Пифагоровы тройки

Цели:

• Обучающая: изучить ряд пифагоровых троек, разработать алгоритм их применения в различных ситуациях, составить памятку по их использованию.
• Воспитательная: формирование сознательного отношения к учебе, развитие познавательной активности, культуры учебного труда.
• Развивающая: развитие геометрической, алгебраической и числовой интуиции, сообразительности, наблюдательности, памяти.

Приложение 2

Ход урока

I. Организационный момент

II. Объяснение нового материала

Учитель: Загадка притягательной силы пифагоровых троек давно волнует человечество. Уникальные свойства пифагоровых троек объясняют их особую роль в природе, музыке, математике. Пифагорово заклинание, теорема Пифагора, остается в мозге миллионов, если не миллиардов, людей. Это – фундаментальная теорема, заучивать которую, заставляют каждого школьника. Несмотря на то, что теорема Пифагора доступна пониманию десятилетних, она является вдохновляющим началом проблемы, при решении которой потерпели фиаско величайшие умы в истории математики, теорема Ферма. Пифагор с острова Самос (см. Приложение 1, слайд 4)был одной из наиболее влиятельных и тем не менее загадочных фигур в математике. Поскольку достоверных сообщений о его жизни и работе не сохранилось, его жизнь оказалась окутанной мифами и легендами, и историкам бывает трудно отделить факты от вымысла. Не подлежит сомнению, однако, что Пифагор развил идею о логике чисел и что именно ему мы обязаны первым золотым веком математики. Благодаря его гению, числа перестали использоваться только для счета и вычислений и были впервые оценены по достоинству. Пифагор изучал свойства определенных классов чисел, соотношения между ними и фигуры, которые образуют числа. Пифагор понял, что числа существуют независимо от материального мира, и поэтому на изучении чисел не сказывается неточность наших органов чувств. Это означало, что Пифагор обрел возможность открывать истины, независимые от чьего-либо мнения или предрассудка. Истины более абсолютные, чем любое предыдущее знание. На основе изученной литературы, касающейся пифагоровых троек, нас будет интересовать возможность применения пифагоровых троек при решении задач тригонометрии. Поэтому мы поставим перед собой цель: изучить ряд пифагоровых троек, разработать алгоритм их применения, составить памятку по их использованию, провести исследование по их применению в различных ситуациях.

Треугольник (слайд 14), стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, т.е. таким, у которого все стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них – египетский треугольник со сторонами (3, 4, 5).

Составим ряд пифагоровых троек путем домножения чисел (3, 4, 5) на 2, на 3, на 4. Получим ряд пифагоровых троек, отсортируем их по возрастанию максимального числа, выделим примитивные.

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 13), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Ход урока

1. Покрутимся вокруг задач:

1) Используя соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента найдите, если

известно, что .

1. sin, если cos = – 0,6;
2. tg, если cos = – 15/17;
3. ctg, если sin = – 12/13;
4. tg, если sin = – 9/41;
5. ctg, если cos = – 0,8.

2) Найдите значение тригонометрических функций угла ?, если известно, что:

1. sin = 3/5, – угол первой четверти;
2. cos = 8/17, – угол второй четверти;
3. ctg = 9/40, – угол третьей четверти;
4. tg = 7/24, – угол четвертой четверти.

3) Система тренировочных задач по теме “Формулы сложения”

зная, что sin = 8/17, cos = 4/5, и – углы первой четверти, найдите значение выражения:

зная, что и – углы второй четверти, sin = 4/5, cos = – 15/17, найдите: .

4) Система тренировочных задач по теме “Формулы двойного угла”

a) Пусть sin = 5/13, – угол второй четверти. Найдите sin2, cos2, tg2, ctg2.

b) Известно, что tg? = 3/4, – угол третьей четверти. Найдите sin2, cos2, tg2, ctg2.

c) Известно, что , 0 < < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

d) Известно, что , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) Найдите tg( + ), если известно что cos = 3/5, cos = 7/25, где и – углы первой четверти.

f) Найдите ,  – угол третьей четверти.

Решаем задачу традиционным способом с использованием основных тригонометрических тождеств, а затем решаем эти же задачи более рациональным способом. Для этого используем алгоритм решения задач с использованием пифагоровых троек. Составляем памятку решения задач с использованием пифагоровых троек. Для этого вспоминаем определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса, острого угла прямоугольного треугольника, изображаем его, в зависимости от условий задачи на сторонах прямоугольного треугольника правильно расставляем пифагоровы тройки (рис. 1). Записываем соотношение и расставляем знаки. Алгоритм выработан.

Рисунок 1

Алгоритм решения задач

Повторить (изучить) теоретический материал.

Знать наизусть примитивные пифагоровы тройки и при необходимости уметь конструировать новые.

Применять теорему Пифагора для точек с рациональными координатами.

Знать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника, уметь изобразить прямоугольный треугольник и в зависимости от условия задачи правильно расставить пифагоровы тройки на сторонах треугольника.

Знать знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в зависимости от их расположения в координатной плоскости.

Необходимые требования:

1. знать, какие знаки синус, косинус, тангенс, котангенс имеют в каждой из четвертей координатной плоскости;
2. знать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника;
3. знать и уметь применять теорему Пифагора;
4. знать основные тригонометрические тождества, формулы сложения, формулы двойного угла, формулы половинного аргумента;
5. знать формулы приведения.

С учетом вышеизложенного заполним таблицу (таблица 1). Ее нужно заполнять, следуя определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса или с использованием теоремы Пифагора для точек с рациональными координатами. При этом постоянно необходимо помнить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в зависимости от их расположения в координатной плоскости.

Таблица 1

Для успешной работы можно воспользоваться памяткой применения пифагоровых троек.

Таблица 2

2. Решаем вместе.

1) Задача: найдите cos, tg и ctg, если sin = 5/13, если – угол второй четверти.

Решение. Предлагаем способы решения задач с использованием основных тригонометрических тождеств и как альтернатива с помощью пифагоровой тройки (5, 12, 13). Коллективно проговариваем второй способ решения задач.

Исходя из определения cos, tg и ctg острого угла прямоугольного треугольника и учитывая, что числа 5 и 12 – это катеты, а 13 – гипотенуза, записываем: cos = 12/13, tg = 5/12, ctg = 12/5.

Зная, в какой четверти находится угол , расставляем знаки:

cos = -12/13, tg = -5/12, ctg = -12/5.

Ответ: cos = -12/13, tg = -5/12, ctg = -12/5.

3). Найдем значение других трех основных тригонометрических функций, если cos = 15/17, и – угол четвертой четверти. Выбираем рациональный способ решения и заполняем таблицу:

3. Решаем задачи.

1. Задача: Вычислите с помощью формул сложения , если cos = -15/17, – угол третьей четверти, sin = 12/13, – угол первой четверти.

Предлагаем способы решения данной задачи и останавливаемся на способе с применением пифагоровых троек. Используем алгоритм решения и записываем: (8, 15, 17) и (5, 12, 13). Далее находим по формулам сложения:

4. Коллективная работа.

IV. Заключительный этап урока: выставление оценок, домашнее задание