Цель урока: изучить способ решения однородных тригонометрических уравнений.
Задачи:
1) образовательная:
- повторить известные способы решения тригонометрических уравнений;
- ввести понятие однородного тригонометрического уравнения;
- показать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений;
2) воспитательная:
- создавать условия для формирования навыков организации своей деятельности – самостоятельного поиска решения, самоконтроля;
- приучать к аккуратности выполнения записей в тетради и на доске;
- воспитывать умение работать в парах, взаимопомощь;
- воспитывать умение анализировать результаты своей деятельности;
3) развивающая:
- формировать умение сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;
- формировать грамотную математическую речь;
- формировать умение применять знания в конкретной ситуации.
Преподавание ведется по учебнику А.Н. Колмогорова.
Ход урока
I. Оргмомент.
Приветствие.
Сегодня мы продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.
II. Актуализация знаний.
Устная работа с классом.
Укажите способ решения уравнений. Являются ли выполняемые преобразования равносильными?
1) 2 –5 + 1 = 0 |
 = 1 –  ; обозначаем у =  , получаем и решаем квадратное уравнение относительно у. |
2)  –2 + 1 = 0 |
Запишем уравнение в виде  – + 1 = 0. Умножим обе части на  ; обозначим у =  , получаем и решаем квадратное уравнение относительно у. |
3)  – = 0 |
Запишем уравнение в виде 2   –  = 0;разложим на множители выражение в левой части:  (2 –1) = 0; решим уравнения  = 0 и 2 – 1 = 0. |
4)  + 2  –3 = 0 |
Ни один из известных способов применить нельзя. |
III. Постановка проблемы.
Итак, 4-е уравнение решить известными способами не удалось.
Что можно сказать об уравнении (4)? Чем оно отличается от остальных?
Каждое слагаемое – 2-й степени относительно 
и 
. Такие уравнения называются однородными. Данное уравнение – однородное, 2-й степени.
Какова будет наша цель сегодня? Научиться решать такие уравнения.
Запишите тему урока: «Решение однородных тригонометрических уравнений».
IV. Изучение нового материала и первичное закрепление.
Разделим обе части уравнения на 
.
+ 2
– 3 = 0.
Обозначим у =
и решим квадратное уравнение:
+ 2у – 3 = 0;
= –3;
= 1.
= –3; х = –arctg3 + πm, m
Z;
= 1; х =
+ πn, n
Z.
Можем ли считать решение завершенным? Нет, так как делили на выражение с переменной, нужна проверка.
В каком случае при делении на 
получится уравнение, равносильное данному? Если 
≠ 0.
Выполним проверку. Пусть 
= 0. Тогда исходное уравнение примет вид 
= 0, то есть 
= 0. Это невозможно, так как 
+ 
= 1.
Значит, 
≠ 0, и найденные значения переменной х являются решениями исходного уравнения.
Ответ: –arctg3 + πm, m
Z;
+ πn, n
Z.
Решим уравнение 6
+ 4
= 1.
Является ли оно однородным? Почему? Не является, «мешает» число 1.
Используем основное тригонометрическое тождество:
6
+ 4
=
+
;
5+ 4
–
= 0.
Что будем делать дальше? Делить на 
.
А можно делить на 
? Что изменится в решении? Можно, но обозначим у =
.
Два ученика у доски решают уравнение двумя способами.
Остальные работают в парах, более сильные помогают соседям.
5 + 4 – = 0; – 4 –5 = 0; у = ;  – 4у – 5 = 0; = –1,  = 5. = –1, х = – + πn, n Z; = 5, х = arctg5 + πm, m Z.Проверка. Пусть  = 0. Тогда исходное уравнение примет вид  = 0, то есть  = 0. Это невозможно, так как  +  = 1.Ответ: –  + πn, n Z; arctg5 + πm, m Z. |
5  + 4  –1= 0;у =  ; 5 + 4у –1= 0; = –1,  = . = –1, х = – + πn, n Z; = , х = arcсtg + πm, m Z.Проверка. Пусть  = 0. Тогда исходное уравнение примет вид 5 = 0, то есть  =0. Это невозможно, так как  +  = 1.Ответ: –  + πn, n Z; arcсtg + πm, m Z. |
Обратите внимание: ответы могут быть записаны по-разному в зависимости от способа решения.
Решим уравнение 
–
= 0.
– 2
= 0.
Решает ученик у доски с комментированием.
Делим на 
: 1 – 2
= 0; 
=
; х = arctg
+ πn, n
Z.
Пусть 
= 0. Тогда 0 – 0 = 0. Что это означает? Значения х = 
+ πm, m
Z, при которых 
= 0, являются решениями исходного уравнения, их нужно добавить в ответ.
Ответ: arctg
+ πn, n
Z, 
+ πm, m
Z.
Как по-другому решить это уравнение? Преобразовать левую часть, разложив ее на множители.
Решает ученик у доски.
(
– 2
)=0.
= 0 или
– 2
= 0.
х =+ πm, m
Z. Подумайте, как называется второе уравнение? Однородное уравнение 1-й степени.
Как будете его решать? Разделим обе части уравнения на 
.
1 – 2
= 0;
=
; х = arctg
+ πn, n
Z.
Пусть 
= 0. Тогда –2
= 0. Это невозможно, так как 
+ 
= 1.
Ответ совпадает с полученным ранее.
V. Самостоятельная работа.
Чтобы проверить, как усвоен новый материал, выполните самостоятельную работу.
– 4
+3
= 0;- 4
–
= 3; 
–
= 0.
По окончании работы ученики самостоятельно проверяют решение по образцу (раздаточный материал), фиксируя места, где допущены ошибки.
VI. Итог урока.
Обсуждение результатов самостоятельной работы.
Кто выполнил правильно все задания?
Кто допустил ошибки в первом (втором, третьем) задании? Какие?
Повторим, какие тригонометрические уравнения называются однородными, каким способом решали их на уроке.
Оцените свою работу на уроке.
Вам предстоит применить полученные знания при выполнении домашнего задания:
№ 169(в), 170(г), 171(а,в).