Цели урока:
- отработать применение теоретических знаний, связанных с нахождением расстояния и угла между скрещивающимися прямыми, в частности метода «от проекции до проекции» нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми;
- формировать умения анализировать, выдвигать гипотезы и предположения, строить доказательства, переносить знания в новые ситуации при решении исследовательских задач и задач опережающего обучения;
- тренировать пространственное воображение;
- создать условия для развития следующих
компетенций:
- уверенность в себе;
- самостоятельность мышления, оригинальность;
- критическое мышление;
- готовность работать над чем-либо спорным и вызывающим беспокойство;
- способность принимать решения;
- персональная ответственность;
- способность слушать других людей и принимать во внимание то, что они говорят;
- воспитывать стремление к приобретению новых знаний, интерес к предмету.
Оборудование:
- Оборудование для применения ИКТ (интерактивная доска; проектор, экран и компьютер и т.п.).
- Презентация Power Point.
- Раздаточный материал в виде готовых чертежей (размера 8 см x 8 см – чтобы было все четко видно) к отдельным задачам (задачи № 4, № 9 – 12, 30), смайлов (для проведения самооценивания в конце урока).
- Клей-карандаш (по числу учащихся в классе или хотя бы один на парту).
Время урока: 2 урока по 45 минут.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент (приветствие, постановка цели урока, заполнение журнала в части указания отсутствующих на уроке, раздача готовых чертежей к задачам № 4, № 10 – 12, сбор домашнего задания).
Замечание. Домашнее задание на этот урок просила выполнить на отдельных двойных листах: № 4.082, № 4.086 из [1], вариант 3, 4 проверочной работы № 6 «Вычисление угла между данными скрещивающимися прямыми и угла между данной прямой и данной плоскостью» из [2].
Учитель: Приветствую Вас на
обобщающем уроке по теме «Расстояние и угол
между скрещивающимися прямыми». Запишите,
пожалуйста, в тетради сегодняшнее число и тему
занятия (Cлайд 1).
Основная цель нашего урока – это отработка
применения ваших теоретических знаний,
связанных с нахождением расстояния и угла между
скрещивающимися прямыми различными методами
(Cлайд 2).
II. Актуализация теоретических знаний учащихся.
Учитель: Как вы думаете, какие понятия
сегодня будут основными? (Cлайд 3).
– Какие прямые называются скрещивающимися?
Какие два признака скрещивающихся прямых вы
знаете? (После ответа учащихся на экране –
слайд 4, не забыть выразить одобрение правильным
ответам).
– Как вы заметили, на слайде не указан второй
признак скрещивающихся прямых, т.к. он является
следствием первого.
– А теперь скажите мне, что называется
расстоянием между скрещивающимися прямыми? (После
ответа учащихся на экране слайд 5).
– Хорошо.
– Кто может сказать, как еще можно находить
расстояние между скрещивающимися прямыми, не
используя на прямую определение? (Учащиеся
называют два метода нахождения расстояния между
скрещивающимися прямыми, которые были доказаны
на предыдущем занятии, вспоминают основную идею
теоретического обоснования метода, при этом на
экране соответственно отображается слайд 6
<о методе «расстояние между параллельными
плоскостями»> и слайд 7<о методе «расстояние
от проекции до проекции»>).
– Молодцы. Вспомнили. А как определяется
величина угла между скрещивающимися прямыми? (После
ответа учащихся открывается слайд 8).
– Ну, и последний теоретический вопрос на данный
момент: как, используя проекции, можно найти
величину угла между скрещивающимися прямыми? (После
ответа учащихся открывается слайд 9).
III. Устный счет
Учитель: Молодцы! А теперь примените-ка ваши теоретические знания на практике. В каждой задаче нужно найти расстояние и угол между выделенными синим и красным цветами скрещивающимися прямыми.
Задача № 1 (Слайд 10; после того, как учащиеся озвучат верное решение задачи, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомые величины зеленым цветом). Постройте расстояние и угол между скрещивающимися диагональю грани куба и стороны параллельной грани.
Решение.
Прямые (AB) 
(ABB1)
и (C1D) (DCC1)
лежат в параллельных гранях куба. Тогда
расстояние между ними – это расстояние между
гранями куба, т.е. отрезок [AD], и т. к. (AB) || (CD),
то по определению величины угла между
скрещивающимися прямыми
.
