Анализ учебников и программ по теме "Решение тригонометрических уравнений"

Тригонометрии в школе традиционно уделяется много внимания – сначала в курсе геометрии, затем в курсе алгебры и начал анализа. В задание С1 в ЕГЭ предлагается решить тригонометрическое уравнении или неравенство, более того, часто необходимо при решении этих уравнений или неравенств использовать метод отбора корней. Также на математических олимпиадах в старших классах в тригонометрическом материале представлены именно тригонометрические уравнения.

Спросите у учителя математики в старших классах, какова основная проблема при изучении тригонометрических уравнений в 10-м классе? В ответ вы услышите: “Учащиеся не знают формул”. Именно поэтому в современных общеобразовательных школах учителя математики не жалеют ни времени, ни сил на то, что по их мнению особенно важно учащимся – на отработку формул. В результате мы приходим к простейшему заключению: решение тригонометрических уравнений сводится к преобразованию тригонометрических выражений и к банальному заучиванию основных формул для решения простейших тригонометрических уравнений.

По мнению вузовских преподавателей, выпускники школ тригонометрию знают плохо. Большинство учащихся школы отождествляют тригонометрию с набором огромного числа жутких формул, которые ни один нормальный человек запомнить не в состоянии. Такое представление о тригонометрии складывалось у нас в школе десятилетиями.

Сегодня, когда стали понимать, что основная задача учителя математики – развитие умственных способностей ребенка, а не заполнение ячеек его памяти формулами (в реальной жизни подавляющее большинство школьных формул людям не нужно), настало время пересмотреть тригонометрические методические традиции. В связи с этим А.Г. Мордкович в своей статье “Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе” выделяет три основных тезиса, которыми следует руководствоваться при изучении тригонометрии.

1. Основное внимание в начале изучения раздела надо уделить модели “числовая окружность на координатной плоскости”.
2. Собственно тригонометрические уравнения в школе практически не изучаются – вместо них идет постоянная возня с тригонометрическими преобразованиями.
3. Тригонометрическими формулами следует заняться после того, как учащийся овладеет двумя “китами”, на которых базируется курс тригонометрии: числовой окружностью и простейшими уравнениями.

Если посмотреть на эти три тезиса, то возникает вопрос: как же можно изучать тригонометрические уравнения, не зная тригонометрических формул? Собственно именно такой вопрос и задают учителя, когда слышат о том, что тригонометрическими формулами следует заняться после того, как учащийся узнает, что такое числовая окружность и простейшие тригонометрические уравнения.

Предположим, что на этот вопрос мы ответили и учителя согласились с такой структурой изложения материала, тогда перед нами встает другой вопрос: каким образом осуществить знакомство учащихся с простейшими тригонометрическими уравнениями и как вывести формулы для решения таких уравнений. При выводе формул для решения простейших тригонометрических уравнений мы сталкиваемся с рядом трудностей (рассмотрим данные трудности на примере уравнения sin x = a ):

1. неизвестно откуда взялся arcsin a;
2. в формуле для решения тригонометрического уравнения  sin x = a появляется множитель вида (-1)ⁿ ;
3. тригонометрические уравнения имеют не конечное число корней, как привыкли учащиеся, а бесконечное число корней.

Таким образом, при изложении темы “Решение тригонометрических уравнений” мы должны учитывать все вышеизложенные трудности.

В данной статье мы остановимся подробно лишь на анализе школьных учебников, которые используются учителями при изложении темы “Решение тригонометрических уравнений и неравенств”.

Мы будем использовать материал следующих учебников по алгебре и началам анализа (имеется в виду базовый уровень изложения учебного материала): А.Г. Мордкович "Алгебра и начала анализа 10–11”, Ю.М. Колягин и др. “Алгебра и начала анализа 10 кл.”, А.Н. Колмогоров и др. “Алгебра и начала анализа 10–11 кл.”, М.И. Башмаков “Алгебра и начала анализа 10–11 кл.”, Ш.А. Алимов “Алгебра и начала анализа 10–11 кл”. Анализ учебников будет осуществляться по следующим параметрам:

1. Количество часов, отводимых на изложение темы.
2. Содержание материала.
3. Соответствие обязательному минимуму обучения, зафиксированному в программе по математике.
4. Соответствие материала возрасту учащихся (доступность материала).
5. Понятность излагаемого материла.

