В предыдущем очерке [3] рассказывалось о реализуемой в ГОУ школа интернат “Интеллектуал” программе углубленного интенсивного обучения математике способных детей, начиная с первого класса. В этой статье мы продолжим рассказ о ходе этого эксперимента, описывая процесс обучения второклассников за период с сентября 2011 по январь 2012. Параллельно этому, автор повторяет эту же программу с новым набором из 16 первоклассников, отобранных в ходе двуступенчатого процесса из примерно 110 кандидатов. В настоящее время продолжается процедура отбора в первый класс 2012–2013 года. На этот раз она стала трехступенчатой из-за того, что количество кандидатов возросло до 280.
Мы в прошлый раз остановились на положении дел на 26 января 2012.
С тех пор, за оставшееся до начала лета время, мы прошли умножение многозначных чисел (столбиком) и деление многозначных чисел на однозначные (уголком). Мы также научились вычислять площади многоугольников на клетчатой доске.
Мы также ознакомились с понятием числовой последовательности, в частности с арифметической последовательностью и последовательностью Фибоначчи, научились строить последовательности по заданным рекуррентным соотношениям.
Мы также научились возводить натуральные числа в натуральную степень, извлекать корни (в тех случаях, конечно же, когда они в натуральных числах извлекаются!) и находить логарифмы натуральных чисел по натуральному основанию в тех, опять-таки случаях, когда они являются натуральными числами.
На этом наш поход за знаниями в страну “Математика” временно, на период летних каникул, приостановился. Но сам по себе этот трехмесячный перерыв ни в коем случае не стал временем полного отрыва от математики. Ученики получили комплект из 27 задач занимательного характера для проработки и представления в письменном виде решений к 1 сентября.
Вспомнив быстренько, с возобновлением занятий, материал предыдущего года, мы начали новый учебный год с расширения понятия числа.
Итак, первой новой темой стали “Целые числа”.
Автор всегда полагал, что эта тема и логически и педагогически должна предшествовать числам рациональным. Во-первых, отрицательные числа появляются в связи с действием сложения, в связи с решением уравнения а + х = b, а дроби – в связи с действием умножения, в связи с решением уравнения a´x = b. Но ведь сложение у нас предшествует умножению! Кроме того, что более важно, действия с отрицательными числами гораздо проще и естественнее, а в самом определении дробей заложена важная, но труднодоступная (тем более для неподготовленного ребенка) концепция факторизации.
Итак, приступаем к отрицательным числам. Но вначале мы вводим понятия вектора. Вектор – это такая стрелочка, которая торчит из начала координат, и которую можно переносить параллельно, не меняя направления и длины. Складываются две стрелочки приложением начала одной из них к концу другой. Исходя из получающегося параллелограмма, видим, что и сложение стрелочек коммутативно. Умножаются стрелочки на натуральные числа просто: растягиванием стрелочки в соответствующе число раз. Делить мы умеем пока только на два и поделенная пополам стрелочка смотрит в ту же сторону, но становится вдвое короче. Теперь мы смотрим на стрелочки, находящиеся на числовой оси. Все они начинаются в одной точке – нуле. Они отличаются длиной и направлением: одни смотрят направо, а другие налево.
Те, что направо смотрят направо, утыкаются в привычные нам натуральные числа. Надо придумать какие-то метки и для тех, что смотрят влево. Чтобы, с одной стороны, они отражали длину этих стрелок, а с другой отличались бы от стрелок которые сиотрят направо, мы помечаем их теми же числами, но со знаком “минус”. Почему выбор знака “минус” удачен? Посмотрим, как по нашим правилам мы складываем две стрелки – стрелку (назовем ее буквой а), которая смотрит направо длиной 5 и стрелку, которая смотрит налево длины 2 (обозначим ее буквой b).
По нашим правилам сложения стрелок, результатом будет стрелка, упирающаяся своим концом в цифру “3”. Значит, фактически, мы совершили операцию вычитания 2 из 5. Вот поэтому-то и логично назвать стрелку а цифрой 5, а стрелку b цифрой 2 со знаком –перед ней: -2. Правила сложения чисел-стрелок следуют автоматически из нашего правила сложения стрелок (мы вообще-то, называем их векторами).
Теперь о вычитании. Вычесть число a из числа b, то есть, найти разность b-a, значит решить уравнение a+x=b. Его решение – число х – и будет этой разностью. Попробуем вычесть -5 из 0. С одной стороны, это будет 0-(-5) или просто –(-5), с другой – решение уравнения -5+х=0. Очевидно, что по правилу сложения стрелок-векторов это будет +5 или просто 5.Таким образом, мы видим, что применение двух минусов к положительному числу подряд приводит к первоначальному числу.
Посмотрим, как еще можно убедиться в справедливости правила “минус на минус дает плюс”. Ну, во-первых, мы видим, что операция “минус” отражает стрелку зеркально относительно вертикальной оси. При этом неважно, в какую сторону эта стрелка смотрела – влево или вправо. Резонно, что два подряд отражения оставляют стрелку на месте. И, если она смотрела вправо, то есть, была положительным числом, то так им и останется.
Есть и другой довод. Что такое 3´ (-5)? Это краткая запись сложения (-5)+(-5)+(-5).
Что это равно -15 мы непосредственно убеждаемся. Так же видим, что к тому же результату придем, если умножим -3 на 5.
Итак, в таблице умножения минусов и плюсов у нас оказались уже заполнены три места из четырех, и осталось лишь решить, чему же равен минус на минус:
| ´ | + | – |
| + | + | – |
| – | – | ? |
По справедливости, надо, конечно, поставить “плюс”, тогда и плюсов и минусов будет поровну.
