Статистика (от латинского status, состояние положение вещей)-наука, которая занимается, получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и в обществе. Статистика изучает численность отдельных групп населения, производство и потребление разнообразных видов продукции, природные ресурсы. Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов. Приложение 2.
Среднее арифметическое, размах и мода.
- Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
При изучении учебной нагрузки учащихся выделили группу из 12 семиклассников. Их попросили отметить в определенный день время (в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили такие данные:
23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.
Имея этот ряд данных, можно определить, сколько минут в среднем затратили учащиеся на выполнение домашнего задания по алгебре.
Для этого указанные числа надо сложить и сумму разделить на 12.
=
= 27
Число 27, полученное в результате, называют средним арифметическим рассматриваемого ряда чисел.
Задания:
№ 1. Найдите среднее арифметическое чисел:
А) 24, 22, 27, 20,16, 31
Б) 11, 9, 7, 6, 2, 0,1
В) 30, 5, 23, 5, 28, 30
Г) 144, 146, 114, 138.
№ 2. В таблице приведены данные о продаже в течение недели картофеля, завезенного в овощную палатку:
| День недели | Пн. | Вт. | Ср. | Чт. | Пт. | Сб. | Вос. |
| Количество картофеля, кг | 275 | 286 | 250 | 290 | 296 | 315 | 325 |
Сколько картофеля в среднем продавали ежедневно в эту неделю?
№ 3. В аттестате о среднем образовании у четверых друзей – выпускников школы – оказались следующие оценки:
Ильин: 4, 4, 5, 5, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 4, 4, 5, 4, 4
Романов: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 3, 4, 4
Семенов: 3, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 4
Попов: 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4.
С каким средним балом окончил школу каждый из этих выпускников?
- Размахом ряда чисел
Размах ряда находят тогда, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду.
Задания:
№ 1. Каждый из 24 участников соревнования по стрельбе произвел по десять выстрелов. Отмечая всякий раз, число попаданий в цель получили следующий ряд данных:
6, 5, 5, 6, 8, 3, 7, 6, 8, 5, 4, 9, 7, 7, 9, 8, 6, 6, 5, 6, 4, 3, 6, 5.
Найдите для этого ряда размах.
№ 2. На соревнованиях по фигурному катанию судьи поставили спортсмену следующие оценки:
5,2; 5,4; 5,5; 5,4; 5,1; 5,1; 5,4; 5,5; 5,3.
Для полученного ряда чисел найдите размах и среднее арифметическое. Каков смысл каждого из этих показателей?
№ 3. Найдите размах ряда чисел.
А) 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26;
Б) 21, 18,5, 25,3, 18,5, 17,9;
В) 67,1, 68,2, 67,1, 70,4, 68,2;
Г) 0,6, 0,8, 0,5, 0,9, 1,1.
- Модой ряда чисел
Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь ее совсем.
47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53 – (имеет)
69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72 – (не имеет)
Пример. Пусть, проведя учет деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады, получили такой ряд данных:
36, 35, 35,36, 37, 37, 36, 37, 38, 36, 36, 36, 39, 39, 37, 39, 38, 38 ,38, 39 ,39, 36.
Найдите для него моду ряда чисел. Для этого удобно предварительно составить из полученных данных упорядоченный ряд чисел, т.е. такой ряд, в котором каждое последующее число меньше (или больше) предыдущего.
Получили:
35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 39, 39 ,39.
Ответ. Число 36 является модой этого ряда чисел.
Задания:
№ 1. Найдите моду ряда чисел.
45, 48, 85, 31, 23, 45, 67, 45, 19, 48, 45, 85, 19, 27,45, 62, 45, 23, 67, 45, 89, 19, 87, 45, 56, 45, 43, 23, 12, 45, 78, 28, 19, 45, 65, 45, 81, 83, 45.
№ 2. В таблице записаны результаты ежедневного измерения на метеостанции в полдень температуры воздуха (в градусах Цельсия) в течении первой декады марта:
| Число месяца | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Температура | -2 | -1 | -3 | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 3 |
Найдите моду ряда чисел и сделайте вывод, в какие числа марта температура воздуха была одинаковой. Найдите среднюю температуру воздуха. Составьте таблицу отклонений от средней температуры воздуха в полдень в каждый из дней декады.
№ 3. В таблице показано число деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады:
| № п/п | Фамилия | Число деталей | № п/п | Фамилия | Число деталей |
| 1 2 3 4 5 6 |
Иванов Лазарев Ильин Бережной Егоров Петров |
38 42 36 45 48 45 |
7 8 9 10 11
|
Семенов Лукин Андреев Попов Сурков
|
45 42 40 47 39
|
Для представленного в таблице ряда чисел найдите моду. Каков смысл этого показателя?