На изложение темы “Тригонометрические уравнения” здесь отводится 14 часов. Рассмотрим содержание материала.

Арксинус, арккосинус и арктангенс числа. Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений, систем уравнений.

Основная цель – сформировать у учащихся умение решать простейшие тригонометрические уравнения и ознакомить с основными приемами решения тригонометрических уравнений.

Введению понятий арксинуса, арккосинуса и арктангенса предшествует рассмотрение теоремы о корне. Основное внимание здесь нужно уделить разъяснению смысла указанных выше понятий, а также формированию умения находить табличные значения, что необходимо для безошибочного решения тригонометрических уравнений.

Вывод формул корней простейших тригонометрических уравнений основывается на изученных свойствах соответствующих функций.

Материал, представленный в учебнике, соответствует обязательному минимуму обучения, однако для учащихся 10 класса материал, представленный в учебнике, является достаточно трудным для понимания, т.к. здесь мы имеем чересчур сжатое изложение.

Более того, в данном учебнике мы сталкиваемся с достаточно известной схемой изложения материала по тригонометрии – сначала в головы учеников пытаются “вбить” все известные формулы курса тригонометрии, а потом научить решать тригонометрические уравнения. В результате мы получаем достаточно банальную ситуацию: тригонометрические уравнения и преобразования тригонометрических выражений так и остаются в голове учащихся на разных берегах реки. Получается, что, пользуясь схемой изложения материала, предложенной в данном учебнике, мы изучаем с учащимися формулы ради формул. Мы получаем обучение без развития. Для ученика 10 класса так и остаются невыясненными (после изучения материала по данному учебнику) следующие факты:

1. Что же все-таки это такое – арксинус, арккосинус и арктангенс числа?
2. Почему раньше при решении уравнения мы получали конечное число корней, а теперь – бесконечное?
3. Откуда в записи корней тригонометрического уравнения появился “хвост” πn или 2πn. Распространенная ошибка учащихся при записи корней уравнения  sin x = a – ошибка следующего вида: , что вполне очевидно, ведь y = sin x – функция периодическая и период этой функции равен 2πn.
4. Что такое (-1)ⁿ  в записи корней уравнения  sin x = a и почему его нет при записи корней уравнения cos x = a , а вместо этой “страшной” конструкции при решении уравнения cos x = a  получаем . Здесь, кстати, мы сталкиваемся с ошибкой такого рода:
5. Наконец, возникают ситуации, когда при решении тригонометрического уравнения нам необходимо осуществить отбор корней, а вот эти ситуации не рассматриваются в предложенном учебнике.

II. С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин “Алгебра и начала анализа 10 класс”/

На изучение темы “Тригонометрические уравнения” отводится 7 часов.

Простейшие тригонометрические уравнения (2 часа). Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного (2 часа), Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений (1час), Однородные уравнения (1 час).

Невооруженным глазом можно видеть, что на изучение тригонометрических уравнений отводится недостаточное количество времени, более того, простейшим тригонометрическим уравнениям не уделяется должного внимания, хотя основой для решения любого тригонометрического уравнения служит умение решать именно простейшие тригонометрические уравнения.

Отметим также, что в данном учебнике совсем не рассматриваются задачи, в которых требуется осуществить отбор корней.

Большое внимание уделяется понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, но, к сожалению, авторы не поясняют учащимся с какой целью они вводят данные понятия.

На изучение темы отводится 18 часов.

Уравнение cos x = a, sin x = a. Уравнение tgx = a. Решение тригонометрических уравнений. Примеры решения простейших тригонометрических неравенств.

