Урок математики по теме "Объединение событий"

Материал рассчитан на два урока. В конспекте урока не дается разбивка материала на первый и второй уроки в отдельности.

Этап 1. Введение нового материала.

Учащиеся записывают тему урока – «Объединение событий» (1 слайд презентации). Учитель начинает объяснять тему, используя материал учебника «Теория вероятностей и статистика» (Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко, МЦНМО, ОАО «Московские учебники» Москва 2008) и работая с доской. Через проектор выводится второй слайд, включающий в себя определение и формульное обозначение ключевого понятия изучаемого материала (Пусть А и В – два события, относящиеся к одному случайному опыту. События, которых благоприятствуют событию А, и события, которые благоприятствуют событию В, вместе благоприятствуют новому событию. Это новое событие называют объединением событий А и В. АВ).

Этап 2. Закрепление пройденного материала

Упражнение 1 (слайд 3).

Вначале выводится на экран рисунок.
Учитель: Мы видим перед собой диаграмму. Как называются диаграммы такого рода?
Учащиеся: Это диаграммы Эйлера.
Учитель: Сколько элементарных событий благоприятствует событию А?
Учащиеся: 17.
Учитель: А событию В?
Учащиеся: 32.
На экран выводится вопрос: Сколько элементарных событий благоприятствуют событию АВ?
Учитель: По определению объединения событий, которое мы с вами рассмотрели в начале урока, в АВ  входят все элементарные события, благоприятствующие событию А и…
Учащиеся: Все элементарные события, благоприятствующие событию В.
Учитель: Итак, что мы должны сделать с элементарными событиями, благоприятствующими событию А и сделать с элементарными событиями, благоприятствующими событию В?
Учащиеся: Сложить 17 и 32.
Учитель: Правильно. И сколько же элементарных событий, благоприятствующих событию АВ?
Учащиеся: 49.
На экране появляется надпись: 17 + 32 = 49.

Упражнение 2 (слайд 4)

Выполняется аналогично упражнению 2, поэтому разбирается с учащимися быстрее.
Учитель: Сколько элементарных событий благоприятствуют событиям U и V?
Учащиеся: 5 и 8.
На экран выводится вопрос: Сколько элементарных событий благоприятствуют UEV?
Учитель дает учащимся время на самостоятельную запись решения; затем спрашивает, какой ответ получен. После этого на экран выводится правильное решение: 5+8=13.

Упражнение 3 (слайд 5)

На экран выводится рисунок со слайда 5 и условие задачи (А = 6, В = 8)Учитель: По условию задачи, у нас есть 4 элементарных события, благоприятствующих событию А и В одновременно. Как мы видим из диаграммы, событие А разделено на две части. Правая из них, общая с событием В, и включает в себя 4 события. Сколько же событий включает в себя левая часть (элементарные события, относящиеся только к событию А)?
Учащиеся: 6 – 4 = 2.
На экран выводится а) 6 – 4 = 2 и появляется цифра 2 внутри диаграммы.
Учитель: Попробуйте сами решить пункт б).
По истечении времени, отведенного на запись решения, на экран выводится верное решение б) 8 – 4 = 4.
Учитель: Теперь нам нужно найти, сколько элементарных событий благоприятствует АВ. Ваши предположения?
Как правило, ответы учащихся разделяются: 10 (верный) и 14 (неверный). Учитель должен обратить внимание учащихся на то, что в предыдущих задачах события, входящие в состав А и В, действительно просто складывались, но тогда в условии задачи не было ничего сказано о наличии общих событий; указать на рисунки и подчеркнуть разницу диаграмм (пересекаются круги или нет); упомянуть, что диаграммы порою очень помогают в решении подобных задач – ведь по имеющейся диаграмме несложно посчитать, сколько событий в АВ на самом деле.
На экран выводится надпись в) 2 + 4 + 4 = 10.
Далее учитель должен обратить внимание учащихся на возможность другого решения (впрочем, чаще всего в классе находятся учащиеся, сами привлекающие внимание класса и учителя к такой возможности).
Учитель: Второй способ решения состоит в том, чтобы сложить элементарные события, входящие в состав события А, с теми, которые входят в состав события В, и вычесть из полученной суммы число общих событий. 14 – 4 = 10.

