Урок алгебры "Применение квадратичной функции и ее графика к решению задач". 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Тип урока: урок закрепления изученного материала.

Цель урока: отработать навыки построения графика квадратичной функции с помощью изученного алгоритма и при помощи геометрических преобразований; показать их использование при решении задач с параметром и без параметра; формировать умение «читать» график.

Задачи:

Образовательная:

  1. Формирование навыков и умений построения графиков квадратичной функции;
  2. Использование графика квадратичной функции к решению задач с параметром и без параметра;
  3. Формирование умения «читать» график.

Развивающая:

  1. Развивать образное и логическое мышления учащихся;
  2. Формирование математического языка;
  3. Прививать интерес к математике и ответственность за своё образование.

Воспитательная:

  1. Развивать интеллектуальные способности учащихся;
  2. Развивать речь учащихся;

Ход урока

I. Организационный момент (1 мин.)

Учитель: Ребята, сегодня мы продолжим изучение квадратичной функции, в частности, рассмотрим вопрос о применении квадратичной функции и её графика к решению задач. На предыдущих уроках мы рассмотрели два способа построения графика квадратичной функции: с помощью геометрических преобразований, с помощью общего алгоритма построения графика квадратичной функции, и прежде чем мы приступим к решению задач, нам необходимо повторить тот теоретический материал, который потребуется на уроке.

II. Актуализация знаний (3+5+3+2 мин.)

1. Учитель: На прошлом уроке мы определили, что если известен график некоторой функции y=f(x) , то с помощью простейших преобразований можно построить графики более сложных функций.

  1. Итак, зная график функции y=f(x), как получить график функции y=f(x)+a? (Ответ: Каждую точку графика y-f(x) перенести на а единиц вверх, если а>0 и на а единиц вниз, если а<0 )
  2. Как получить график функции y=f(x+a)? (Ответ: Каждую точку графика y=f(x) перенести на а единиц вправо, если а<0 и на а единиц влево, если а>0)
  3. y=f(x+a)+b (Ответ: График функции строится при помощи правил (1) и (2)).
  4. y=-f(x) (Ответ: График функции y=-f(x) получается симметричным отображением графика функции y=f(x) относительно оси ОХ)
  5. y=|f(x)| (Ответ: График функции y=|f(x)| получается из графика функции y=f(x) таким образом: часть графика, лежащая над осью ОХ, сохраняется, а часть графика, лежащая над осью ОХ, отображается симметрично оси ОХ)
  6. y=f(|x|) (Ответ: График функции y=f(|x|) строим таким образом: при х>0 график функции y=f(x) сохраняется, и та же часть графика симметрично отображается относительно оси ОУ)
  7. y=|f(|x|)| (Ответ: Строим график используя правила (5) и (6).)

2. Учитель: А сейчас рассмотрим применение перечисленных правил преобразования графиков функций на примерах. Внимание на экран.

(Показываются слайды. Сначала появляется график. Дети называют уравнение параболы, затем проверяется верность найденного ответа.)

3. Учитель: А сейчас приступим к составлению опорного конспекта для квадратичной функции Перед вами задание на отдельных листах .Вам необходимо ответить на вопросы, которые там предлагаются.

Один ученик приглашается к доске для выполнения этого же задания (за доской). Всем предлагается выполнить задание самостоятельно в течение 3 мин, а затем обсудить полученные результаты. Подвести итог работы.

III. Решение практических задач (8+10+10 мин.)

Учитель: Ребята, вы знаете, что уже на следующий год нам необходимо сдать экзамены по математике по новой форме, кроме того, по итогам ЕГЭ в 11 классе абитуриенты зачисляются в ВУЗы и СУЗы страны для продолжения обучения. У нас в классе много способных ребят, которые мечтают получить высшее образование, и на этом уроке мы займёмся решением задач из сборника для сдачи экзамена в 9 классе и задачи централизованного тестирования.

1. Квадратичная функция у = aх2 + bх + с задана графиком, изображённым на рисунке.

а)

Какое из утверждений верно?

  1. aD<0;
  2. bc>0;
  3. Db>0;
  4. ab<0.

б)

Какое из утверждений верно?

  1. Da<0;
  2. ас>0;
  3. bс>0;
  4. ab>0.

в)

Какое из утверждений верно?

  1. ас>0;
  2. Da<0;
  3. Db>0;
  4. bc>0.

Первую задачу разбираем подробно и записываем в тетрадях, вторую задачу предлагаю решить самостоятельно, затем проверяем, а третью предлагаю для домашнего задания.

2. Задания из сборника для подготовки и проведения экзамена по математике в 9 классе.

1) №4.13(1)

Постройте график функции Y =- (X3-1)/(x-1). При каких значениях х значения функции положительны?

Выслушать предложения ребят, найти рациональное решение задачи, одного ученика вызвать для работы у доски, выполнить решение в тетрадях, а затем сравнить с графиком функции, изображенным на слайде презентации.

В процессе решения задачи может появиться проблемная ситуация, дети могут не предусмотреть нахождение ОДЗ. В этом случае можно не

останавливать класс, а когда график будет готов, не принять его. И в конце решения задачи ещё раз обратить внимание на важность нахождения ОДЗ.

Решение:

1. ОДЗ:

х-1=0                                
х=1

2. у = x(x2-1)/(x-1) = x(x+1) = x2+x

  1. x0=-1/2 ; y0=-1/4
    (-1/2 ; -1/4) – вершина
  2. х=- 1/2 – ось симметрии
  3. нули функции: х2 + х = 0
    х=0, х=-1

Ответ: при х<-1, 0<х<1, х>1

2) №4.31(1)

Постройте график функции: у = |х2 -2х-3|. Сколько точек пересечения имеет данный график с графиком функции у = m?

Данную задачу решаем также совместно. Сначала выслушиваю предложения по решению задачи, затем совместно строим график функции, сравниваем с графиком, изображенным на слайде презентации и отвечаем на поставленный в задаче вопрос.

Решение:

1. Построим график функции: у=х2 - 2х - 3.

у=х2-2х-3 = х2-2х+1-1-3 = (х-1)2-4 – графиком является парабола, полученная из графика функции у=х2 смещением на одну единицу вправо и на 4 единицы вниз.

Затем строим график функции у=х2-2х-3 и отвечаем на второй вопрос.

При m<0 общих точек нет, при m=0 две общие точки, при 0<m<4 – четыре общие точки, при m=4 – три общие точки, при m>4 – две общие точки.

Ответ: при m<0 общих точек нет, при m=0 две общие точки, при 0<m<4 – четыре общие точки, при m=4 – три общие точки, при m>4 – две общие точки.

IV. Подведение итогов.

Подвести итог урока, разобрать с учащимися, что помогало им решать задачи, встретившиеся на уроке. Выделить активных ребят, поблагодарить класс за урок. Задать домашнее задание.

Домашнее задание: по сборнику №4.13(2), 4.31(2).

Презентация.