Основная цель – сформировать умение решать простейшие тригонометрические уравнения, познакомить учащихся с некоторыми приемами решения тригонометрических уравнений.

Изучение темы начинается с рассмотрения конкретных простейших уравнений, решение которых иллюстрируется на единичной окружности, что хорошо подготовлено материалом главы “Тригонометрические формулы”.

Понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса вводятся до знакомства с обратными тригонометрическими функциями (тригонометрические функции изучаются в 11 классе) и иллюстрируются также на единичной окружности. В дальнейшем не следует уделять много внимания упражнениям на нахождение значений и использование свойств арксинуса, арккосинуса, арктангенса: все это будет закрепляться в ходе решения уравнений. При решении уравнений полезно иллюстрировать нахождение корней на единичной окружности: это позволит осознанно применять формулы корней.

Решение более сложных тригонометрических уравнений рассматривается на примерах уравнений, сводящихся к квадратным, уравнений вида a sin x + b cos x = c, уравнений, решаемых разложением левой части на множители.

Материал в учебнике соответствует обязательному минимуму обучения, весьма доступен для учащихся 10 класса. Можно даже заметить, что авторы при решении уравнений предлагают иллюстрировать нахождение корней на единичной окружности, в дальнейшем это позволит избежать вопросов о количестве корней тригонометрического уравнения и частично ликвидирует трудность в восприятии учащимися таких элементов, как (-1)ⁿ arcsin a + ...   и  + arccos a + ... .  Однако у ученика 10 класса так и остаются невыясненными вопросы, связанные с понятием арксинуса, арккосинуса и арктангенса, с появлением периода в записи ответа к тригонометрическому уравнению, с появлением множителя     (-1)ⁿ и, наконец, проблема отбора корней так и остается открытой.

Т.е. мы видим, что в учебнике Ш.А. Алимова и др. решенным является вопрос учеников о количестве корней тригонометрического уравнения, но при изложении материала по тригонометрии мы снова сталкиваемся с известной схемой изложения материала “функция – преобразования – уравнения”. Т.е. снова формулы выведены на первое место, а простейшим уравнениям внимания уделено недостаточно.

Количество часов, отведенных на тему “Тригонометрические уравнения”, совпадает с количеством часов, отведенных на данную тему в учебнике Ш.А. Алимова и др. Рассмотрим содержание учебного материала.

Уравнения cos x = a, sin x = a. Уравнения tgx = a, ctgx = a. Решение тригонометрических уравнений. Различные приемы решения тригонометрических уравнений. Уравнения, содержащие корни и модули. Системы тригонометрических уравнений. Появление посторонних корней и потеря корней тригонометрических уравнений.

Структура изложения материала по теме “Тригонометрические уравнения” в данном учебнике во многом совпадает с учебником Ш.А. Алимова, поэтому подробно останавливаться на анализе этого учебника мы не будем. Отметим только то, что в данном учебнике частично есть ответ на вопрос учащихся об отборе корней. Также здесь до понимания учащихся доведен тот момент, что корни уравнения cos x = a  находятся по формуле . Значит, у нас остаются невыясненными только те моменты, которые связаны с множителем (-1)ⁿ  и с добавлением периода при записи корней тригонометрического уравнения.

Отметим, что в этом учебнике тема “Тригонометрические уравнения” отдельно не выделена и тригонометрические уравнения изучаются в контексте темы “Тригонометрические функции и тригонометрические уравнения”. Поэтому здесь мы будем рассматривать содержание учебного материала по теме “Тригонометрические функции и тригонометрические уравнения”.

На изучение всей темы здесь отводится 40 часов.

Тригонометрические функции числового аргумента: синус, косинус, тангенс; их свойства и графики. Периодичность функций. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений.

Основная цель: – изучить свойства и графики тригонометрических функций, научиться решать простейшие тригонометрические уравнения и познакомить учащихся с некоторыми приемами решения тригонометрических уравнений.