Упражнение 4 (слайд 6)

Учитель: В этом упражнении мы кидаем монету. Обозначим выпадение орла буквой О. и выпадение решки буквой Р. Монета кидается дважды, значит, каждое элементарное событие будет закодировано двумя буквами. Итак, событие А…
На экран выводится событие А (первый раз выпал «орел»).
Учитель: Какие это события?
Учащиеся: оо, ор.
На экран выводится надпись «оо, ор» и запись события В.
Учитель: Событие В – второй раз выпал орел. Какие это события?
Учащиеся: оо, ро.
На экран выводится запись «оо, ро». Затем запись АВ (первый или второй раз выпал «орел»).
Учитель: Чтобы найти все элементарные события, входящие в состав события АВ, нужно вначале  перечислить все элементарные события, входящие в состав события А, а потом добавить к ним все элементарные события из В, которых нет в А. Или, говоря по-другому, в АВ нам надо выписать все элементарные события из А и В без повторяющихся элементов. Итак, А – это…
Учащиеся: оо, ор.
Учитель: Какие элементарные события в В отличаются от элементарных событий в А (не повторяют их)?
Учащиеся: ро.
Учитель: Значит, в АВ входят элементарные события…
Учащиеся: оо, ор, ро.
По желанию учителя здесь можно коротко коснуться следующей, еще не пройденной темы «Пересечение». Рассказать, что есть такое понятие, которое включает в себя общие элементарные события для А и для В и спросить учащихся, какие элементарные события входили бы в состав пересечения А и В. Верный ответ: оо.

Упражнение 5 (слайд 7)

На экран выводится запись а) хотя бы один раз выпала решка.
Учитель: Давайте вначале перечислим элементарные события, соответствующие этому условию.
Учащиеся: рр, ор, ро.
Учитель должен обратить внимание учащихся, что рр тоже соответствует условию задачи; пояснить, что «хотя бы раз» означает не «один раз», а «не менее одного раза», то есть «один раз или больше». Многие учащиеся делают ошибки при работе с такими формулировками.
На экран выводится надпись ррорро. Затем запись следующего задания б) оба раза выпала одна и та же сторона монеты.
Учащиеся самостоятельно записывают ответ, после чего учитель выводит на экран верное решение оорр.

Упражнение 6 (слайды 8, 9, 10)

На экран выводится задание а) событие А наступило, В – нет.
Учитель: Начертите в тетради диаграмму Эйлера. Помните, что если в условии задачи не говорится о том, что у А и В нет общих элементарных событий, то мы чертим два круга, которые пересекаются.
Учащиеся чертят пустую диаграмму Эйлера.
Учитель: В условии сказано, что наступило событие А. Какую область на диаграмме нам следует закрасить?
Учащиеся: Круг, изображающий А.
Учитель: Событие В не наступило. Нужно ли нам что-либо закрашивать?
Учащиеся: Нет.
Учитель: У нас должна получиться такая диаграмма…
На экран выводится рисунок, содержащий верный ответ. Затем на экран выводится задание б) событие В наступило, А – нет.
Учащиеся самостоятельно оформляют диаграмму. По истечении отведенного на это времени учитель выводит на экран верную диаграмму. Затем на экран выводится задание в) наступило хотя бы одно из событий А и В.
Учитель: Исходя из этой формулировки, событие А наступить могло?
Учащиеся: Да.
Учитель: А событие В наступить могло?
Учащиеся: Да.
Учитель: Какие области на диаграмме мы закрашиваем?
Учащиеся: И А, и В.
Учащиеся самостоятельно оформляют диаграмму. По истечении отведенного на это времени учитель выводит на экран верную диаграмму.
На экран выводится задание г) не наступило ни одно из событий А и В.
Учитель: Исходя из этой формулировки, событие А наступить могло?
Учащиеся: Нет.
Учитель: А событие В наступить могло?
Учащиеся:  Нет.
Учитель: Какие области на диаграмме мы закрашиваем?
Учащиеся: Не закрашиваем никаких областей.
На экран выводится задание д) наступили оба события
Учитель: Исходя из формулировки задания, нам нужно выделить на диаграмме область, принадлежащую событиям А и В одновременно. Где располагается эта область?
Учащиеся: В центре диаграммы.
Учащиеся самостоятельно оформляют диаграмму. По истечении отведенного на это времени учитель выводит на экран верную диаграмму.