Можно рассуждать и по-другому. Давайте построим графики функций y = x, y = 2x. Пусть х у нас принимает значения -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Мы видим, что все точки графиков лежат на прямых. Начнем строить графики функций y = -x, y = -2x с положительных значений х: х=3, 2, 1, 0. Мы видим, что вновь все точки ложатся на прямые, правда, они теперь проходят из второго квадранта и идут в четвертый (а раньше шли из третьего в первый). Для того, чтобы точки графика продолжали оставаться на прямых, необходимо, чтобы (-1)´ (-2)=2; (-2)´ (-2)=4; (-2)´ (-3)=6 и т.д. Т.е., чтобы выполнялось правило “минус на минус дает плюс”. Есть и еще один аргумент, мы его приведем года через четыре, но пока что можно ограничиться приведенными выше. Они достаточно убедительны для второклассников.
Далее, мы поупражнялись с ними в вычислениях, содержащих четыре действия арифметики и возведение в квадрат и куб с целыми числами, после чего перешли к построениям по точкам графиков простейших функций на целочисленной плоскости.
Мы строили графики различных прямых y = ax + b, обращали внимание на то, где они пересекают оси координат, в каких случаях параллельны, когда идут вправо и вверх, а когда вправо и вниз. Строили графики парабол y = ax2 + bx + c и также анализировали, в каких случаях ветви параболы смотрят вверх, в каких случаях – вниз. Строили мы и графики функции абсолютной величины числа, причем, начав с простейших y = |x|, y = |x + a| и y = |x| + b, наращивали уровни вложенности (композиции этих функций) до трех, например, таких, как y = 2x – |x-|2-|x-3|||.
Выполнение этих упражнений подвело нас к вопросу: как, имея график функции f(x), построить графики функций у=f(-x), y=-f(x), y=f(x+a), y=f(x)+b, y=f(|x|), y=|f(x)|.
Поупражнявшись в элементарных преобразованиях графиков функций, мы перешли к выполнению более сложных заданий – построению их композиций.
Типовым примером таких заданий является следующее.
Дана функция f(x):
- Построй график функции g(x)=f(x+1) – 2
- Построй график функции h(x)=-g(-x)
- Построй график функции i(x)=|h(|x|)|
Освоившись с элементарными, “двуступенчатыми” преобразованиями, мы перешли к более сложным, увеличив количество композиций: по данному графику функции f(x) строили, скажем, график функции 3 – f(2 – |x + 1|).
Разобравшись с темой “преобразования графиков”, мы поупражнялись в решении простейших векторных уравнений, которые мы решали исключительно графически.
Типичным примером таких упражнений может служить следующее.
Найди из уравнения 3w – x = 2v неизвестный вектор х.
Поупражнявшись с векторами, перешли к многочленам.
Вывели формулы сокращенного умножения и научились применять их для упрощения вычислений.
Примерами могут служить следующие:
Вычислить по формулам:
- 210 – 27 + 22 =
- 82×78=
- 8×63 – 6×122 + 122 – 8 =
Затем мы, на примере многочленов второй и третьей степени, отработали навык умножения многочленов.
После чего, в четвертом модуле, который продолжается и в момент написания этой статьи, мы вновь, после годичного перерыва, возобновили изучение геометрии.
Вот последовательность утверждений, которые мы успели доказать к моменту выхода этой статьи (т.е., опять-таки, к 26.01.12).
- В четырехугольнике две стороны параллельны, а точка пересечения диагоналей делит одну из них пополам. Докажите, что он – параллелограмм.
- Имеется треугольник АВС, точка Е на стороне АВ, точка F на стороне ВС и
следующие четыре утверверждения:
(i) Точка Е является серединой АВ;
(ii) Точка F является серединой ВC;
(iii) Отрезок ЕF параллелен стороне АС
(iv) Длина отрезка ЕF равна половине длины стороны АС.
Докажите, что из первых двух утверждений следуют оставшиеся два, из первого и третьего утверждений следуют второе и четвертое, из последних двух утверждений следуют первые два.
Понятно, что второе и третье утверждения идентичны первому и третьему и поэтому из них также следуют первое и четвертое, т.е., остальные два.
Следуют ли из первого и четвертого второе и третье, т.е., остальные два?
То есть, выполняется ли в этом случае обратное утверждение? - Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме.
Главным позитивным результатом, достигнутым за прошедшие полтора гола, является сложившееся у школьников отношение к предмету: математикой занимаются с удовольствием, на уроках дети активны, стараются все, в том числе и те, у кого не очень получается. Математика является у них любимым предметом. Это лишний раз показывает, что не нужно оберегать детей от умственных нагрузок, от трудных, подчас кажущихся неразрешимыми задач. Мы склонны недооценивать возможности детей младшего возраста и связано это прежде всего с неразвитостью их речевых навыков.
Учебник для первого класса к моменту выхода в свет этой статьи уже будет на прилавке школы развития “Маяк” (г. Москва, ул. Кременчугская, 3/2, www.mayakschool.ru), учебник для второго класса и УМК для первого класса появятся к концу текущего года.
Литература.
[1] Преподавание математики (авторская программа) в НОУ "Школа Алеф",
“Открытый Урок”, 2007/2008.
[2] Авторская программа преподавания математики в школе-интернате для
одаренных детей "Интеллектуал" “Открытый Урок”, 2009/2010.
[3] Обучение одаренных детей математике. Первый класс. “Открытый Урок”,
2010/2011.