Таким образом, мы снова видим схему “функция – преобразования – уравнения”. Более того, в этом учебнике не решается проблема осуществления отбора корней уравнения, но зато до понимания учащихся доводится смысл записи  (-1)ⁿ.

Кроме всего прочего, в данном учебнике представлен незначительный объем задач по теме “Тригонометрические уравнения” и нет возможности осуществления дифференцированного подхода к учащимся.

Таким образом, мы видим, что ни один из представленных учебников в полной мере не решает основных трудностей, возникающих при изучении темы “Тригонометрические уравнения”. Почему? Может быть потому, что при изложении материала в этих учебниках не реализован один из основных дидактических принципов – “от простого к сложному”.

Для учебника, который будет представлен, характерна следующая схема построения материала – “функция – уравнения – преобразования”. При изучении тригонометрии эта схема вызывает у учителей множество возражений, одно из которых заключается в том, что изучать тригонометрические уравнения, если учащиеся не знают формул тригонометрии, невозможно. А.Г. Мордкович отвечая на это возражение, говорит, что целесообразнее сначала изучить “простые модели” (таковыми в математике являются основные элементарные функции), а уж потом переходить к изучению “сложных моделей” (таковыми в математике являются сложные выражения, которые надо упрощать, используя формульный аппарат). А как обстоит дело в тригонометрических уравнениях? Примерно так же: сначала надо разобраться с “элементарными моделями”, т.е. с простейшими тригонометрическими уравнениями и уравнениями, которые сводятся к простейшим с помощью алгебраических приемов, и только потом переходить к “сложным моделям”, т.е. уравнениям, которые надо сначала долго и упорно “раскручивать”, используя рутинный аппарат формул. Обычная методическая ошибка в изучении тригонометрии в школе в последние годы заключается в следующем: школьникам не дают возможности разобраться со спецификой собственно тригонометрических уравнений – простейших уравнений типа .

А ведь в этих уравнениях заложено много новых дидактических компонентов, каждый из которых требует внимания, уважения, а значит, и времени. Перечислим эти компоненты.

1. До сих пор при решении уравнений школьникам встречался лишь случай конечного множества корней. Теперь же уравнение имеет бесконечно много корней. Надо это пережить, прочувствовать? Безусловно.
2. Странный (для школьников) “хвост” в записи корней: то πn , то 2πn ; более того, само наличие параметра n уже должно насторожить и учителя, и ученика.
3. Требуют специального внимания входящие в состав формул корней обратные тригонометрические функции. Это тоже отдельный дидактический компонент.
4. Привыкнуть надо и к записи (-1)ⁿ  – это для учащихся далеко не просто.
5. Научив школьников решать уравнения вида sin t = a, cos t = a , надо учесть, как тяжело даются им уравнения типа . Этим тоже надо специально заниматься и формулы тригонометрии тут ни причем.
6. Весьма трудным в методическом плане является вопрос об отборе корней тригонометрических уравнений. Самый простой выход из положения – не предлагать учащимся подобные примеры. Но это ослабит развивающую линию курса, заложенную в специфике тригонометрических уравнений. Иногда учителя говорят: мы учим отбору корней, но только в конце изучения раздела, посвященного тригонометрическим уравнениям. Это, на наш взгляд, методическая ошибка. Учить отбору корней надо именно на простейших уравнениях, заложив соответствующие сюжеты в систему упражнений. Ведь необходимо осознать структуру формулы корней, понять роль параметра в формуле корней. При этом полезно показать школьникам оба известных приема: перебор по параметру и решение двойного неравенства.

Ко всему этому надо привыкнуть.

Итак, как было уже сказано ранее, учебник А.Г. Мордковича предлагает нам иную схему построения материала. Попробуем проанализировать и этот учебник.

