько тысяч костяшек в цепочке, если имеется 38 блоков, а в первом блоке 1000 элементов.

№14. Итоговый.

№15. Невидимый. Литература.

Данная презентация  дает наглядное представление о соответственных  формулах  двух прогрессий,  помогает увидеть всю последовательность задач от самых простых до сложных.    Яркая визуализация и логика в повторении  способствует пониманию  и осмысливанию  решений.

Раздаточный материал

Карточка №1.  Решите задания

Задания А

1) Найти а₁, если а₇ = 18, d =  – 2. (Ответ: 30)
2) Найти n, если а_n = 16, а₁ = – 8, а₂ = – 4. (Ответ: 6 )
3) Найти b₄, если b₁ = 2,  q = – 3. (Ответ: – 54)
4) Найти q, если b₁ = ,  b₅ = . (Ответ: – )

Задания В.

1) an – арифметическая прогрессия, а₂ = 2, а₄ = 6. Найдите а₆. (Ответ: 10)
2) Между числами – 28 и 12 вставьте четыре числа, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию. (Ответ: – 20,–12, – 4, 4)
3) b_n –  геометрическая прогрессия, b₁ = 72, q = . Найдите b₅. (Ответ: )
4) Между числами 24 и  вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами составили геометрическую прогрессию. (Ответ: 6, ,  и – 6,– ,– )

Карточка №2. Решите задания

Задания А

1) Дана арифметическая прогрессия. Найти S₃₀, если а₁ = 0,2; а₂ = 0,5. (Ответ: 136,5)
2) Дана арифметическая прогрессия. Найти а₁, если а₄ = 1; S₄ = 2,8. (Ответ: 5,2)
3) Дана геометрическая прогрессия. Найти S₅, если b₁ = 64;  b₂ = 32. (Ответ: 124)
4) Дана геометрическая прогрессия. Найти b₂, если q = – 0,2; S₄ = 52. (Ответ: –12,5)

Задания В

1) Найдите сумму всех натуральных  чисел, не превосходящих 280, не кратных 7. (Ответ: 33600)
2) Сумма первых шести членов арифметической прогрессии  с первым членом а1 и разностью d равна 15, что на 10 меньше суммы первых шести членов арифметической прогрессии с тем же первым членом и разностью 2d.  Найдите d.  (Ответ: )
3) b_n – геометрическая прогрессия, q = 1,5;  b₁ = 4;  S_n = 52,75. Найдите  n.  (Ответ: 5)
4) b_n – геометрическая прогрессия,  n = 52. Сумма членов, стоящих на нечетных местах, равна 28, а сумма членов, стоящих на четных местах, равна 7. Найдите q.   (Ответ: 0,25)

Задания С

1)  На разрезе спиленного дерева насчитали 88 колец, причем если не считать каждое седьмое кольцо, то длина каждого следующего на 0,6мм больше предыдущего. Какова суммарная длина колец (в сантиметрах), составляющих закономерность, если длина второго кольца 2 см?  (Ответ: 323)

2) Цепочка из костяшек домино имеет блочную структуру: костяшки следующего блока начинают падать после падения последней предыдущего, причем каждый пятый блок содержит по 500 костяшек, а остальные составляют закономерность, в которой количество элементов увеличивается на 500 в каждом следующем блоке. Сколько тысяч костяшек в цепочке, если имеется 38 блоков, а в первом блоке 1000 элементов. (Ответ: 267)