Число есть множество единиц.
Евклид
С незапамятных времён числа используются в повседневной жизни. В более позднее время они стали применяться в торговле, на производстве, в науке и технике. Большие числа появляются, когда считаем мы, и тогда, когда считают нас. В нашу жизнь прочно вошли: номера домов, квартир, телефонов, почтовые индексы. Численные результаты выдают вычислительные машины, которые анализируют состояние производства, исследуют атомные ядра, следят за траекториями спутников и космических кораблей.
Натуральными числами называют числа, употребляемые при счёте предметов. Наименьшим натуральным числом является число 1. Наибольшего числа не существует. Чтобы доказать это, предположим противное: пусть n – наибольшее натуральное число. Прибавив единицу к этому числу, получим натуральное число n+1, которое больше n. Это противоречит предложению о том, что n – наибольшее натуральное число. Значит, наибольшего натурального числа нет. Множество натуральных чисел является бесконечным. Этот факт был известен древним грекам. О нем говорится в книге Евклида “Начала” (III в. до. н. э.).
Бесконечный ряд натуральных чисел записывают так: 1, 2, 3, …; три точки означают, что ряд продолжается неограниченно. Множество натуральных чисел означают буквой N: N={1, 2, 3, …}.
Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют – чётными, цифры 1, 3, 5, 7, 9 – нечётными. Значение цифры в записи числа зависит от занимаемого ею места, или, как говорят, от её позиции.
Чтобы прочитать число, записанное в десятичной системе, его обозначение разбирают на группы справа налево, по три цифры в группе. Первые три цифры справа составляют класс единиц, три следующие – класс тысяч и т. д.
В пределах первой тысячи название имеет единица каждого разряда: единица, десяток, сотня, тысяча. Следующие единицы, имеющие собственное название, идут через каждые три разряда. Каждая очередная именованная единица содержит тысячу предыдущих именованных единиц: 1 000 000 – миллион, 1 000 000 000 – миллиард, или биллион, 1 000 000 000 000 – триллион, 1 000 000 000 000 000 – квадриллион. Далее идут квинтиллион, секстиллион, септиллион, октиллион, нониллион, дециллион, ундециллион и т.д.
Принцип построения этих названий является простым. Слова “би, трес, квадра, квинта” и т.д. по-латыни означают два, три, четыре, пять и т.д. Сопоставляя запись числа с его названием, мы замечаем, что число троек нулей в записи числа на единицу больше, чем латинское число в его названии.
Слово “миллион” имеет сравнительно недавнее происхождение. В итальянском языке millione есть увеличительное от слова mille, которое означает “тысяча”. В русском языке слову “миллион” могло бы соответствовать несуществующее слово “тысячища”. Слово “миллион” придумал венецианский путешественник Марко Поло (1254-1324). Ему не хватало известных в то время чисел, чтобы рассказать о необычайном множестве людей и богатств далёкой Небесной Империи (так в старину называли Китай). В 1271 г. вместе со своим отцом и дядей – венецианскими купцами – он отправился на Восток. Путешествовал по странам Ближнего Востока, Центральной и Южной Азии. С 1275 по 1292 г. находился в Китае. Вернулся на родину в 1295 г. Записи Марко Поло о путешествиях были помещены в так называемой “Книге” (1298), из которой европейцы получили сведения о технических и научных достижениях народов Азии.
Слово “миллиард” – одно из самых молодых названий чисел. Это название вошло в употребление со времени окончания франко-прусской войны (1871), когда французам пришлось платить Германии контрибуцию в 5 000 000 000 франков. Слово “миллиард” также представляет собой увеличительное от итальянского слова mille. Чтобы представить себе огромность миллиарда, подумайте о том, что миллиард минут составляет более 19 столетий: человечество лишь 80 с лишним лет назад начало считать второй миллиард минут от первого дня нашей эры. Знаменитый французский ученый Анри Пуанкаре (1854-1912) сказал: “Человек, каким бы он ни был болтуном, никогда в своей жизни не произнесет более миллиарда слов”
Следует отметить, что названия больших чисел редко используется на практике. Астрономы, физики и другие специалисты, имеющие дело с большими числами, обычно записывают их посредством степеней числа 10. Так число 380 000 000 физик запишет либо как 38 • 107, либо 3,8 • 10 8. Последнее число читается так: “три и восемь десятых на десять в восьмой степени”.
Представляет интерес вопрос о том, с каким самым большим числом приходилось иметь дело на практике. Физики считают, что во всей Вселенной количество элементарных частиц, из которых состоят атомы находящего в ней вещества, не больше, чем 1088. В связи с этим полагают, что нет практической необходимости пользоваться числами, большими, чем 10100. Для этого числа придумано специальное название – гугол.
Выше было указано, что наименьшим натуральным числом является единица. В системе чисел единица играет особую роль. На это обращал внимание Ф. Энгельс. Он отмечал, что единица является основным числом всей системы положительных и отрицательных чисел, благодаря последовательному прибавлению которого к самому себе возникают все другие числа. Единицей выражаются все положительные, отрицательные и дробные степени единицы. Единице равна любая дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковы. Всякое число в нулевой степени равно единице, поэтому единица – единственное число, логарифм которого во всех системах равен нулю.
Вследствие этого единица является границей, делящей на две части все возможные системы логарифмов: если основание больше единицы, то логарифмы всех чисел, больших единицы положительны, а логарифмы всех чисел, меньших единицы, отрицательны; если основание меньше единицы, то имеет место обратное. Энгельс писал далее: “Таким образом, если всякое число содержит в себе единицу, поскольку оно составляется из одних лишь сложенных друг с другом единиц, то единица в свою очередь, содержит в себе все другие числа. Не только в возможности, поскольку мы любое число можем построить из одних только единиц, но и в действительности, поскольку единица является определенной степенью любого другого числа. … единица и множественность являются нераздельными, проникающими друг друга понятиями и что множественность также содержится в единице, как единица в множественности. А в какой мере дело обстоит именно так, это мы видим, лишь только мы покидаем область чистых чисел. Уже при измерении линий, площадей и объемов обнаруживается, что мы можем принять за единицу любую величину соответствующего порядка, и то же самое относится к измерению времени, веса, движения и т. д. Для измерения клеток миллиметры и миллиграммы еще слишком велики, для измерения звездных расстояний или скорости света километр уже неудобен из-за малой величины, как мал килограмм для измерения масс планет, а тем более Солнца. Здесь с очевидностью обнаруживается, какое многообразие и какая множественность содержится в столь простом на первый взгляд понятие единицы”