Отдельно изучается тема “Тригонометрические функции” – 23 часа. На изучение темы “Тригонометрические уравнения” отводится 10 часов и 16 часов – на тему “Преобразование тригонометрических выражений”. Будем рассматривать методические особенности учебника в контексте этих двух последних тем, т.к. обучение решению тригонометрических уравнений имеет место и в теме “преобразования тригонометрических выражений”.

Тема “Тригонометрические уравнения”. Первые представления о решении простейших тригонометрических уравнений. Арккосинус и решение уравнения cos x = a. Арксинус и решение уравнения sin x = a. Арктангенс и решение уравнения tgx = a, арккотангенс и решение уравнения ctgx = a. Тригонометрические уравнения (два основных метода решения тригонометрических уравнений: разложение на множители и введение новой переменной, решение однородных уравнений).

Тема “Преобразование тригонометрических выражений”. Синус и косинус суммы аргументов. Синус и косинус разности аргументов. Тангенс суммы и разности аргументов. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение. Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму. Преобразование выражения вида A sin x + B cos x  к виду C sin(x + t) .

При изучении темы “Тригонометрические уравнения” автор учебника дает возможность школьнику прочувствовать специфику тригонометрических уравнений. Перечень основных уравнений здесь составляют уравнения простейшие, уравнения, при решении которых применяется метод введения новой переменной: однородные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным с помощью основного тригонометрического тождества. Также перед тем, как выводить формулы для решения простейших тригонометрических уравнений, автор напоминает учащимся, что они уже знают, как решать уравнения с помощью числовой окружности, и только после этого вводит их в проблемную ситуацию, связанную с решением уравнений типа .

Только после того, как ввел учащихся в проблемную ситуацию, он вводит новые для них понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Тем самым, при такой схеме изложения выделяются два обстоятельства.

1. При такой схеме изложения реализуется метод проблемного изложения материала. Учащийся попадает в нештатную ситуацию, для описания которой недостаточно тех средств, которые имеются в его математическом языке. Становится очевидна необходимость введения нового термина, нового понятия, новой математической модели и нового обозначения.
2. При изложении материала не употребляется термин “обратные тригонометрические функции”. Тем самым реализуется принцип доступности изложения учебного материала.

Кроме того, отличительной особенностью именно этого учебника является то, что для решения простейших тригонометрических уравнений (как и для решения однородных уравнений) в учебнике фактически используется алгоритм:

1. составить общую формулу;
2. вычислить значение арксинуса (арккосинуса и т.д.);
3. подставить найденное значение в общую формулу.

При изучении темы “тригонометрические уравнения” рассматриваются также примеры на отбор корней в тригонометрических уравнениях, причем, весь этот материал изучается до введения преобразований тригонометрических выражений.

После темы “Тригонометрические уравнения” изучается тема “Преобразования тригонометрических выражений”, где приводятся уже специальные методы решения тригонометрических уравнений.

Можно отметить также, что в задачнике представлен широкий набор задач разного уровня сложности по теме “Тригонометрические уравнения”, что позволяет проводить дифференцированную работу с учащимися на уроке.

Главное отличие учебника А.Г. Мордковича от остальных рассмотренных здесь учебников, как было уже сказано выше, состоит в новой схеме изложения материала: “функция – уравнения – преобразования”. Данная схема построения материала позволяет в соответствии с уровнем развития учащихся, не перегружая его память большим количеством формул, научить ученика решать тригонометрические уравнения, причем, делать это вполне осознанно, т.е. с пониманием всей сути того, что он делает.

Из всего вышеизложенного можно сделать вывод, о том, что в представленном учебнике решаются все поставленные нами ранее вопросы.

Что же все-таки это такое – арксинус, арккосинус и арктангенс числа? Почему раньше при решении уравнения мы получали конечное число корней, а теперь – бесконечное? Откуда в записи корней тригонометрического уравнения появился “хвост” πn  или  2πn? Что такое (-1)ⁿ  в записи корней уравнения? Как осуществить отбор корней?