Задача № 2 (слайд 11; после того, как учащиеся озвучат верное решение задачи, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомые величины зеленым цветом). Постройте расстояние и угол между скрещивающимися диагоналями параллельных граней куба.
Решение.
Прямые (A1B) (ABB1) и (C1D) (DCC1) лежат в
параллельных гранях куба. Тогда расстояние между
ними – это расстояние между гранями куба, т.е.
отрезок [A1D1], и т. к. (A1B) || (D1C),
то по определению величины угла между
скрещивающимися прямыми
.
Задача № 3 (слайд 12; после того, как учащиеся озвучат верное решение задачи, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомые величины зеленым цветом). Постройте расстояние и угол между скрещивающимися диагональю грани куба и высотой куба в параллельной грани.
Решение.
Прямые (AA1) (ADD1)
и (B1C) (BCC1)
лежат в параллельных гранях куба. Тогда
расстояние между ними – это расстояние между
гранями куба, т.е. отрезок [A1B1],
и т. к. (AA1) || (BB1), то
по определению величины угла между
скрещивающимися прямыми
.
Учитель: у вас уже есть чертеж к следующей задаче. Вклейте его, пожалуйста, аккуратно в тетрадь. Решение этой задачи, несмотря на то, что оно довольно простое, запишите в тетрадь.
Задача № 4 (слайд № 13; после того, как учащиеся озвучат верную идею решения, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомые величины зеленым цветом). Найдите расстояние и угол между скрещивающимися диагональю куба и диагональю грани куба, если ребро куба равно 1.
Решение.
Прямая (CD1) 
(ADC1) по свойству диагонали
грани куба и (CD1)
(ADC1) = O, а (B1D) (ADC1). Тогда
расстояние между ними (отрезок [OK]) – это
расстояние от проекции прямой (CD1) на
плоскость (ADC1), т. е. от точки O,
до прямой (B1D).
Рассмотрим плоскость (ADC1). (С помощью
анимации объектов отображаем выносной чертеж
плоскости (ADC1) на экране)
Прямоугольные треугольники 
DOK ~ DB1C1 (по
общему острому углу 
D):
Теперь вычислим угол между скрещивающимися прямыми (CD1) и (B1D).
Поскольку прямая (CD1) (ADC1), то она
перпендикулярна любой прямой, лежащей в данной
плоскости, в том числе и прямой (B1D) (ADC1). Тогда
.
Ответ: 
. (Обратить
внимание учащихся на обязательность указания
ответа в случае письменного решения задачи)
Учитель: отложите ручки и вновь обратите внимание на экран. Следующие задачи я предлагаю вам попробовать решить устно.
Задача № 5 (слайд 14; после того, как учащиеся озвучат верную идею решения, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомые величины зеленым цветом). Постройте расстояние и угол между высотой четырехугольной пирамиды и ребром ее основания.
Решение.
Высота пирамиды (PO) (ABC), а значит (PO)
перпендикулярна любой прямой, лежащей в
плоскости (ABC), в том числе ребру (AD).
Тогда по определению расстояния между
скрещивающимися прямыми отрезок [OK] (AD) и
является искомым расстоянием, а угол между
высотой (PO) пирамиды и ребром основания (AD)
является прямым.
Задача № 6 (слайд 15; искомые величины отображаются на экране зеленым цветом с помощью анимации объектов после того, как учащиеся озвучат верный вариант). Постройте расстояние и угол между скрещивающимися боковым ребром правильной четырехугольной пирамиды и диагональю ее основания.
Решение.
Рассмотрим боковое ребро (PC), плоскость
основания (ABC) и диагональ основания (AC).
Т. к. высота пирамиды (PO) (ABC), а значит и любой
прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и
прямой (AC). Тогда по определению (AC) = pr(ABC)(PC).
(после того, как учащиеся озвучат данный факт, с
помощью анимации объектов на слайде 15 добавляем
надписи «наклонная», «проекция»).
По условию PABC – правильная пирамида,
т. е. ABCD – квадрат. Тогда по свойству
диагоналей квадрата (BD) (AC) = pr(ABC))(PC).
А значит по теореме о трех перпендикулярах (BD) (PC).
Расстояние между скрещивающимися прямыми (BD)
и (PC) определяется из следующих соображений.
Построим из вершины прямого угла POC высоту [OK] на
гипотенузу [PC]. Очевидно, что прямые (OK) и
(PC), содержащие эти отрезки, также
перпендикулярны.