Упражнение 7 (слайды 11, 12)

На экран выводится фраза: А – выпало нечетное число очков.
Учитель: Какие события соответствуют этому условию?
Учащиеся: 2, 4, 6.
На экран выводится надпись 2, 4, 6, затем задание а) В – выпало число очков, кратное 3.
Учитель: Какие события соответствуют этому условию?
Учащиеся: 3, 6.
На экран выводится надпись 3, 6.
Учитель: Что нам надо сделать, чтобы найти АВ? Начале мы выписываем элементарные события…
Учащиеся: Входящие в состав события А.
Учитель: А потом?
Учащиеся: Добавляем те элементарные события из В, которые не повторяют элементарные события из А.
Учитель: Какие же элементарные события входят в АВ?
Учащиеся: 2, 3, 4, 6.
На экране появляется надпись 2, 3, 4, 6.
Учитель: Найдем теперь вероятность Р(АВ). Используем формулу N(АВ)/N. Чему равно N(АВ)?
Учащиеся: 4.
Учитель: Чему равно N и почему?
Учащиеся: 6, потому что у бросаемой кости всего 6 граней и возможно 6 разных событий.
Учитель: Чему же равна вероятность Р(АВ) ?
Учащиеся: 4/6=2/3.
На экран выводится Р(АВ) = N(АВ)/N = 4/6 = 2/3. Затем – задание б) В – выпало нечетное число очков.
Учащиеся самостоятельно оформляют решение. По истечении отведенного на это времени учитель выводит на экран верное решение.
Аналогично проводится работа с заданиями в) В – выпало число очков, кратное 4 и г) В – выпало число очков, кратное 5

Упражнение 8 (слайды 13, 14, 15, 16)

Вначале на экран выводится рисунок.
Учитель: Сколько элементарных событий благоприятствуют событиям А и В?
Учащиеся: 17 и 32.
Учитель: Мы знаем, что всего элементарных событий 60. Давайте найдем количество событий, не благоприятствующих ни А, ни В.
Учащиеся: 60 – 17 – 32 = 11.
На экран выводится надпись 60 – 17 – 32 = 11. Затем – формулировка задания а) сколько элементарных событий благоприятствует событию?
Учитель:  Мы знаем, что (указывает на экран) читается как…
Учащиеся: Не В, отрицание В.
Учитель: Чтобы найти, то есть все элементарные события, не входящие в состав В, мы должны от общего числа элементарных событий отнять…
Учащиеся: Число элементарных событий, входящих в В.
Учитель: И сколько получится?
Учащиеся: 28 событий.
На экран выводится запись = 60 – В = 60 – 32 = 28. Затем – формулировка задания б) сколько элементарных событий благоприятствует событию?
Учащиеся самостоятельно оформляют решение. По истечении отведенного на это времени учитель выводит на экран верное решение. Затем – формулировку задания в) Сколько элементарных событий благоприятствует событию?
Учитель: Это задание следует выполнять в два этапа. Вначале найдем, сколько элементарных событий входит в состав события  АВ?
Учащиеся: 17 + 32 = 49.
Учитель должен обратить внимание учащихся на то, что в данном случае мы имеет право складывать число элементарных событий, входящих в А, и элементарных событий, входящих в В, так как в условии задачи не сказано, что А и В имеют общие элементарные события.
На экран выводится запись АВ = 49.
Учитель: Второй этап – это нахождение отрицания АВ. Что нам нужно для этого сделать?
Учащиеся: Из общего числа элементарных событий отнять число элементарных событий, входящих в состав АВ.
Учитель: Каков же ответ?
Учащиеся: 11.
На экран выводится надпись = 1 – (АВ) = 60 – 49 = 11. Затем – формулировка задания г) Сколько элементарных событий благоприятствует событию ?
Учитель: Какие этапы нам нужно пройти для получения правильного ответа?
Учащиеся: Найти , и потом – их объединение.
Учитель предлагает выполнить это задание самостоятельно, не забыв обратить внимание на пункты а) и б). Учащиеся самостоятельно оформляют решение. По истечении отведенного на это времени учитель выводит на экран верное решение.
Следует обратить внимание, что при сложении числа элементарных событий входящих в состав события А и события В получается 71. Но по условию задачи в опыте всего 60 элементарных событий. Следовательно, ответ – 60.
Можно задать учащимся вопрос, имеют ли общие элементарные события и и каково их число.

Упражнение 9 (слайды 17, 18, 19)