Медиана как статистическая характеристика.
- Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов
называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда
чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел,
записанных посередине.
Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.
В таблице показан расход электроэнергии в январе жильцами девяти квартир:
| Номер квартиры | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Расход электроэнергии, кВт/ч | 85 | 64 | 78 | 93 | 72 | 91 | 72 | 75 | 82 |
Составим из данных, приведенных в таблице, упорядоченный ряд:
64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93.
В полученном упорядоченном ряду девять чисел. Нетрудно заметить, что в середине ряда расположено число 78: слева от него записано четыре числа и справа тоже четыре числа. Говорят, что число 78 является серединным числом, или, иначе, медианой, рассматриваемого упорядоченного ряда чисел (от латинского слова mediana, которое означало “среднее”). Это число считают медианой исходного ряда данных.
Пусть при сборе данных о расходе электроэнергии к указанным девяти квартирам добавили еще десятую. Получили такую таблицу:
| Номер квартиры | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Расход электроэнергии, кВт/ч | 85 | 64 | 78 | 93 | 72 | 91 | 72 | 75 | 82 | 88 |
Так же как в первом случае, представим полученные данные в виде упорядоченного ряда чисел:
64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93.
В этом числовом ряду четное число членов и имеются два числа, расположенные в
середине ряда: 78 и 82. Найдем среднее арифметическое этих чисел:
=80. Число
80, не являясь членом ряда, разбивает этот ряд на две одинаковые по численности
группы: слева от него находится пять членов ряда и справа тоже пять членов ряда:
64, 72, 72, 75,
, 85, 88, 91, 93.
Говорят, что в этом случае медианой рассматриваемого упорядоченного ряда, а также исходного ряда данных, записанного в таблице, является число 80.
Задания:
№ 1. Найдите медиану ряда чисел:
А) 30, 32, 37 ,40, 41, 42 ,45 ,49 ,52;
Б) 102, 104, 205, 207, 327 ,408 ,417;
В) 16, 18 ,20, 22, 24 ,26;
Г)1,2 1,4 2,2, 2,6, 3,2 3,8 4,4 5, 6.
№ 2. В таблице показано число посетителей выставки в разные дни недели:
| День недели | Пн. | Вт. | Ср. | Чт. | Пт. | Сб. | Вс. |
| Число посетителей | 604 | 638 | 615 | 636 | 625 | 710 | 724 |
Найдите медиану ряда чисел. Постройте гистограмму и посмотрите в какой день посетителей было больше.
№ 3. Ниже указана среднесуточная переработка сахара (в тыс. ц.) заводами сахарной промышленности некоторых регионов:
12,2, 13,2, 13,7, 18,0 18,6 12,2 18,5 12,4 14,2 17,8.
Для представленного ряда данных найдите медиану. Что характеризует этот показатель?
Задания для самостоятельной работы.
1. На выборах мэра города будут баллотироваться три кандидата: Алексеева, Иванов, Карпов (обозначим их буквами А, И, К). Проводя опрос 50 избирателей, выяснили, за кого из кандидатов они собираются голосовать. Получили следующие данные: И, А, И, И, К, К, И, И, И, А, К, А, А, А, К, К, И, К, А, А, И, К, И, И, К, И, К, А, И, И, И, А, И, И, К, И, А, И, К, К, И, К, А, И, И, И, А, А, К, И. Представьте эти данные в виде таблицы частот.
2. В таблице приведены расходы учащегося за 4 дня:
| День недели | понедельник | вторник | среда | четверг |
| Расходы (р.) | 18 | 25 | 24 | 25 |
Некто обработал эти данные и записал следующее:
а) 18 + 25 + 24 + 25 = 92; 92:4 = 23. (……………………….………..) = 23(р.)
б) 18, 24, 25, 25; (24 + 25):2 = 24,5. (…………………………. ) = 24,5(р.)
в) 18, 25, 24, 25;(…………………….) = 25(р.)
г) 25 – 18 = 7.(……………………………) = 7(р.)
В скобках указаны наименования статистических характеристик. Определите, какая из статистических характеристик находится в каждом задании.
3. В течение года Лена получила следующие отметки за контрольные по алгебре: одну “двойку”, три “тройки”, четыре “четверки” и три “пятерки”. Найдите среднее арифметическое, моду и медиану этих данных.
4. Президент компании получает 100000р. в год, четверо его заместителей получают по 20000р. в год, а 20 служащих компании получают по 10000 р. в год. Найдите все средние (среднее арифметическое, моду, медиану) зарплат в компании.
Наглядное представление статистической информации.
1. Одним из хорошо известных способов представления ряда данных является построение столбчатых диаграмм.
Столбчатые диаграммы используют тогда, когда хотят проиллюстрировать динамику изменения данных во времени или распределение данных, полученных в результате статистических исследований.