Рассмотрим плоскость (APC) сечения пирамиды и
прямую (BD):
по признаку
перпендикулярности прямой и плоскости.
Значит прямая (BD) перпендикулярна любой
прямой, лежащей в плоскости (APC), в том числе и
прямой (OK).
Тогда отрезок [OK] есть общий перпендикуляр
прямых (BD) и (PC).
Задача № 7 (слайд № 16; после того, как учащиеся озвучат верную идею решения, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомые величины зеленым цветом). Найдите расстояние и угол между скрещивающимися боковым ребром куба и его диагональю, если известно, что ребро куба равно a.
Решение.
В силу параллельности ребер (AA1) и (BB1) проще сначала найти угол между скрещивающимися прямыми (AA1) и (DB1):
.
Нахождение расстояния между данными прямыми базируется на следующей идее: рассмотрим сечение куба плоскостью (BDD1), содержащей прямую (DB1).
(AA1) || (BB1) (BDD1) => (AA1) || (BDD1)
по признаку параллельности прямой и плоскости.
Тогда расстояние 
.
Замечание: на предыдущих уроках
было отработано нахождение длины диагонали
грани куба (
) и
диагонали куба (
)
в зависимости от длины ребра куба a, поэтому
при решении задач время на обоснование этих
фактов не тратится.
Задача № 8 (слайд 17; после того, как учащиеся озвучат верную идею решения, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомые величины зеленым цветом). Найдите расстояние и угол между скрещивающимися ребром основания куба и отрезком, соединяющим вершину ребра верхнего основания с серединой противоположного ребра в нижнем основании, если известно, что ребро куба равно a.
Решение.
Найдем сначала угол между скрещивающимися
прямыми: 
, т.е.
искомый угол равен 
.
Теперь определим расстоянием между прямыми в соответствии с методом «расстояние от проекции до проекции»:
.
Из DD1P
по теореме Пифагора 
, а по свойству высоты, опущенной на
гипотенузу, получаем, что DD1P ~ HDP:
.
IV. Решение задач по теме занятия
V. Домашнее задание
Учитель (слайд 36 с домашним заданием, дать время записать в дневник): к следующему уроку решите, пожалуйста, задачи № 3.096, 3.121 – 3.123, 5.059 (г) [1].
VI. Подведение итогов. Рефлексия
Учитель (слайд 37 с ответами на
задаваемые вопросы): Я рада, что вы все
работали хорошо. А теперь вспомните основные
моменты нашего урока.
– Каким образом можно находить расстояние и угол
между скрещивающимися прямыми?
– Чему равно расстояние между диагональю куба и
скрещивающийся с ней диагональю грани куба?
– Чему равно расстояние между скрещивающимися
диагоналями смежных граней куба?
– А расстояние между скрещивающимися высотами
граней правильного тетраэдра?
– Чему еще вы научились во время занятия? (Учащиеся
отвечают)
Учитель: Сегодня за работу у доски получают оценки…, а также хочу отметить и поощрить за активную работу устно: …
– Ребята, обратите внимание, у вас у каждого есть смайлы (раздавались вместе с другим раздаточным материалом на урок в самом начале), но на них не хватает рта. Вам нужно перед уходом с урока дорисовать рот (абсолютно любой) такой, чтобы я поняла, как вы ощущали на этом уроке, как вам было: комфортно / не комфортно, понравился урок / не понравился, было интересно / не интересно… Смайлы можете не подписывать, если стесняетесь.
Учитель: Спасибо за работу.
VII. «Запасные задачи» (если на уроке останется время): № 5.059 (а-в) [1]
Список литературы:
- Потоскуев Е.В. Геометрия, 10 кл.: задачник для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики / Е. В. Потоскуев, Л. В. Звавич. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2006. – 250, [6] с.: илл.
- Литвиненко Н.В. Геометрия – 10: Проверочные и контрольные работы. – М.: Вербум-М, 2000. – 112 с.: илл.
- Смирнов В.А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия / Под ред. А. Л. Семенова и И. В. Ященко. – М.: МЦМНМО, 2011. – 136 с.: илл.
- Шарыгин И.Ф. Математика: решение задач: 11 кл. / И. Ф. Шарыгин, В. И. Голубев. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2007. – 398 с.: илл. – (Профильная школа).