Урок математики по теме "Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений" (обобщающее повторение)

Разделы: Математика

Цели:

  • обобщить теоретические знания по темам «Логарифмическая функция и ее свойства» и «Решение логарифмических уравнений»;
  • рассмотреть методы решения логарифмических уравнений;
  • закрепить умения учащихся применять эти навыки при решении уравнений, при сравнении выражений.

Ход урока

I. Сообщение темы и целей урока

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и добавляет, что во время урока они будут пользоваться раздаточным материалом, находящимся на партах.

II. Повторение теоретического материала по теме «Логарифмическая функция и ее свойства»

Определение. Функцию вида y=logax, где a>0, a≠1, называют логарифмической.

Логарифмическая функция обладает свойствами:

  1. D(y)=R+ ;
  2. E(y)=R; 3)

logax=0↔x=1 (a>0, a≠1) ;

logax>0<=>x>1 при a>1; logax>0<=>0<x<1 при0<a<1.

III. Устная работа по решению простейших задач на тему «Логарифмическая функция и ее свойства».

  1. Сравните числа:
    а) log0,23 и log0,22,5;
    б) log20,7и log21,2;
    в) log36/5и log35/6;
    г) log1/39и log1/317;

  2. Выяснить, является ли положительными или отрицательным число:
    а) log34,5;
    б) log30,45;
    в) log325,3;
    г) log39,6;

  3. Сравнить с единицей число x, если:
    а) log3x=-0,3;
    б) log1/3x=1,7;
    в)log2x=1,3.

  4. Найдите область определения функций:
    а) y=log3x;
    б) y=log1/3x;
    в) y= log2(x-1);
    г) y= lg(4-x2).

  5. Укажите характер монотонности функций:
    а) y= log5x;
    б) y= log1/2x;
    в) y= log√5x.

IV. Повторение теоретического материала по теме «Решение логарифмических уравнений»

Решение простейших логарифмических уравнений основано на монотонности логарифмической функции y= logax (a>0, a≠1; D(y)=(0;+∞); E(y)=(-∞;+∞)).

Типы простейших логарифмических уравнений:

  1. logax=bпри всех допустимых а имеет единственное решение x=ab.
  2. loga(f(x))=bравносильно уравнению f(x)=ab.
  3. loga(f(x))=g(x) равносильно уравнению f(x)=ag(x).
  4. loga(f(x))=loga(g(x)) равносильно системе:

Причем любую из двух последних строк можно (и, как правило, нужно опустить. Система выбирается в зависимости от того, какое из неравенств f(x)>0 или g(x)>0 проще решить.

Если в основании логарифма стоит функция, то уравнение logu(x)(f(x))=logu(x)(g(x)) равносильно каждой из систем:

В логарифмических уравнениях, как правило, совершенно не обязательно находить области существований функций, входящих в уравнение.

Достаточно проверить, какие из полученных корней уравнения системы удовлетворяют неравенствам в системе.

Методы решения логарифмических уравнений:

  1. уравнения, сводящиеся к типу 4: log2(x2+x-2)=1+log2x;
  2. замена переменной: lg2(10/x)+lgx=7;
  3. уравнения с неизвестным в основании логарифма: logx5=3.

При решении логарифмических уравнений используются различные свойства логарифмов: пусть a>0, a≠1, b>0, c>0, r-любое действительное число, k-целое число, тогда справедливы формулы:

loga(bc)=logab+logac;

logba=logca/logcb;

loga(b/c)=logab+logac;

logab=1/logba;

logabr=1/klogab;

logaa=1;

logakb=1/logab;

loga1=0.

V. Самостоятельная работа

1 вариант 2 вариант
1. Найти область определения функции:
а) y=log4(x2-3x-4);
б) y=log1/4(2x-2); 		a) y=log3(-x2+5x+6);
б) y=log1/3(3x-1-9).
2. Решите уравнение:
а) log5(3x+1)=2;
б) log2(x+1)+log2(x+3)=3;
в) lg2x-31gx=4;
г) logx29+log√x4=2.		 а) log1/2(2x+1)=-2;
б) log2(1-x)=3-log2(3-x);
в)log22x-5log2x+6=0;
г) logx216-log√x7=2.
3. Решите систему уравнений:

VI. Итоги урока

Еще раз повторяются те типы уравнений и теоретические факты, которые вспоминались на уроке, рекомендуется выучить их.