Столбчатая диаграмма составлена из прямоугольников равной ширины, с выбранными произвольно основаниями, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Высота каждого прямоугольника равна(при выбранном масштабе) исследуемой величине (частоте).
2. Для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой совокупности удобно использовать круговые диаграммы.
Если результат статистического исследования представлен в виде таблицы относительных частот, то для построения круговой диаграммы круг разбивается на секторы, центральные углы которых пропорциональны относительным частотам, определенным по каждой группе.
Круговая диаграмма сохраняет свою наглядность и выразительность лишь при небольшом числе частей совокупности.
3. Динамику изменения статистических данных во времени часто иллюстрируют с помощью полигона. Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами – соответствующие им статистические данные. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломаную, которая называется полигоном.
Если данные представлены в виде таблицы частот или относительных частот, то для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат статистические данные, а ординатами – их частоты или относительные частоты. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают полигон распределения данных.
4. Интервальные ряды данных изображают с помощью гистограмм. Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из сомкнутых прямоугольников. Основание каждого прямоугольника равно длине интервала, а высота – частоте или относительной частоте. В гистограмме, в отличие от столбчатой диаграммы, основания прямоугольников выбираются не произвольно, а строго определены длиной интервала.
Задания для самостоятельного решения.
№ 1. Постройте столбчатую диаграмму, показывающую распределение рабочих цеха по тарифным разрядам, которое представлено в следующей таблице:
| Тарифный разряд | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Число рабочих | 4 | 2 | 10 | 16 | 8 | 4 |
№ 2. В фермерском хозяйстве площади, отведенные под посевы зерновых, распределены следующим образом: пшеница – 63%; овес – 16%; просо – 12%; гречиха – 9%. Постройте круговую диаграмму, иллюстрирующую распределение площадей, отведенных под зерновые.
№ 3. В таблице показана урожайность зерновых в 43 хозяйствах района.
| Урожайность, ц/га | Число хозяйств |
| 18 | 3 |
| 19 | 9 |
| 20 | 13 |
| 21 | 11 |
| 22 | 7 |
Постройте полигон распределения хозяйств по урожайности зерновых.
№ 4. При изучении распределения семей, проживающих в доме, по количеству членов семьи была составлена таблица, в которой для каждой семьи с одинаковым числом членов указана относительная частота:
| Количество членов семьи | Относительная частота, % |
| 1 | 12 |
| 2 | 18 |
| 3 | 22 |
| 4 | 30 |
| 5 | 11 |
| 6 | 7 |
Пользуясь таблицей постройте полигон относительных частот.
№ 5. На основе опроса была составлена следующая таблица распределения учащихся по времени, которое они затратили в определенный учебный день на просмотр телепередач:
| Время, ч | Частота |
| 0–1 | 12 |
| 1–2 | 24 |
| 2–3 | 8 |
| 3–4 | 5 |
Пользуясь таблицей, постройте соответствующую гистограмму.
№ 6. В оздоровительном лагере были получены следующие данные о массе 28 мальчиков (с точностью до 0,1 кг):
21,8; 29,3, 30,2, 20,0, 23,8, 24,5, 24,0, 20,8, 22,0, 20,8, 22,0, 25,0, 25,5, 28,2, 22,5, 21,0, 24,5, 24,8, 24,6, 24,3, 26,0, 26,8, 23,2, 27,0, 29,5, 23,0 22,8, 31,2.
Используя эти данные, заполните таблицы:
| Вес, кг | Частота | Вес, кг | Частота | |
| 20–22 | 20–23 | |||
| 22–24 | 23–26 | |||
| 24–26 | 26–29 | |||
| 26–28 | 29–32 | |||
| 28–30 | ||||
| 30–32 |
По данным этих таблиц постройте на разных рисунках в одном и том же масштабе две гистограммы. Что общего у этих гистограмм и чем они различаются?
№ 7. По четвертным оценкам по геометрии учащиеся одного класса распределились следующим образом: “5” – 4 ученика; “4” – 10 учеников; “3” – 18 учеников; “2” – 2 ученика. Постройте столбчатую диаграмму, характеризующую распределения учащихся по четвертным оценкам по геометрии.
Использованная литература:
- Ткачева М.В. “Элементы статистики и вероятность”: учеб. пособие для 7–9 кл. общеобразоват. учреждений/ М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова. – М. : Просвещение, 2005.
- Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для 7–9 кл. общеобразоват. Учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк; под ред. С.А. Теляковского– М. : Просвещение, 2004.
- Шевелева Н.В. Математика (алгебра, элементы статистики и теории вероятностей). 9 класс / Н.В. Шевелева, Т.А. Корешкова, В.В. Мирошин. – М. : Национальное образование, 2011.