На экран выводится запись: А – на первой кости выпала 1, В – на второй кости выпала 1.
Учитель: Как можно словами сформулировать АВ?
Важно обратить внимание учащихся на то, что формулировка А… или В… верна по сути, но это можно сформулировать более кратко. Предложить подумать, как именно.
Учащиеся самостоятельно оформляют решение. По истечении отведенного на это времени учитель выводит на экран верное решение: на первой или на второй кости выпала 1. Затем – формулировку задания а) события, благоприятствующие АВ. Учащимся предлагается самостоятельно выписать пары.
Учащиеся самостоятельно оформляют решение. По истечении отведенного на это времени учитель выводит на экран верное решение. Затем – формулировку задания б) Есть ли у А и В общие благоприятствующие события? Если да, сколько их?
Учащиеся самостоятельно оформляют решение. По истечении отведенного на это времени учитель выводит на экран верное решение: на первой и второй кости выпала 1 (1,1). Затем – формулировку задания в) хотя бы на одной из костей выпала 1.
Учитель уточняет, что эта формулировка также подходит под словесное описание АВ.
Учитель: Каково число событий АВ?
Учащиеся: 11.
Учитель: А каково число всех возможных событий?
Учащиеся: 36.
На экран выводится: 11 – число событий АВ, 36 – число всех возможных событий. Затем – формулировку задания г) вероятность события АВ.
Учащиеся самостоятельно оформляют решение. По истечении отведенного на это времени учитель выводит на экран верное решение: Р(АВ) = 11/36

Упражнение 10 (слайды 20, 21, 22)

На экран выводится информация, данная по условию задачи: U – на первой кости выпало число очков, кратное 3, V – на второй кости выпало число очков, кратное 3. Затем появляется таблица.
Учитель: Отметьте ячейки, соответствующие первому условию, одним цветом, а соответствующие второму условию – другим.
Как правило, кто-нибудь из учащихся задает вопрос: как быть, если одна и та же ячейка удовлетворяет обоим условиям? Ответ: следует закрасить ее вначале одним, а потом – другим цветом.
Учащиеся самостоятельно оформляют решение. По истечении отведенного на это времени учитель выводит на экран верное решение. Затем – формулировку задания б) есть ли у событий U и V общие благоприятствующие события? Сколько их?
Учитель: Как можно словами сформулировать UV?
Учащиеся самостоятельно оформляют решение. По истечении отведенного на это времени учитель выводит на экран верное решение: UV – на первой или на второй кости выпало число очков, кратное 3.
Учитель: Каково число событий UV?
Учащиеся: 24 – 4 = 20
Учитель: А число всех возможных событий?
Учащиеся: 36.
Учитель выводит на экран UV = 24 – 4 = 20 – число событий UV, 36 – число всех возможных событий.
Учитель: И какова вероятность события UV?
Учащиеся самостоятельно оформляют решение. По истечении отведенного на это времени учитель выводит на экран верное решение: вероятность события UV Р(UV) = 24/36 = 5/9.

Упражнение 11 (слайды 23, 24)

Выполняется аналогично упражнению 10.

Упражнение 12 (слайды 25, 26, 27)

Учитель озвучивает формулировку задания: доказать, АВ > А и АВ > В.
Учитель: Рассмотрим первый вариант.
На экране появляется рисунок.
Учитель: АВ (то есть А вместе с В) больше А?
Учащиеся: Да.
Учитель: Больше В?
Учащиеся: Да.
На экран выводится запись АВ явно больше А или В в отдельности.
Учитель: Рассмотрим второй вариант.
На экране появляется рисунок.
Учитель: Как соотносятся АВ и А?
Учащиеся: АВ > А.
Учитель: АВ и В?
Учащиеся: АВ = В.
Учитель:  Соответствует это тому, что требуется доказать?
Учащиеся: Да.
Учитель: Подумайте, каким может быть третий вариант?
Учащиеся: Наоборот, когда В включено в А.
На экране появляется рисунок.
Учитель: Как соотносятся АВ с А и В?
Учащиеся: АВ > В и АВ = А.
Учитель: Есть ли еще варианты? Подумайте над этим самостоятельно.
Оставшиеся два варианта – это пересекающиеся круги и равные (наложенные друг на друга) круги.
Учащиеся самостоятельно оформляют решение. По истечении отведенного на это времени учитель выводит на экран верное решение с иллюстрациями: 4 вариант – АВ явно больше А или В в отдельности, 5 вариант – АВ = А и АВ = В.

Упражнение 13 (слайды 27, 28, 29)

Учащиеся самостоятельно работают с учебником, заполняя требуемым образом диаграммы Эйлера. После завершения работы с очередным пунктом учитель выводит на экран верное решение, при необходимости поясняя, как оно получено, путем построения промежуточных диаграмм на доске.

Этап 3. Подведение итогов.

Учитель напоминает учащимся, какое понятие было рассмотрено; как выглядит диаграмма Эйлера, касающаяся этого понятия; как выглядит значок объединения и какой союз в русском языке ему соответствует; чем отличается количество элементарных событий в АВ в случае, если А и В имеют общие элементарные события или не имеют таковых. Возможно также пропустить часть слайдов презентации, дав пропущенные пункты в качестве домашнего задания, и рассмотреть их решение на следующем уроке.